初中数学函数笔记(精选8篇)
时间：2023-06-26
时间：2023-06-26
主要记忆课本中的公式，定义，要熟练，做到张口就来。
要多做习题，目的是要从习题中掌握学习的技术和巧门，不同的题有不同的方法，用不同的技巧，尤其是函数中的重点题是现在出题的热点要多做，但不要做太难的题，以会为主。初中数学的学习重点是函数(包括一次函数，正比例函数，反比例函数，二次函数)，重点是意义和性质;三角形(包括基本性质，相似，全等，旋转，平移，对称等);四边形(包括平行四边形，梯形，棱形，长方形，正方形，多边形)的性质，定义，面积。
初三中考考前30天数学复习时间安排：
初三中考考前第一招：知识整合(时间：1+14 ，1天整理14天仿真练兵)
1、红笔贴纸法。把做错的题用红笔画下来，并改正，写不下的要粘小条。每份都要自己批改出来，以备考前浏览用。
2、巧用小本本。在做题中总结解题的方法，和一些常用，但课本中没有，还必须要会的知识。这部分的知识要用小本笔记记下来做考前浏览用。
3、建立错题集。不要重新抄录题目再重做。要把你做的中考习题集留好，能订的订在一起，最好能用一个分页夹来装材料。
初三中考考前第二招：仿真强化(时间：15天)
1、限时完成。各学科要按中考的时间来做中考模拟题，不要看答案，限时完成并计时，做完批改，找出不足。有错误的卷子要留好订好。备用不能扔。把每次统一模拟考试的卷要留好订在一起。
2、使用技巧。要在解题的时候掌握技巧，能用口算的要用口算，能用巧算的用巧算，能用公式的用公式，总之要在做题的时候学习如何使用技巧。
3、养成习惯。要在做题的时候养成边做边检查的习惯，如果这时候还有写错字，做错题，抄错题等不良习惯，这可就是你中考的杀手了。
初三中考考前第三招：压轴总结(时间：5天)
1、找各学校的压轴题来做，历年也可以，这是中考的方向。
2、找以往没出过的题进行复习，熟题也有可能变着样子出。
3、找同学或父母的朋友的子女互换压轴习题，加大见识。
考前第四招考前：浏览(考前一个星期)
1、把以前所有学过的知识点(册)和总结拿出看，这个时候会的就会了，不会的就还是不会了，只能如此了。
【关键词】高一数学；入门教学；方法探讨
高一是数学学习的的一个非常关键时期，由于初、高中数学教材缺乏统筹规划，高中数学教材编写也没有照顾到知识的前后衔接问题，且知识内容的数量剧增，抽象程度高，思维量大（其他各科信息量也大），平常教学进度快、要求较高，以及学生自身学习方式、数学基础等原因，许多初中学生进入高中后不适应。下面先看两个案例。
案例1、某校现在高一新生Y，中考数学成绩六十几分，据本人讲，涉及数与式的计算、解方程或不等式等问题，运算顺序搞不清，公式、法则乱用，很少做对过，函数更是一片空白。几何证明题不知如何下手。该生进入高一后，有学好的愿望，但努力不够，学集合时还勉强跟得上，学函数时几乎听不懂，学三角函数时公式混淆不会用，学向量时因教学进度快等于没有学。期末考试数学成绩25分以内。
案例2、某重点中学现在高一新生X（中考数学成绩一百一十分左右，数学基础较好），大多数时间能听懂老师讲的知识，但学习主动性不强，平时每次考试成绩总在七十分左右，失误较多，解题思路不灵活，期末考试数学成绩近60分。从学生做的笔记看，在讲指数函数前，教师补讲了求函数解析式的方法，求值域的方法，二次函数恒成立问题，对勾函数，函数的对称性和周期性，抽象函数等内容，且要求高，期末考试内容为必修一全部，三角函数，向量的线性运算。
上面的案例在一些学校具有普遍性，值得研究。怎样处理这些问题？笔者结合自己的教学实践谈一谈体会。
一、教师主导方面
要在自身学习和诱导学生学习上下功夫。“每一天我走进教室，我就在想我能学到什么。我是教师，也是学习者，而不只是知识的传递者。”
1、上好第一堂课，产生光环效应。不讲新课，首先可通过自我介绍以及提出对自身的要求，希望在学生心目中树立起较好的形象，拉近与学生的距离，做好“亲其师，信其道”的铺垫作用。可讲以往差生的成功案例，鼓励学生学好数学的信心。“我认为提高学生学习成绩最重要的不在于条件和资源，而在于教师的核心信念。我们必须从一开始就有所有孩子都能够达到最高水平的信念。”其次介绍高中数W的特点，为转变学生学习观念，注意学习方式做准备。最后做一个问卷调查，全面了解学生。问卷内容涉及中考总成绩，数学成绩，什么数学知识学的最好（或最差），有何特长，你的理想是什么，你对新教师期望，你以前数学教师的优点等。
2、做好衔接，承上启下。教师要通过学习《义务教育数学课程标准》或初中数学教科书，搞清初中新课标中已删除或已降低要求的但高中仍需衔接的、需熟练掌握的内容，并在问卷调查的基础上制定好衔接内容的讲解计划，然后有效实施。一般情况下，在讲集合之前可补讲立方和与差的公式，十字相乘法及用它解一元二次方程，根与系数的关系（韦达定理）。在讲函数之前可适当复习一次函数、反比例函数、二次函数，并结合初中知识研究一次分式函数，熟练掌握配方法以及二次函数图像的顶点和对称轴公式。在讲分数指数幂之前可复次根式的有关概念，补讲分子、分母有理化和根号下含有字母的化简与运算，在讲任意角的三角函数之前适当复习初中锐角三角函数知识，并作一些拓展，如同角三角函数间的关系，两锐角互余的三角函数间的关系等。
3、开学初，教师可将本学期所要涉及的重要知识点或思想方法系统的总结并印出来，要求学生贴在书封面里，以便随时翻阅、记忆。平时教学中，注意加强学法指导（班上可自行订阅这类书，特别是班主任教师和任课教师一道利用班会课等时间给予学生系统指导）。
