如何实现线上教学范例(12篇)
时间：2024-03-20
时间：2024-03-20
一、利用几何画板，加深知识理解，提高课堂教学效益
在高中数学教学中，数学概念、数学定理等是基础性知识，也是重要内容，对学生数学学习有着十分重要的影响.对于这些数学知识，若教师只是单一地分析与讲解，仅在黑板上加以演算，一方面学生不能透彻地理解知识，另一方面学生会感觉学习枯燥、乏味，缺乏学习积极性，因而难以快速而有效地完成教学目标.如果教师在教学过程中能够适当地运用几何画板，则会有意想不到的效果.如通过几何画板演示，学生可体会到数学知识中不变与变之间的紧密关系，从而更深刻地理解与把握概念、公式、定理以及相关推论等数学知识.
例如，在讲“数列极限”时，为了帮助学生理解与把握这一概念知识，教师可灵活运用几何画板进行辅助教学.比如教师可先利用几何画板画出数列an=10-n的相应图象，也就是由离散点所构建的函数图象，然后要求学生仔细观察曲线的变化情况，同时借助几何画板作出相应的列表.这样，通过直观演示，可让学生动眼、动脑，增强直观感知，由感性认识逐步上升到理性认识，从而加深对这一数学概念的理解与记忆.
又如，在讲“二面角的概念”时，教师也可运用几何画板进行形象生动性的教学.首先，教师先将一条直线呈现在电脑屏幕上，接着使用多种色彩由该直线出发来画两个半平面，并且闪烁该直线与两个半平面构成的立体图形，通过认真观察，学生则可领悟到二面角的形成过程.接着教师可将两个半平面与直线进行分别闪烁，引导学生了解二面角中各组成部分的数学名称.然后教师固定某一个面，而转动另外一个面，于是可得到大小各异的多种二面角.这样，通过几何画板演示，可变静态事物为动态化，可变抽象知识为直观化、形象化、具体化，同时通过二面角旋转课件，为学生营造了逼真的学习情境，使学生如临其境，可增强学生对知识形成与发展的体验，得到更准确，更深刻，更清晰的数学概念，从而提高学习效率，提高教学效果.
二、巧用几何画板，突破难点，培养学生的创造意识
在高中数学教学中，函数是重要的教学内容，也是教师教学与学生学习的难点之一.在传统教学过程中，当讲解函数知识时，教师通常是在黑板上板书，用笔作出函数图象，一方面图象缺乏精准性，另一方面画图又花费了一定的教学时间.同时，由于是所作图象是静止的，学生则难以观察到图象的变化过程，而后面的学生可能看得没那么清晰，这就影响了学生的学习效果.因此，在高中数学教学中，教师可借助几何画板来直观而快速地作出函数图象并显示其变化过程，以突显教学重点，突破教学难点.
北京市数学特级教师，现任教于北京市十一学校。承担“数学模型解题法”等6项部级课题，出版个人专著《高考数学压轴题破题36计》等8部，在《数学通报》《数学教学》等省级以上刊物中发表教研论文100余篇，其中多篇被中国人民大学资料中心收录。
“学科核心素养”是时下谈论较多的一个词，如何在课堂教学中培养学生的核心素养是一个我们需要关注的问题。一个具有一定造诣的教师，已然形成自己独特的教学风格，其课堂教学具有自然的“艺术性”，能让听过其课的师生无一不被其人格魅力和教学艺术所震撼与熏染。细加剖析，这其中的原因是多方面的，仅就“核心素养”的角度考虑，是其对学生“核心素养”的培养落实得到位。具体而言，其含义有二：一是帮助学生把陈述性知识变成程序性知识，即让学生掌握了分析问题、解决问题的思维方法，培养了学生可以迁移的自主学习能力；二是在师生共同的活动过程中，让学生充分体验到学习的快乐，有效地锻炼了学生的开拓进取、知难而进的意志品质。
其实，关键是“如何教”的问题。这是一个极为现实的问题，也是讨论太多的问题，似乎没有定型的答案，没有固定的课堂教学模式可供遵循。还是魏书生先生说的好，若你善于讲，就发挥讲的优势，若你善于启发学生自学，就教给学生自学的方法，总之，寻求你所擅长的高效做法。这篇文章里，我从常规的生态课堂教学入手，主要从分层设计、课堂操作、过程评价三个方面作一点说明，供大家参考。
一、分层设计