4、教师对这学期教学内容、教学要求、教学进度要有统筹规划、细化，防止拔高教学的要求随意性和盲目性，要不忘初心。平时教学少一些高考化，一些问题，如抽象函数可否淡化处理，尽量不考大题，函数的图像及性质在学完三角函数后再作适当的深化也许更恰当？我个人认为高一上期教学内容定为必修一全部，必修四中的三角函数、平面向量，不讲三角恒等变换。这样教学时间不会太紧，不急于赶进度，也不会因三角公式太多太集中让学生很不适应，更便于必修五中的解三角形的学习。
5、要减少学生懂而不会的现象，须在培养学生思维的灵活性、深刻性上狠下功夫。教学中可尽量采用变式教学，注意一题多解、一题多变、一题多用；多问几个为什么：为什么这样做，为什么这样想，它的背景是什么，为什么这样转化，让学生多层次、广视角、全方位认识数学。最好是每上一课后写好教学反思，每一次测验后要分析得失。因为“一个教师写一辈子教案不一定成为名师，如果一个教师写三年教学反思，则有可能成为名师。”
6、面批作业，及时反馈。每周利用晚自习面批，特别是针对学困生面批，发现问题辅导、及时就错、及时补救练习。
7、每次较大型考试考完后，教师立即公布详尽答案，要求每一题尽量一题多解，学生订正后再有针对性的讲解，对未达标的学生，要求再做一次相似练习题。
二、学生主体方面
一定要明白学习是自己的事。就正如《国际歌》中所说“从来就没有什么救世主，也不靠神仙皇帝，要创造人类的幸福，全靠我们自己”。
1、学生自己学习要积极主动，培养对数学的兴趣，养成好的习惯，习惯于看课本，熟读精思，善于提出问题。
2、准备一个笔记本，记好题，记典型错题，记不懂、不理解的题，记数学规律、数学小结论，记反思，记感想等。每一周交老师检查评价。
3、自选层次，努力达标。根据本班实际和学生自身意愿，可将将作业分成三个层次，课代表三个，每个课代表各负责一个层次的作业。第一层次先将当天学的知识要点抄写在做业本上，然后做课本上的例题或A组习题，第二层次做课本B组习题或练习册上的中档题，第三层次做课本上高档题和练习册上的高档题或教师补充的题，每两周再自行调整。
4、各层次学生每天做一道补充习题，以巩固前面所学内容为主，如此反复，防止知识遗忘。
5、每周做一次小测验，六个选择题，两个填空题，两个解答题，要求这些题全是低中档题，一般能保证百分之八十学生在五十分钟内全部完成。一道较高要求的选做题，供学生选做。测验完后立即公布答案。
6、上课期间，课代表每天课外抽各层次一至二名学生默写重要知识点或做课本上指定的例题、习题或以前的考题。
高中数学教学是一项长期的复杂的艰巨的活动，为了在教学上取得预想的效果，单是指导学生的脑力是不够的，还必须在他身上树立起掌握知识的志向，即创造学习的诱因。教育的最高目标就是激发学生的主动性，培养学生的独立性。从广义上讲，这就是一切教育的最终目的。
【参考文献】
关键词：成绩；行动；习惯；性格；命运
“播下一个行动，你将收获一种习惯；播下一种习惯，你将收获一种性格；播下一种性格，你将收获一种命运。”的确，行为习惯就像我们身上的指南针，指引着每一个人的行动。习惯对我们的生活有太大的影响，在不知不觉中，影响着我们的品德，暴露出我们的缺点，左右着我们的成败。所以人不可以没有好习惯，从某种程度上讲，好习惯可以决定我们有好的命运。
对于初中生来说，成绩的好坏主要取决于学习习惯的好坏，初中数学知识和技能对于大多数学生来说不是不能“为”，只是“为”不“为”的问题。下面就谈谈在数学学习中，学生应该养成的几种学习习惯。
一、认真观察的好习惯
文学来源于生活，其实数学也来源于生活，多少科技发明都是源于生活的必须，因此要学好数学也就必须对生活有高度的热情和细心的观察。只有在观察中才能发现问题，从而产生解决问题的需要，引发我们学习的兴趣。初中数学中的面积问题、销售问题、函数问题都离我们很近，都是我们生活必须。例如房屋建设中的地砖问题既涉及面积问题又涉及密铺和镶嵌问题，只要认真观察对于这类问题也就不难理解了。
二、勤于思考的好习惯
学而不思则罔，思而不学则殆。所以在认真观察生活现象后，一定要认真思考现象后面的缘由，走进生活。电表、水表等是我们生活中常见的计数器，可有很多学生不认真观察更不愿意思考，因此很简单的问题都不会解答。例如小王家上月电表读数280，本月电表读数380，单价0、52元，求本月电费。很多同学就直接用380×0、52。究其原因还是没有思考的结果，不了解电表连续计数的规律，只要勤加思考，解决这样的问题时就不会犯这种低级的错误了。
勤思考在课堂中就是要紧跟教师的思路，就是要求学生在理解数学各种概念、定理的基础上，对于比较类似的概念加以类比、区分（如“内切”和“外切”“圆锥”和“圆柱”等概念），通过区分、类比加深对概念的理解，内化为自己的东西，达到运用自如的目的。教师要通过在课堂上经常性的点拨、启发，引导学生形成这些思维活动的模式，养成勤思考的习惯。
“有不知则有知，无不知则无知”，没有问题的学生就是最大的问题。积极提问是学生课堂学习中获得知识的重要学习习惯。学生积极提问，证明他在积极思考问题，若学生向老师提问，教师便能及时掌握学生的思维动向，排除学生的思维障碍，帮助学生掌握正确的知识。学生积极提问，主动参与教学过程，相互激励学习动机，便能提高课堂教学效率。教师要帮助学生学会提问，使学生知道，只有清楚数学中的各种概念才能发现问题。对敢于提问、经常提问的学生要表扬——不管怎样的问题，哪怕是相当幼稚和离奇的问题，因为这是学生思维活动的结果，都要给予鼓励，以促使这种学习行为在以后的学习中持续发生。要使学生习惯于积极提问，教师还要在课堂内营造宽松、民主的氛围，使学生自由、无束缚地进行思维，更广泛、更深刻地追求“为什么”的答案。
三、善于总结的好习惯
学生学习的过程就是探索规律、掌握规律的过程，任何纷繁复杂的现象都是有其规律可循的，学习也一样，特别是数学学习。要学好初中数学关键就是要建立数学模型。不同的模型有不同的解题方法，而相同的模型却有着相同的解法，这就需要学生在学习过程中认真思考，总结规律。例如一次函数与反比例函数模型中的焦点问题、面积问题、三角函数问题都有其关键点，那就是坐标，只要掌握了坐标一切问题便都可以迎刃而解了。再如梯形辅助线不外乎有三种作法：（1）平移一底到另一底。（2）平移一腰。（3）延长两腰。只要建立了这样的模型学习也就有法可依了。做笔记不失为一种简单可行的好办法，做笔记并不是简单地将教师的板书抄写下来，而是要求学生对听课中得到的知识进行整理，它包括教师的思维方法和学生本人思考的过程和成果以及所存在的疑惑。语言是思维的载体，做笔记的过程是语言操作的过程，也是大脑积极思考的过程，能培养人的思维能力。做笔记还能使学生听课时的注意力更加集中，课堂学习效率更高。做笔记一定要记住思考过程中的闪光点，也就是那点没想到以后一定要注意的问题。
四、养成应用数学的习惯
生活即数学，我们生活在一个数学的世界里，每天的生活都离不开数学，因此我们既要在生活中学习数学，又要将我们的数学知识运用于生活中，用统筹方法合理安排时间，用函数选择我们的电话资费，合理理财。
【关键词】高一新生；数学学习；有效途径
随着高一新生学习的深入，高中数学成绩的分化是必然的，那么，数学成绩为何会落后呢？高一同学应怎样顺利度过高一数学学习的适应期呢？
一、高中数学与初中数学特点的变化
初高中数学教学有着明显的差异，初中教学明显是义务制，而高中教学是人才的选拨，更侧重于能力的培养。初中教材难度低，侧重常量研究和定量计算，灵活性差，所以他们习惯于机械的、便于操作的定势方式，适应了统一的、固定的思维模式，不擅长独立思考和自学研究，不具备系统的数学思维，更别谈创新思维和创造能力，完全是接受学习。更重要的是语言表达方式截然不同，初中以形象、通俗的语言方式进行表达，老师也以直观、形象教学为主，有些内容的表述具有启发性，趣味性，很吸引人。而高一数学一下子就触及非常抽象的集合语言、函数语言、图象语言等。尤其是函数这一块，学生对函数的概念就觉得陌生，不好理解，甚至不能理解。另外，高中数学不但难度大、容量大，而且还增加了应用性知识部分，课时紧张，进度快，经常是一个知识点刚入门，马上又有新的知识出现，让学生感觉所学内容杂乱无章，没有联系，也就无法归类总结，无法做到举一反三，无法做出有深度的题型，而且也没有时间多次练习相同的题型，而初中老师每讲完一道例题后，都要布置相应的练习。为了提高合格率，不少初中教师把题型分类，让学生死记解题方法和步骤。尤其在初三，重点题目反复做过多次。同时高中数学增加了概念、原理的定性研究及对学生想象力的要求，例如立体几何：需要从平面图形的概念转而形成空间概念，要求学生具有一定的空间想象力。由于这一系列原因，最终让学生觉得：数学没有了基础，数学好难。
二、学好高中数学的一点建议
1、及时了解、掌握常用的数学思想和方法
R・柯朗曾说过：“学生和老师若不试图从数学的形式和单纯的演算中跳出来，以掌握数学的本质，那么挫折和迷惑将变得更为严重。”所以我们不能盲目地弄题海战术，尤其是高中数学，更需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。数学思想方法分为数学一般方法、逻辑学中的方法和数学思想方法。一般方法包括数学解题的具体方法和技能、技巧，高中需要掌握的具体方法有换元法、待定系数法、配方法、判别式法；数学思维方法有数学归纳法、分析法、综合法、反证法、整体方法、试验方法等等；数学思想方法包括函数与方程的思想、分类讨论思想、化归思想、数形结合思想、集合与对应思想、运动思想、变换思想。解题时，也要注意思维策略问题，经常要思考：选择从什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。
2、逐步形成“自主学习，合作学习”的学习模式
数学优秀的学生不是老师教的，而是在老师的引导下，靠自己主动地参与学习过程或者和学生合作学习。例如：我市推广的活动单导学模式和我校推广的“361”模式，这两种模式都引导学生发现问题、分析问题、解决问题、培养探索的创新精神，并且真正做到把课堂还给学生，以学生为主体。“361”模式具体分三块：学习时间，学习主体，学习内容，每一块基本上都是百分之三十自主学习，百分之六十合作学习，百分之十要老师帮助。与此同时，正确对待学习中的怵头、恐惧、厌烦的心理，克服困难，培养学习数学的兴趣，养成积极进取、不屈不挠、耐挫折的优良心理品质。在学习过程中，善于开动脑筋，注重新旧知识间的内在联系和迁移，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。一定要把数学学活，要多思考。
3、对自己正确评价，采取一些具体的措施
①课前要做好预习工作。预习就是学生在教师上课前将要讲的知识先进行自学，做到初步理解，看有哪些是自己需要着重掌握的，为课上的学习做好准备。
②学会记笔记。记概念理解的不同侧面和数学规律；记自己不明白的问题；记解题的思想方法和思路；记总结性的内容；记自己所犯的错误；记教师在课堂中拓展的课外知识，以便今后将其补上。
③多动笔。首先数学是符号语言，其次，数学是抽象的，高中对学生思维能力要求较高，如果不动笔,单凭想象走不了多远。多动笔，不仅仅是要同学们计算，更重要的是通过解题步骤的书写，理清我们的思路。例如：学函数时，多画画函数图象，函数的基本性质就一目了然了。
④建立数学错题集。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。但关键要写下自己的心得，争取做到：找错、析错、改错、防错，以达到能从反面入手深入理解正确东西；能由果溯因把错误原因弄个水落石出，以便对症下药；解答问题完整、推理严密。