《礼记・学记》提出“学不躐等”，其含义有二：一是不同学生已有的知识层次和水平有差异；二是处于同一层次（水平）的学生在不同成长阶段需要施以不同的教学内容和不同的教学方法。因此，我们需要充分了解不同学生和同一学生在不同阶段所处的层次，再有针对性地进行分层设计。
十一学校的做法是：第一，以入校前测的结果指导分层，印发《选课指导手册》，提出选课建议，实施“小班化”教学；第二，在起始年级配备导师，进行有针对性的个别指导―发现那棵树，即关注个体、张扬其个性。导师的三个基本功能是：学业指导、心理疏导、人生引导。
二、课堂操作
每一节课都要给学生自学方法的示范；各学科都要设计能让师生有共同收获、共同成长的活动。例如，在数学课堂上，可以为学生构建一个研究数学对象的基本套路，即通过设计系列数学活动，让学生经历“事实―概念―性质（关系）―结构（联系）―应用”的完整过程（以此为教学内容的明线），使学生完成“事实―方法―方法论―数学学科本质观”的超越（以此为暗线）。从数学学科的核心素养角度看，若要从事实到概念皆融“数学抽象”于其中，可通过创设问题情境让学生尽快进入状态，激发学生的探究欲；睦斫飧拍畹矫髁诵灾剩这一过程应使学生得到“数学推理”的基本训练，包括通过归纳推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质；从明了性质到形成结构主要也是“数学推理”，因为这是建立相关知识的联系、形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结构的过程；从理解概念、明了性质、形成结构到实践应用，在这一过程中，教师应随时注重指导学生用数学知识解决数学内外的问题，使学生得到“数学建模”的有效
训练。
在上述几个步骤的关键处，应注意适时引导，加强“一般观念”的指导作用，如“如何思考”“如何发现”“从什么角度观察”；观察结构特征可从“数”“形”两个角度（静态）入手，若从动态角度入手，可改变目前问题的形式，进行等价转化后再让学生观察，进行必要的模式识别，学生往往会有新的发现，这时学生又可得到“直观想象”“数据分析”的训练。
我以课题《空间角的计算》的同课异构课型为例来具体说明。
【教师甲】
直接给出异面直线所成角、线面角、二面角的定义，稍加解释后引入空间向量方法，然后教师用课堂三分之二的时间进行例题讲解、题组练习，重点训练学生对于用向量方法求解三种空间角的能力。学生不感到难，接受情况好，听课老师也普遍反映课堂效果好。
【教师乙】
1.创设情境（事实）
首先投影，给出四个画面让学生观察：纵横交错的高速公路（异面直线所成的角）、两条电线短路放电的瞬间（异面直线的距离）、比萨斜塔倾斜度的测量（线面角）、蝴蝶展翅（飞翔）来回扇动翅膀的过程（二面角的大小）。
2.引入概念（数学抽象）
演示从平面到空间的变化过程，从而抽象出概念的本质属性。如异面直线可看成两条相交直线（就地取材，权且用两根粉笔取代），其中一条不动，另一条在空间向上（或向下）平行移动而成；还可看成两条平行直线，其中一条不动，另一条绕其上一点在空间转动而成。这种演示，可以有效地启发学生发现表征异面直线的两个要素：异面直线所成的角与距离，同时也能为学生进一步抽象出异面直线的定义提供直观的形象载体。
3.求法研究（即性质、结构的探究）
图形均为空间图形，难以直接测量，其求法应当考虑转化与化归到平面上，用平面角来表示，即寻找一个典型的截面。如上述演示，回归即可引出作表征异面直线所成角用平面角的想法。这既分析了空间线面关系，又给出了求异面直线所成角的基本方法，即在具体图形中过某定点（最好选在这两条线上某个固定的点）作其中一条的平行线，将题设相关条件有效转化到一个三角形中，解此三角形即可。
同理，线面角转化为斜线与其在平面上射影的夹角，二面角则用垂直于棱的平面所截的两条射线夹角来表示，但在具体解题中不实用，可这样引导：仿照线面角的寻找方法来找二面角，即先过其中一个半平面上一点P（不在棱上）向另一个半平面引垂线，过垂足H向棱引垂线，垂足为A，连结PA（易得AP垂直于棱），则角PAH就是二面角的平面角，或过点P分别向棱和另一半平面引垂线，垂足分别为A、H，连结AH（易得AH垂直于棱），则角PAH就是二面角的平面角，解三角形PAH即可。