⑤熟记一些数学规律和数学小结论，提高自己的解题速度。
⑥经常对知识结构进行梳理，总结，形成板块结构,经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。
⑦认真做好作业，养成良好的作业习惯，只有养成这样的习惯，在考试中学生才能交出一份让阅卷老师心里舒服的试卷。此外，要在规定的时间内独立完成作业。培养良好的习惯要从高一开始抓起，并且要坚持下去，时间长了，数学成绩自然能得到提高。
⑧积极调整心态，不要产生畏难情绪，逐渐学会对自己的学习情况进行评估。只有对自己的情况作出细致诊断，才有机会有效地纠正它。
Abstract： Calculus Preliminary is the system arranged course of CRTVU （students need to participate in unified examination）， while a considerable part of vocational students in reading of our college have weak basic knowledge of mathematics， blurred concept， unclear mon used formulas， theorems， nature， not enough basic knowledge， skills and methods、 For these situations， in order to make plex issues bees simple， abstract issues bees concrete and improve the pass rate of students' unified examination， the author seeks to the symbolic-graphic bination in the usual teaching， sets out some specific practices， expects to play valuable feedback effect、
关键词： 统设科目；微积分学初步；数形结合
Key words： system arranged course；calculus preliminary；symbolic-graphic bination
中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）03-0216-03
0 引言
《微积分初步》是中央广播电视大学数控技术、计算机网络技术和计算机软件测试专业计算机信息管理等专业的一门必修的重要基础课程，通过本课程的学习，使学生对微分、积分有初步认识和了解，使学生初步掌握微积分的基本知识和基本运算方法，并逐步培养学生逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，为学习本专业其它课程和今后工作的需要打下必要的基础。因此，对本课程知识掌握的好坏直接影响到后续课程的教学以及电大高质量人才的培养。而事实上，限于学生基础知识薄弱等因素制约，要学好本课程不是件容易的事。
由于数形结合思想的特点是由数思形，将抽象的数式转化成直观的图形，以形助数。其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象的思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，话抽象为直观。所以，为了降低学生的认知难度，激发他们的学习兴趣，在具体授课中，笔者注重将数与形的知识结合起来。
1 数形结合法在函数概念学习中的运用
1、1 讲到函数的对应关系时，
如：f（x）=x2+2x-7
帮助学生理解成：f（）=（）2+2（）-7
1、2 讲到函数定义域求法时，强调具体可通过下面的途径确定：
①函数式里如果有分式，则分母的表达式不为零。
即：若y=■，则？驻≠0
②函数式里如果有偶次根式，则根式里的表达式非负。
例如：若y=■，则？驻？叟0
③函数式里如果有对数式，则对数式中真数的表达式大于零。
即：y=loga？驻，则？驻>0
④若函数式为若干表达式的代数和的形式，定义域为各部分定义域的公共部分。
⑤对于分段函数，其定义域为函数自变量在各段取值的并集。
⑥对于实际的应用问题，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域。
最后讲至用区间表示定义域时，补充区间与不等式的关系：
1、3 在复习完增减函数时，请学生结合图形说出函数y=f（x）的增、减区间。
2 数形结合法在函数极限学习中的运用
2、1 x∞时函数的极限，如图1、2。
通过给出这两个图象，引导学生考察x∞时函数的极限必须同时考虑x+∞与x-∞这两种情况下函数的极限是否相等。
即：■f（x）存在？圳■f（x）=■f（x）
2、2 xx0时函数的极限，如图3。
通过图3引导学生讨论函数f（x）=-x，x？燮0，1+x，x>0，在x0处的极限存在情况。
从而知道要求xx0时函数的极限，必须知道xx■■，xx■■时函数的极限是否相等。
即：■f（x）存在？圳■f（x）=■f（x）存在且相等。
3 数形结合法在函数连续性学习时的运用
引入函数在某点连续的概念时，先亮出图4，让学生直观认识到y=f（x）在点c处连续时图形是一笔画成的；然后再亮出图5、图6、图7，引导学生分析函数在点c处不连续的原因：其中图5是因为f（x）在点c处没定义；图6是因为f（x）在点c的极限不存在；图7是因为f（x）在点c处的极限值与在该点处的函数值不等。