再启发：还有什么比较好的方法可以求这些角吗？引入空间向量，介绍向量方法。引导学生：对于直角结构明显的空间图形，可建立坐标系，用向量坐标法解决，而直角结构不太明显者，可酌情考虑选一组基底，用向量几何法解决，或化斜为直，建立空间直角坐标系，用向量坐标法解决。
4.应用（例题讲解、题组练习）
到此，课堂时间过去近四分之三，当然，用向量法求空间角的训练不够充分。
教师甲（苏步青奖获得者）将本节课定位于用向量坐标法求空间角，主要时间用于训练空间角的求法及其各种变式，学生当堂就能较为熟练地掌握空间角的向量求法，符合最新课改理念：将几何问题转化为代数问题来解决，弱化对于空间线面关系的抽象分析；同时也符合学校教学实际情况：课时紧，任务重，只能拣“干”的来。
教师乙则定位于核心概念教学，重点放在引导空间角（三种）概念的抽象、性质结构（即核心概念的内涵与外延以及这三种角的内在联系）的探究，求法也不局限于只用向量法，而且，即使用向量法，教师也还有向量几何法的引导。本节课易被诟病的地方是：在传统几何法方面用时过多，向量法也训练不充分，教学环节不完整，没有很好地完成教学任务。从教师乙的课堂教学设计来看，我们需要注意以下几点：
1.核心概念本身即蕴涵着思维训练价值，蕴含着分析问题、解决问题的思维方法，教学中不宜轻轻滑过。
2.注意引导学生体会三种角之间的有机联系，尤其是在新授课之初，否t在其他课上更没有时间分析。
3.数学思想、数学观念在数学学习过程中具有居高临下的指导作用，如本例中用类比与化归思想分析问题，容易探究到角的本质，实在而直接，不能因误认为其虚泛而掠过。
4.新课标对数学内容侧重点的转型研究：新课标在此处的着力点已经由空间想象力转移到量化处理（几何问题代数化）能力，教师甲的处理符合新课改理念，因此得到许多教师和专家的肯定，但我认为还有值得商榷之处。
开设立体几何课的主要目的不是用空间向量法解决立体几何的问题（即几何问题代数化），因为几何问题代数化的思维方法在解析几何中体现得更为充分，没有必要再在立体几何课中重复这一理念。开设立体几何课的主要目的是发展空间想象力，宏观上将视角由平面（二维）拓展到空间（三维），力求还原三维空间事物的本来面目，微观上则需要将视角集中于一个固定的空间图形，剖析还原，细致地分析空间图形的线面关系，这样才能有效地训练学生空间的联想和想象力，发展空间想象能力。而向量坐标法训练得再熟练，也无法达到通过分析空间线面关系来发展空间想象力的效果。事实上，现实的教学已经证明：理科学生在立体几何方面的推理能力甚至弱于文科生，主要原因是大多数省份的文科生不学空间向量，只能用传统的几何法分析解决问题，而理科学生自从学了空间向量法以后，甚至于连空间内一个关键点的三维坐标都难以准确写出。这是将在2017年实行的最新一轮的课程改革需要面对的现实问题，因为我们已经不止一次地研讨过新出台的《普通高中数学课程标准》，其对于立体几何问题主要是用空间向量法处理，对于用传统几何法是弱化的，而且也不再有《几何证明选讲》之类的选修课程。
三、建立科学高效的过程评价体系
评价起着导向和激励作用。针对不同层次的学生，面对不同的课型，其评价指标和权重都有所不同。研发评价系统是任何一所学校都极为重视的工作，这需要学校结合自身实际，注重导向性、激励性、有效性（时效与长效有机结合）、针对性等原则。过程评价主要为学生提供日常学习的参考数据，为其调整日常学习的效率提供决策依据。
十一学校对于学生日常学习的过程性评价的基本做法是：每位教师都及时将所教学生的常规表现纳入过程评价系统，设立考勤、课堂表现（积极主动参与课堂互动、发言、创意等）、作业、前测与章节过关测验等几项，每项以分数多少作为参与度或质量指标，每次过评的满分为40分。学生每天登录平台，就能看见自己前一天（或前几天）的过评数据，可以及时调整自己的学习状态和方式方法。
教师还可以借助过程性评价管理系统的平台对学生进行个别化指导，如通过留言或鼓励其进步，或激发其创意，或提醒、指出其待改进处，或共拟未来一段时间的读书、自学具体计划……
一、激发学生学习兴趣是几何入门学习的前提
孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐知者。”平面几何的优势在于它的直观性、趣味性和生活性。随着科技的发展，电教设备也逐渐走进班级。所以在上几何课时，教师可以充分利用多媒体展示给学生丰富多彩的几何内容。如《丰富的图形世界》课，可以给学生展示夜晚中的点点繁星、夜幕中的激光束、马路中笔直的分道线、喷泉的水流、蜿蜒的盘山公路、平静的海面、平整的地面、弯曲的墙面和屋顶等一系列图片，通过展示生活中的具体事例，让学生得出点、线、面、体的直观概念，也使学生初步体会到数学来源于生活。所以，抓住学生的学习兴趣，是上好平面几何入门课的前提。
二、细化教学过程是几何入门教学的关键
几何是运用逻辑推理的方法来研究平面图形性质的一门科学。按照初中数学新课标在“图形与证明”中的要求，学生应该“掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有证据”。因此，培养学生逻辑推理的能力是平面几何教学的重要目的之一。笔者认为要让学生达成上述目标，细化教学过程是几何入门的关键步骤。教师应有意识、有目的地从学生的听、说、写入手，润物细无声地将几何思想、推理方法渗透到教学之中。
1.听――区分几何用语中的不同
“听”是基础。听什么？首先应认真听教师的分析，从听中感受代数和几何的不同。代数主要研究的是数字与数字之间的逻辑联系，是代数式与代数式的运算。而几何是图形之间的必然联系。其次要听出几何自己本身所具有的特性。如在上角平分线定义时，需听出角平分线是射线；而在《三角形中的重要线段》这课时，需听出此处的角平分线是线段，这两者之间既有共性又有区别。
2．说――培养语言表达能力
几何别于代数最大的特点之一是：不但它需要用简洁、明了的文字来叙述一个命题，它更需要以严谨、准确的几何语言来表达推理、论证的过程。这也是我们教师在初阶段让学生在听的基础之上，进一步用说的方法体现所学内容。
（1）想说。在情境创设时，通过图形或实例让学生想说。如《平移》课，可以通过许多美丽的图案让学生有个感性的认识，继而从探究雪人的活动中让学生体会到平移的特点。此时不论是从情境上有感性认识还是从动手操作中有理性认识，学生对于平移的特点已经呼之欲出，这时达到了老师的目的――让学生想说。
（2）会说。①让学生要对所学概念、定理能够用自己的语言复述出来。②不仅要会说，还要说得准确。如《等腰三角形》中对三线合一的表述中，学生经常只说等腰三角形的角平分线、高、中线互相重合，而实际应是等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。③说，还可以是总结性的说。如上完《直线、射线、线段》课后，要求学生用准确、简洁的语言说出三者的联系与区别。这实际就是对学生们提出更高要求，也是对所学知识的浓缩和提升。
所以，说――能让学生得到锻炼，这不仅是对上课注意力的检验也是锻炼学生语言表达能力，甚至是对所学知识进行提炼和内化，也让教师及时发现学生学习中的漏洞并纠正几何语言中的错误。
3．写――对逻辑思维的提炼
教师所教的一切内容，最后都落实到学生的笔上。如果“听”是基础，“说”是对所学内容的直观反映，那么“写”就是对所学内容的更高要求。
三、注重培养学生分析和综合相结合的证明思路是几何入门教学的重点
初学几何的学生对于几何书写甚感困难。经常只会顺藤摸瓜地写一点逻辑关系，但如何逐步推向“未知”，得出结果，更是困难。主要原因是没有抓住证明思路。
（1）用综合法寻找思路。综合法是从已知出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”。