从而帮助学生理解函数y=f（x）在点c处连续必须满足的三个条件：
①f（x）在点c处有定义；
②f（x）在点c处有极限；
③f（x）在点c处的极限值为该点处的函数值，
即■f（x）=f（c）。
4 数形结合法在导数几何意义学习中的运用
通过图8，引导学生分析：
当N=■M0时，割线M0N切线M0T，？驻x0，？渍？琢，所以切线M0T的斜率为
k=tan？琢=■tan？渍=■■=■■=f′（x0）
5 数形结合法在导数应用学习时的运用
5、1 函数单调性的判断
观察图9、图10，理解关于函数单调性的判断方法：
①若在区间（a，b）内，f′（x）>0，则函数f（x）在（a，b）内是单调递增的。
②若在区间（a，b）内，f′（x）
5、2 函数的极值
请学生说出图11中有哪些极值点，最值点是哪两点。
通过图12，直观理解极值的判断方法：
若可导函数y=f（x）在点x0处取得极值，则f′（x0）=0；
若导数在x0点左正右负，则x0为极大值点，f（x0）为极大值；
若导数在x0点左负右正，则x0为极小值点，f（x0）为极小值；
若导数在x0点左右同号，则x0不是极值点。
6 数形结合法在定积分学习时的运用
6、1 定积分的几何意义
当f（x）>0（a
此时A=■f（x）dx 此时A=■f（x）dx
如图15所示，在区间[a，b]上，若f（x）有正有负，则图中阴影部分的面积为A=■|f（x）|dx
=■f（x）dx-■f（x）dx+■f（x）dx、
6、2 定积分的其中几个性质
①性质1（定积分对积分区间的可加性）
■f（x）dx=■f（x）dx+■f（x）dx （a
原因：如图16
曲边梯形abBA的面积=曲边梯形acCA的面积+曲边梯形cbBC的面积。
②性质2
当f（x）是偶函数时，■f（x）dx=2■f（x）dx
原因： 如图17
由于偶函数图象关于y轴对称，此时面积A1 =面积A2，所以■f（x）dx=■f（x）dx+■f（x）dx=A1+A2=2A2=2■f（x）dx。
当f（x）是奇函数时，■f（x）dx=0
原因：如图18
由于奇函数图象关于原点对称，此时面积A1=面积A2，所以
■f（x）dx=■f（x）dx+■f（x）dx=-A1+A2=0
7 结束语
以上只是笔者在《微积分初步》个别章节授课中采取了数形结合法，旨在将抽象的数学事实与直观的图形结合起来，帮助学生学得更扎实，记得更清楚、牢固。诚如著名数学家华罗庚所言：“数与形本是相倚依，怎能分做两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微。”他还风趣地说：数形结合百般好，隔裂分家万事非。”看来我们还真的不要得意忘“形”。
参考文献：
[1]张祥福、“形”之有效[J]、数学论文，2003（6）、
[2]赵坚，顾静相、微积分初步、1版、北京：中央广播电视大学出版社，2006、12、
一、重树信心，享受快乐
随着国家现代化的高速发展，中等职业教育的发展日益受到国家的重视、教育部实施了很多扶持职业教育的措施、同时，家长与学生也逐渐意识到初中毕业的水平已经无法跟上时展的步伐、为了进一步提高学历，进不了普通高中学习的学生纷纷选择了就读职业中专、然而，这些学生在初中阶段的基础就差，尤其是数学，进入职业中专就更加跟不上了、面对这些学生，职业中专的老师该怎样上好数学课呢？若按传统教学模式去教，显然效果不是很明显、因此教师要先从初中数学与职业中专数学的衔接开始，做好补缺补漏工作、从与职业中专密切相关的方程（组）、不等式（组）、函数、平面几何等基本知识开始，做好新知识的铺垫、通过设计一些基本的计算题与证明题让学生感到其实初中数学是易懂的，使他们重树学好数学的信心，享受到掌握数学知识的快乐、
由于职业中专对学生的要求与普通高中相比有很大的差别，相比而言，职业中专所学的数学内容偏浅、难度较低、知识点相对少，所以，笔者认为可以从职业中专学生的特点出发，采用针对性的教学方法进行处理、在保证教学宗旨与内容不变、数学的知识系统不受影响的情况下，根据学生所学的不同专业对教材进行适当的调整与删减、例如：笔者在第七章“平面向量”这一部分的讲授中，发现很多职业中专学生对于向量的加、减法的知识还是可以接受的，但是对于平面向量的内积等知识就倍感吃力了，还有一些学生在整个学习的过程中始终是雾里看花，扑朔迷离、对于这些初中平面几何学得较差的学生而言，立体几何与平面解析几何中的内容那就更不必说了、笔者认为不应把职专的学生和普高的学生等同起来，对他们提出过高的要求、只有让他们在数学课上掌握了一些基本知识，尝到了甜头，他们才能重树对学数学的信心，并由此开始努力学习，享受掌握数学知识的快乐、
二、分层教学，激发兴趣
职业中专的不少学生由于学不好数学，初中三年在教师的“冷落、批评、挖苦”中度过，他们自知与普高无缘，抱着学技术专业的希望走进职业中专，可是仍然要过数学这一关，恐惧的心情可想而知、因此，学生对学数学持消极态度甚至是抵触情绪、针对这些情况，教师应多为学生着想，不能一味地批评他们，要关心他们，为他们补缺补漏，多表扬、多鼓励，肯定他们一丝一毫的进步，使学生减少对数学的畏难情绪，让教师在教学中有了氛围的保证、其次，由于职业中专学校的学生基础差异较大，因此在讲课过程中，要分出 “基本题”“中等题”“提高题”三个层次，让人人都有机会展示自我、这样就激发起学生学习的欲望与兴趣、笔者在第三章“函数”的教学中，为了使学生尝到成功的滋味，针对不同学生的程度差异，设计了如下题目、
（1）为基本题型，要求全体学生掌握；（2）比（1）略有提高，要求大部分学生掌握；（3）为提高题，只要求一部分基础较好的学生掌握即可、通过设计这样阶梯性的题型来达到“因材施教”的目的，取得良好的教学效果，从而激发他们的学习兴趣、