（2）用分析法寻找思路，综合法叙述：分析法是从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到找到一个明显成立的条件，这个条件可以是已知条件、公理、定理、定义等，可以看出，若使用分析求解问题，对结论的简化与转化很重要，它是向条件靠拢的重要措施。其特点和思路是“由果得因”。
（3）综合法和分析法现结合寻找思路，仍用综合法叙述。
例题如图，已知CDAB,EFAB,∠1=∠2求证：GD∥CB。
用综合法和分析法结合起来思考，可得如下思路：①由题目的CDAB,EFAB出发，由垂直定义得出∠BDC=∠EFC=90°;②由∠BDC=∠EFC=90°，可得出BD∥EF;③要证GD∥CB，只需证明∠1=∠3；④由题意知，∠1=∠2，可得出∠3=∠2；⑤而由BD∥EF，可得∠2=∠3，因此问题得到解决。上述思考过程中，①、②、⑤是用综合法思考，③是用分析法思考。对于较复杂的问题，通常是将分析法和综合法结合使用，但仍用综合法表述。
【关键词】高中数学课堂教学有效性
新课程标准指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量，数学教育具有精神领域的功效，它蕴含着深厚的人文精神，具有特殊的文化内涵。这就要求高中数学课堂的有效教学是至关重要的，它是提高教育教学质量的重要途径，是实现素质教育的重要手段，因此发现高中数学课堂影响教学实效性的因素，利用教学实践来说明如何提高课堂教学的有效性，使我们的教学活动更有效，同时对教师的专业化发展起到了促进作用是十分重要的。
一、由整体到部分，自上而下设计教学步骤
传统数学教学常采用部分到整体、自下而上的教学设计，往往将数学知识进行由低级到高级、由特殊到一般的呈现式教学，如通过大量的举例来完成学生对集合这一概念的掌握，这种方式有它的优势，符合个体掌握知识的基本过程，但是对于高中数学来讲，却难以调动学生已有知识水平和学习的参与主动性，建构主义视野下的教学，则提倡由整体到部分的授课方式，教师会提供知识的“骨架”如内涵及核心性质，让学生借助这一“骨架”去自行探索规律和收集实例，教师对教学过程进行管理与调控，这种建构还表现在教师对整体性学习任务进行要求，而由学生自行进行任务分解并按照自己的方式节奏加以实现，还是以集合为例，教师在提供集合概念后，可以通过原型聚焦方式，引导学生进行集合性质的探索与归纳，最终得出集合确定性、互异性和无序性的认识，这种过程性探索的方式，对于接下来的复杂集合问题解决帮助很大。有了整体到部分的知识结构，在面对实际数学题目时便能够抓住主线，进行提纲挈领、顺藤摸瓜式问题解决了还是以高三立体几何内容为例，由于内容繁多，学生往往无从下手，做题时感觉非常茫然，如果能抓住立体几何的两大主线：证明与计算，将会起到事半功倍的效果，首先，以平行和垂直为主线进行证明问题解决，过程为：线线平行、线面平行、面面平行，线线垂直、线面垂直、面面垂直，其次，以角和距离为主线进行计算，角的主线为：线线角――线面角――二面角，距离的主线为：点点距――点线距――点面距――线线距――线面距――面面距，重点是点面距。以上证明两主线都有几何法与向量法（转换为直线的方向向量或平面的法向量的平行与垂直问题），计算的两主线同样有几何法，抓住以上四主线，复习立体几何就会有的放矢，得心应手，由此我联想到整个数学教学只有使学生站在系统的高度，整体把握知识的主线，才能把盘根错节、零散的知识整合起来。
二、创设认知矛盾，实行多层次随机通达教学
我们说，建构学习的前提是学习者已经具备一定知识基础，对旧知识的体系框架有较清晰的认识，因此，有效进行高中数学课堂教学，需要找准新旧知识的结合点，帮助学生在旧知识上找到认知矛盾，激发学生的兴趣例如，立体几何这一知识模块对于高中生来讲，与以往所掌握的知识有很大区别，往往存在知识经验上的相悖，点线面之间的组合更加灵活抽象，这种变化一方面给教学带来了一定难度，另一方面则恰恰是激发学生认知矛盾，促进探究学习的契机，教师可以通过现场教具演示引导学生进行比较式讨论，如平面几何中“三角形内角和180°”“四边形内角和360°”是如何证明的，在立体几何中是否有变化，如何证明，不但利用了学生在初中时熟知的平面几何知识，降低了知识的突兀性，又恰到好处地引发了学生的认知矛盾，为进一步深入教学提供了很好的切入点。