在教学的实践中笔者得出结论，一名学生如果在学习上尝到一点甜头，就会产生愉悦的情感，从而有“更上一层楼”的欲望、但是，大部分职业中专学生数学学不好时，即使付出了努力也是收获甚微、这就使得他们对学好数学失去了信心，乃至对数学产生恐惧、笔者在随堂考试中采用共同探讨，共同完成，或分组考试、选择作答等方式，调动起他们的积极性，激发他们的学习兴趣、俗话说：“三个臭皮匠，顶一个诸葛亮、”一个人的智慧是有限的，所以笔者在教学中采用合作交流的方法，让集体的力量产生智慧的火花，进而燃烧起他们的激情，这就对数学教学产生了良好的效应、另外，笔者还采用平时的阶段小测、单元测试与期末成绩相互参照与平衡，得出学期的总评成绩的方法、这样，既消除学生为应付考试而产生的各种弊端，又加强了对学生的过程性评价，使学生在原有的基础上尽可能获得更多的成功体验、从而提高了课堂教学的有效性、
三、立足学生，转变观念
在课堂教学中，教师不应该自顾自地满堂灌，要转换角度，立足于学生，设身处地地为学生着想，要随时关注学生在听课中的反应，把握教学节奏，遇到难点应放慢速度、例如笔者在第三章“函数”的讲授中，先从初中所学的函数知识作为切入点，观察学生的课堂反应，抓住初中所学的函数的定义的关键点：1、变化的过程；2、两个变量；3、自变量中的x都有唯一的函数值y与之对应、从这三个基本要素出发，从“集合”的观点引出函数的定义、笔者在“求函数的定义域”讲授中，先从几个基本的函数y=x，y=1x，y=x出发，让学生发挥自己的想象，利用集体的智慧探索出如何求一个函数的定义域，然后教师在学生的基础上进行归纳与总结，这样既增强了学生的信心，又让学生获得了必需的数学知识、为了更好地加深学生对数学知识的理解，在能够把数与形的内容结合起来讲时，应该尽量以“形”来说明“数”，进行直观教
学、笔者在“函数的单调性”的讲授中，先从学生所熟悉的几个函数
新知识奠定了良好的基础、另外，在教学的过程中，还要培养学生自学的习惯，让他们学会找出这一章节的关键词和知识点，让学生提出问题，这样能提高学生学习数学的积极性和主动性、当学生有了参与的兴趣后，教师要努力为学生创造成功的机会，让学生觉得数学并非那么难学，并及时进行归纳、总结，使学生明白一节课只要掌握一两个定理或公式就可以了，这样就增强了学习的信心、
四、改变方法，创新思维
一、高中数学的特点
概括地说，有以下三点。
1、知识的抽象性大
在初中学习的“函数”的基础上，高一又要学习“集合”、“对应”、“映射”等更为抽象的知识。高一的立体几何也削弱了直观性而突出了抽象性和空间的想象能力。这就是说思维要从直观，经验型向抽象，理论型过渡。
2、知识的密度增大
由于年龄的增长，接受能力、理解能力也在提高。同时高中数学教材的内容多而杂，这就决定了高中数学每节课的内容较初中时要多，即密度加大了。教师在教法上也随之有所变化。初中时教师常常把知识掰开揉碎地细讲，同时还选相当数量的习题去巩固这一知识；而在高中却常常是在新知识的开始阶段，例题即有一定的坡度。尤其强调知识的“以旧带新”和“横向，纵向的沟通、联系”。一节课下来，似乎是听懂了，但一遇到作业常常感到知识的运用不熟练，思路不通畅。似乎总感到新知识没有完全掌握，更新的知识又接踵而来。
3、知识的独立性大
初中知识的系统性是较严谨的，平面几何尤其如此，这个系统给我们学习带来了很大的方便。因为它便于记忆，又适合于知识的提取和使用。因此，平面几何的知识使人长久不忘，记得清，用得上。但高中的数学却不同了，除了立体几何、解析几何有个相对明确的系统（与平面几何相比也不成体统），代数、三角的内容具有相对的独立性。因此，注意它们内部的小系统和各系统之间的联系成了学习时必须花力气的着力点，否则，综合运用知识的能力必然会欠缺。
二、高一数学成绩下降的原因分析及对策
初中毕业生以较高的数学成绩升入高中后，不适应高中数学教学，相当多的高一学生数学不及格，出现了严重的两极分化，少数学生甚至对学习失去了信心。前几年，不少学校受高考指挥棒的影响，只注重升学率而忽视了合格率。现在高中搞会考制，上述问题引起了各校足够的重视。本文对高一数学成绩大面积下降谈谈造成的原因及应采取的对策。
（一）高一数学成绩大面积下降的原因
1、初、高中教材间梯度过大
初中教材偏重于实数集内的运算，缺少对概念的严格定义或对概念的定义不全，如函数的定义，三角函数的定义就是如此；对不少数学定理没有严格论证，或用公理形式给出而回避了证明，比如不等式的许多性质就是这样处理的；教材坡度较缓，直观性强，对每一个概念都配备了足够的例题和习题。而高一教材第一章就是集合、映射等近世代数知识，紧接着就是幂函数的分类问题（在幂函数中，由于指数不同，具有不同的性质和图象）。函数单调性的证明又是一个难点，立体几何对空间想象能力的要求又很高。教材概念多、符号多、定义严格，论证要求又高，高一新生学起来相当困难。此外，内容也多，每节课容量远大于初中数学。这些都是高一数学成绩大面积下降的客观原因。
2、高一新生普遍不适应高中数学教师的教学方法。
高一学生普遍反映数学课能听懂但作业不会做。不少学生说，平时自认为学得不错，考试成绩就是上不去，追究其原因是初中教师重视直观、形象教学，老师每讲完一道例题后，都要布置相应的练习，学生到黑板表演的机会相当多。为了提高合格率，不少初中教师把题型分类，让学生死记解题方法和步骤。在初三，重点题目反复做过多次。而高中教师在授课时强调数学思想和方法，注重举一反三，在严格的论证和推理上下功夫。又由于高中搞小循环，接高一课程的教师刚带完高三，他们往往用高三复习时应达到的难度来对待高一教学。因此造成初、高中教师教学方法上的巨大差距，中间又缺乏过渡过程，至使高中新生普遍适应不了高中教师的教学方法。
3、高一学生的学习方法不适应高中数学学习。
高一学生在初中三年已形成了固定的学习方法和学习习惯。他们上课注意听讲，尽力完成老师布置的作业。但课堂上满足于听，没有做笔记的习惯，缺乏积极思维；遇到难题不是动脑子思考，而是希望老师讲解整个解题过程；不会科学地安排时间，缺乏自学、看书的能力，还有些学生考上了高中后，认为可以松口气了，放松了对自己的要求。上述的学习方法，不适应高中阶段的正常学习。
（二）搞好高一数学教学的对策及方法
针对上述问题，笔者认为要想大面积提高高中数学成绩，应采取如下措施。
1、高一教师要钻研初中大纲和教材。
高中教师应听初中数学课，了解初中教师的授课特点。开学初，要通过摸底测验和开学生座谈会，了解学生掌握知识的程度和学生的学习习惯。在摸清三个底（初中知识体系，初中教师授课特点，学生状况）的前提下，根据高一教材和大纲，制订出相当的教学计划，确定应采取的教学方法，做到有的放矢。
2、新高一要放慢进度，降低难度，注意教学内容和方法的衔接。
根据笔者实践，新高一第一章课时数要增加。要加强基本概念、基础知识的教学。教学时注意形象、直观。如讲映射时可举“某班50名学生安排到50张单人桌上的分配方法”等直观例子，为引人映射概念创造阶梯。由于新高一学生缺乏严格的论证能力，所以证明函数单调性时可进行系列训练，开始时可搞模仿性的证明。要增加学生到黑板上演练的次数，从而及时发现问题，解决问题，章节考试难度不能大。通过上述方法，降低教材难度，提高学生的可接受性，增强学生学习信心，让学生逐步适应高中数学的正常教学。
3、严格要求，打好基础。
开学第一节课，教师就应对学习的五大环节提出具体、可行要求。如：作业的规范化，独立完成，订正错题等等。对学生在学习上存在的弊病，应限期改正。严格要求贵在持之以恒，贯穿在学生学习的全过程，成为学生的习惯。考试的密度要增加，如第一章可分为三块进行教学，每讲完一块都要复习、测验及格率不到70%应重新复习、测验，课前5分钟小条测验，应经常化，用以督促、检查、巩固所学知识。实践表明，教好课与严要求，是提高教学质量的主要环节。
学习数学做好课堂笔记至关重要，那么如何做数学课堂笔记呢？
一、记提纲
老师讲课大多有提纲，并且讲课时老师会将备课提纲书写在黑板上，这些提纲反映了授课内容的重点、难点，并且有条理性，因而比较重要，故应记在笔记本上。
二、记问题
将课堂上未听懂的问题及时记下来，便于课后请教同学或老师，把问题弄懂弄通。
三、记疑点
对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下，这类疑点，有可能是自己理解错误造成的，也有可能是老师讲课疏忽造成的，记下来后，便于课后与老师商榷。
四、记方法
勤记老师讲的解题技巧、思路及方法，这对于启迪思维，开阔视野，开发智力，培养能力，并对提高解题水平大有益处。
五、记总结
注意记住老师的课后总结，这对于浓缩一堂课的内容，找出重点及各部分之间的联系，掌握基本概念、公式、定理，寻找存在问题、找到规律，融会贯通课堂内容都很有作用 初三数学备考攻略
课程表：初三一年学习时间的整体安排
内容 所用时间
第一学期函数9月1日 ——10月中旬
解直角三角形10月中旬 ——10月下旬
圆10月下旬——期末
第二学期统计开学第一周
第一轮复习开学第二周——4月10日
第二轮复习4月10日 ——5月10日
第三轮复习5月10日 ——6月20日
简单说说以上各部分内容的中心任务及注意事项，在今后的学习中，大家可以不断回过头来看看。
1、函数：函数这一章是初中代数的重点，也是难点，在中考的代数部分所占比重最大，综合题中离不开函数内容。所以从函数这一章的开始就要打好扎实的基础。
(1)在函数关系的三种表示方法中，图像法是个难点，它也是后面学习一次函数、二次函数图像的基础，同时也是中考考查的重点。
(2)在第一学期的函数学习过程中不宜大量做综合题，但应仔细体会利用函数图像解决简单实际问题的题目。近年中考比较侧重实际应用问题的考察。
(3)函数部分比较抽象，内容又多，所以我们应注意经常性的总结、归纳所学内容，不断梳理所学函数知识。
2、解直角三角形。
(1)特殊角的三角函数值必须要熟练掌握。避免死记硬背，要利用好图形，画一个特殊三角形，依据三边关系，很快看出各角的三角函数值。
(2)利用好互余关系，一定要区分好同名不同角比大小和同角不同名比大小两种情况。这是最易混淆的两个内容。
(3)如何利用本章知识来解决实际应用问题是我们在学习过程中遇到的难点。要学会利用图形来理解题目中的文字内容，从复杂的题目中提炼出所要考察的数学本质。
3、圆：这一章在初中几何教学中占重要地位，它属于“提高阶段”，也是难点。
(1)这一章的概念、定理繁多，很多地方如不注意会产生理解性的错误。所以，一定要注重概念、定理的细节。
(2)这一章的图形复杂，圆与三角形、四边形都可以结合在一起，但也有规律，在学习中要善于总结各种图形添加辅助线的方法、规律，总结常见基本图形。
(3)要经常梳理知识点，不但能做到温故知新，而且使头脑中对本章内容建立一个清晰的脉络。
4、第二学期总复习分三轮完成。
(1)第一轮复习的主要任务是整理初中三年所学内容，理清所有基本概念、基本方法。复习速度快。可以在老师归纳每一章节前，同学自己应先整理所学内容。在此期间，最好每天自测几个小题目，内容不要过难，就练基础，一定要坚持。
(2)第二轮复习将分类讲综合题。这是复习提高，训练运用所学知识解决综合问题的阶段，往往按数学思想分类讲解。有很多小题目能恰到好处的体现某种数学思想，我们不应忽视；不要放松基础，这个阶段的周测要注意按中考标准安排题目的易、中、难比例；对于做错的题目要弄清其错误原因，及时查漏补缺。