从学生个体角度讲，建构学习来自于学生的主观体验，通过随即通达教学，通过对知识背景的改组变化，丰富学生的体验，让学生从不同侧面不同维度加深对知识的理解，从教学整体效果讲，对课堂的有效建构需要对学生进行分层教学，这是符合实际需要的，不同学生的知识水平不同，知识体系也存在差异，因此有必要对初级学习和高级学习进行区分，以符合不同水平学生的认知特点进行教学设计。
三、注意分层教学
摘要：本文介绍了笔者针对“计算机图形学”课程教学中存在的问题所进行的“14+4”教学改革的实践。
关键词：计算机图形学；教学研究；计算机图形生成系统；OpenGL
中图分类号：G642
文献标识码：B
“计算机图形学”课程传统教学模式的重点是基本理论和算法的讲解，学生在学习本课程过程中只是了解了基本图形的生成，而对于三维图形的生成和几何变换、曲面的生成、消隐算法、光照模型的模拟等理论不知如何去实现，针对这一现象，笔者提出以下几点改革，供大家共同探讨。
1计算机图形生成系统
结合本课程教学内容，我们开发了计算机图形生成系统，该系统除了实现课本中讲解的基本算法外，还可实现三维图形的生成与几何变换、曲面的生成、消隐算法、光照模型的模拟等。使学生在学了本课程以后，不仅能实现简单图形的生成，还可以实现复杂的图形。
此系统可实现教材中的基本算法，如DDA和Bresenham的直线生成算法、圆的Bresenham和中点生成算法、椭圆的生成、任一多边形的生成、种子填充算法、扫描线填充算法、直线的Cohen_surtherland裁剪算法、曲线曲面的生成等。
对于比较抽象的算法，采取先讲理论，再讲程序，使学生能理解这些理论用计算机言怎样去实现，从而加深理解。
另外本系统对各个部分进行了归类讲解：
(1)系统可生成基本三维图形，如球体、椭球体、圆柱、圆锥、任意多面体等，在讲解相关理论后，再演示和详细讲解程序，可以使学生比较容易理解。例如可以把球体、椭球体、圆柱、圆锥归为一类讲解。先讲解一个球体的生成程序，程序用球体的参数表达式去实现，其中用到了投影变换、三维形体的几何变换、屏幕坐标系的变换、简单的反向面消隐算法，学生理解后，再把锥体、椭球体的参数表达式告诉学生，让学生试图生成锥体、椭球体或与球体相近的其他形体。对于多面体的生成，利用边界模型和表面模型分别表示一个四面体，把理论与程序中的数据结构相结合，比较具体，学生易于接受，这样学生就可以对任意多面体怎样利用实体构造方法去实现了。
(2)对于三维形体的几何变换上，可以用两种方法来实现：物体不变，视点位置变换；视点位置不变，物体发生几何变换。在教学过程中，应用一种三维形体，如任一四棱锥来用两种方法实现这种变换效果，并讲解两种算法的实现程序，给学生布置一道相似的作业，让学生尝试实现。
(3)在消隐算法的讲解和实现上，因为在三维图形的生成程序中已经让学生了解了简单的反向面消隐法，所以在这部分内容把Z-buffer算法和扫描线算法的理论讲解结合实现程序讲解，学生比较容易理解。
(4)自由曲面的生成，利用Bézier曲面的DeCasteljau生成算法生成双三次曲面，利用B样条曲面的Deboor算法，生成双三次B样条曲面，并生成NURBS曲面，对之进行几何变换。
(5)简单模拟光的反射、环境光的漫射效果，以及对二维、三维图形的纹理映射技术。
(6)对于几何造型方面，造型方法结合程序讲解，效果较好。比如分形造型、边界模型、表面模型等，结合理论，讲一个实现程序，学生不仅可以更容易理解，还可以过到触类旁通的教学效果。
2基于OpenGL的课件