(3)第三轮复习指各种模拟题的综合训练。这个阶段切勿盲目做题、只练不改。要认真对待每一次的试卷讲评。通过模拟训练，把中考所要考查的知识点和各部分内容所占分值、包括题目的分布情况，做到心中有数；针对题型的分布把做过的模拟试卷进行分析、整理，把每类题型都拿出来总结、寻找规律。这个阶段应是最大程度的提高阶段。
数学这门课连贯性很强，前面的知识没学会，后面的内容是建立在前面已有知识的基础之上的，而且函数和圆都是难点，所以这部分同学上课时会有很多地方听不懂，特别是复习课上老师讲到综合题时，这些同学更是不知所措。其实这部分同学心中也很苦闷 ，他们不是不想学，而是由于基础差不只如何是好。我想对这部分学生提几点建议。
1、要建立足够的信心。这时不要轻言放弃，因为我们还有约一年的时间，虽然难题我们做着有难度，但是基础题和一些中档题经过努力是可以掌握的。中考试卷中有60分的基础题，35分的中档题，这就是95分！一定坚信自己在中考中最低也能得到基础题的分值。
2、具体怎么做？第一，在第一轮基础复习阶段，要集中所有注意力，争取把基础概念和基本方法补上来，每天的基础测验要认真对待、弄清每道题的做法，认真自觉地改错，改错后一定再让老师批改，确认正确才可以。明确每天只要掌握一两道基础题的解法就是收获。平时主动与老师沟通，得到老师的帮助和理解。第二，反复训练。任何知识不可能只练一遍就掌握，必须反复不断练习，多次重复才能巩固。第三，正确看待每次考试的分数。经过努力有些同学的成绩可能还是不理想，但是我们一定要看清楚：在基础题的这部分份额中自己是否进步了
名师谈初中数学：别让“穿了马甲”的题目迷惑
汉网消息(记者杨梅向洁实习生李??)做题在精不在多，否则会“熟能生笨”、“熟能生厌”。昨日，汉阳区第二届名师桂文通做客“晨报名师课堂”，提醒家长和学生，学数学不要走入题海战术的误区。
昨日下午3时，第6期“晨报名师课堂”在市青少年宫A101教室开讲，武汉市第三初级中学数学高级教师、市学科带头人、汉阳区第二届名师桂文通，就“如何学好初中数学”与现场近200名家长和学生进行了交流。
学好数学，多做题目是难免的。但桂文通称，做题在精不在多。孩子刚入初中，要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础；再找一些课外习题，尤其是中档难度的题目，以帮助开拓思路，提高分析、解决问题的能力，掌握一般解题规律。
“只有一定量的练习，才能形成技能，也就是熟能生巧。”桂文通说，题目量拿捏不准就会弄巧成拙，变为“熟能生笨”、“熟能生厌”。他举例，经过多次重复机械做题，很多学生只会做某类题，稍稍改变一下命题方式，“题目穿了马甲，学生就不会了”。
做题的目的在于训练思维能力、掌握方法，所以家长应给孩子做一定量的题，有质量的题。桂文通建议，如果孩子学有余力，配备两本数学课外习题集足矣。
没有兴趣做支点数学很可能“扯后腿”
“小学到高中，学生要学12年数学，没有兴趣做支点，数学很可能在关键时刻‘扯后腿’。”谈到数学学习，桂文通建议家长把重心放在培养孩子的数学思维上，一味应试培优可能换来一时高分，但极易减弱孩子对数学的学习兴趣。
桂文通认为，学数学应融入到生活中，如天气预报中城市下雨的概率、股票的变化曲线以及买中奖率，都运用到数学知识。
“孩子不一定每次考试都取得理想成绩”，桂文通提醒家长，不要给孩子下“没希望了”、“老是学不好”等负面定论，多用激励性语言，孩子的学习劲头才会越来越足。
消化好45分钟放电影式复习
“课堂45分钟如果完全消化，无须课外培优。”桂文通称，学生听课时，一方面要理解老师讲的内容；另一方面要独立思考，鉴别哪些知识已消化。讲课中，如果哪个环节没弄懂，应及时记录下来，课后请教。切勿因一个知识点不懂，影响整堂课的接受。
“复习数学的有效方法不是一遍遍看书和笔记，而是回忆式复习。”桂文通建议学生采用放电影的方法。完成作业后，把书和笔记合上，回忆课堂上的内容，如定律、公式及例题解答思路、方法等，尽量完整的在大脑中重现。再打开课本及笔记进行对照，重点复习遗漏的知识点。这既巩固了当天上课内容，也可查漏补缺。
小小错题集受益无穷
平时作业、课外做题及考试中，对出错的数学题建立错题集很有必要。错题集由错题、错误原因、改正措施、订正和巩固防错五项内容组成。
一本小小的错题集，初中三年的数学学习都会受益无穷。桂文通称，错题集好处有三：由错题入手，对疏漏的知识点重新深刻理解；由果索因，把错误原因弄个水落石出，以便对症下药；提高改错的目的性和自觉性，长期坚持，可在学习态度、方法、习惯等方面有良好改观。
桂文通说，有家长抱怨孩子，平时数学成绩好，一到考试就失误，错题集对这些“敏捷而不踏实”的学生尤为奏效。
互动问答
家长：孩子上初一，数学成绩不好，该怎么办？
桂文通：从小学算术思维转变到初中代数思维，孩子有一个适应过程，家长先不要对孩子寄予过高期望，那会给孩子带来很大压力。首先，看孩子现在数学基础如何，只要能在现有基础上有所进步，就应给予鼓励和肯定。初一学生，尤其要重视基础题的训练，基础打牢，才有希望继续提高。此外，要关注孩子的计算能力，计算不过关，以后学习会很困难。
家长：初二是数学分水岭，家长该么样引导孩子度过？
桂文通：初二数学对函数要求稍高，尤其是一次函数，是关键。学习一次函数要注意联系实际生活，把思维放开，才能有所突破。
学生：初三么样学几何？
桂文通：现在新教材对几何要求比以前略低，重视图形的变动，学习时应将思维发散开来，不要太死板。多做习题很有必要，另外，做完习题后要总结归纳，找出弱点，然后才能有的放矢。建议初三学生多关注武昌区近两年的中考试题，因为武昌区较早使用新教材，试题有一定参考意义。
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