目前本课程的实验只是使用某种高级语言环境(如TurboC++)作为上机实习的平台，而当前比较流行OpenGL、Direct等开发工具，学生并不能够在TurboC++试验中获得未来就业环境下真实需要掌握的编程知识。OpenGL的这些能力为实现逼真的三维渲染效果、建立交互的三维景观提供了优秀的软件工具。OpenGL集成在Windows的内核中，VB、VC++均可直接调用，初学的学生也能利用OpenGL的图形处理能力设计出高质量的三维图形以及三维交互软件。所以，笔者在本课程的课件中，每一部分的章节后面，都要讲解在OpenGL中怎样实现，如画线、几何变换、消隐、纹理映射、曲线和曲面的生成等，展示相应的程序并讲解程序。这样可以拓宽学生的知识面，提高学生的就业机会。例如(1)图形生成算法，OpenGL提供了定义点的函数，利用这个函数可以方便地向学生演示基本图形生成算法的基本原理。(2)几何变换。调用OpenGL的三个变换函数glTranslate3()、glRotate3()和glScale3()，实质上相当于产生了一个近似的平移、旋转和比例矩阵。(3)投影变换。OpenGL中只提供了两种投影方式，一种是平行投影，另一种是透视投影。OpenGL平行投影函数共有两个：一个是voidglOrtho(GLdou2ble
left,GLdoubleright,GLdoublebottom,GLdoubletop,GLdou2blenear,GLdoublefar)，另一个函数是voidgluOrtho2D(GL2doubleleft,GLdoubleright,GLdouble
bottom,GLdoubletop)。OpenGL透视投影函数也有两个：一个是voidglFrustum(GLdoubleleft,GLdoubleright,GLdoublebottom,GLdoubletop,GLdoublenear,GLdoublefar)，另一个函数是voidgluPerspective(GLdoublefovy,GLdou2bleaspect,GLdoublezNear,GLdoubezFar)，利用这些函数就可以容易地实现透视投影的效果。(4)曲线曲面的生成。计算机图形学中，所有的光滑曲线都采用线段逼近来模拟，而许多有用的曲线在数学上只用少数几个参数(如控制点等)来描述。OpenGL提供生成Bezier、B样条、NURBS曲线和曲面的函数。OpenGL曲线坐标计算采用的是voidglEvalCoord1{fd}[v](TYPEu)，如果是二维曲面的话，上述的函数名改变为对应的二维版本就可以了。(5)真实感图形生成。真实感图形绘制是计算机图形学的一个重要组成部分，在OpenGL中设置光源颜色和对象本身颜色的函数为glLightfv()、glMaterialfv()，调用这些函数举一些案例，使学生不仅能学到基本的图形理论，还能自行开发基于OpenGL的几何变换、投影、曲线曲面生成、光照明模型的建立、纹理映射技术等图形，大大提高了学生的动手能力，使学生消除计算机三维图形编程的神秘感，激发了学习的兴趣。
3“14+4“的课程改革方案
由于本课程是一门实践性比较强的课程，同时也为了使学生具有图形开发的创造能力，本课程在教学过程中更适合“14+4”教学模式，即在教学计划中，14周用于理论教学，4周用于做课程设计。学生可以运用自己所学图形学知识设计一些大的绘图程序，例如二维图形几何变换系统、三维图形几何变换系统、实体的几何造型、二维或三维纹理映射技术的实现、面消隐算法的实现、分形图形技术、应用OPENGL生成一三维形体或实现图形学中相关算法、数字图像处理技术等。学生在课程设计过程中加深了对图形学这门课的理论知识，锻炼了算法实现技巧、提高了编程能力，教学效果良好，甚至有些学生也能开发出效果较好的图形系统。
4后续建设的设想：
针对当前计算机图形学的发展以及市场上流行的许多图形图像处理软件，如Flash、3Dmax、Maya、Authorware、Dreamweaver等，可以在几何造型或光照模型、纹理映射等理论的讲解上结合这些软件的实现过程来讲解，一方面可以满足学生渴望掌握这些软件的心理，另一方面可以使本课程的讲解更加形象、生动和易于理解，也拓宽了本课程的应用范围。
参考文献
[1]孙家广.计算机图形学[M].北京:清华大学出版社,1998.
[2]吴涛.计算机图形学教学改革探讨[J].福建电脑,2007,(5):199-201.
在初三的总复习学到图形操作实践专题时，我给学生们准备了一道有关圆的作图题，如图，直线AB、直线CD是不平行的两条直线，现在作圆O与直线AB、直线CD都相切，以下是甲、乙两名同学的作法：
（甲）（1）过点D，作直线L与直线AB垂直，且交直线AB于F
（2）取DF中点O
（3）以O为圆心，OF长为半径画圆，则圆O即为所求。
（乙）（1）设直线AB与直线CD相交于Q。
（2）作DQB的角平分线。
（3）过点C，作一直线M与直线CD垂直，且交直线L于O。
（4）以点O为圆心，线段OC长为半径画圆，则圆O即为所求。
师：对于甲、乙两位同学的作法，同学们怎么看？
当各小组的答案纸收来批改时，学生们的表现很让我惊讶，是什么原因会让学生课堂的效果如此不理想。我顿时陷入沉思，分析原因，寻找对策。
在查阅复习资料后，经过比对，发现圆的作图是个教学难点，再加上与角平分线、中线的结合，只有少数优秀的学生能够独立完成，其他同学在老师或同学的帮助下才能完成。如何有效地解决学生解题困惑，这是我思考尺规作图课堂改变教学模式的起点。
用分析、猜想等手段去学习几何作图，是一条重要的途径，从学生的几何作图基础及生活的经验作为思考的起点，重新设计几何作图的课堂教学方式。
二、设计活动课的目的
（1）在折纸情景中，把角平分线和中垂线等知识墨化到基本图形的性质判定中去。
（2）使学生在折纸活动中，能联系几何图形变换，激发学习的兴趣。从而让大部分学生能简洁地使用工具，例如：直尺、圆规作角平分线。
（3）充分挖掘学生想象力，让作图工具特性所产生的效果是学生无法在日常生活经验积累中得到。在折纸活动中让学生意识到作图工具动作虽然有限，但可以变化出很多应用，掌握作图步骤。
三、折纸活动课教学过程
1.情景引入――童年的回忆
师：同学们，你们还记得在小时候和伙伴们一起玩折纸游戏吗？比如折纸飞机、小纸船等都有意思。我们在平时接触比较平常的纸张是书本、作业本、稿纸、打印纸等，它们的形状都是长方形的。如第一个图，折起一个角，就得到了一个直角三角形。要求学生拿起纸张模仿，使学生联想到游戏中的折纸方法。
折纸飞机这个过程中，重复地应用对称和平分的概念，体验数学之美。
2.设置折纸问题
折纸能用来指导作图吗？这是很多人曾经难以释怀的问题，数学家yates指出所有欧氏几何作图问题本质上均为寻找所有交点的相对位置。折纸动作所产生的折痕视为直线，多边形纸张的边亦视为直线，经纸张折叠后可重合的两线段或两角都视为相等。当一个作图问题中所有交点的相对位置都确定后，此作图问题可视为完成。
活动一：折出通过两点的直线
师：请看幻灯片展示的题目要求
（学生以学习小组为单位，观察、尝试、探索折纸的方法，发表学生的观点，由两个同学来评价。）
教师展示如图A1、A2、A3。
转化：尺规作图可用直尺画线如图A4，让学生初步感受折纸与尺规作图的联系。
活动二：在直线L上取一点，A，过点A作直线L的垂线。
教师要求学生在纸上画好题目的几何语言，有了前一题的体会，学生的表现好了很多，折纸的速度也加快了。各小组汇报折纸情况后，邀请学生作评价。展台展示图B1、B2、B3。
通过活动二的折纸让学生体会垂线的作法以及对折的意义，及时展示图B4。
活动三：过直线外一点向已知直线L引垂线。
教师在引导学生做活动三时，由于难度提升，刻意提醒直线重合，学生顺利达到预期目标，各学习小组汇报后，展台展示图C1、C2、C3。
在原对折的基础上加深为直线的重合，图C4的展示让学生对折与中垂线的联系，中垂线尺规作图理论依据在图C2中体现清晰。
活动四：在直线L上取一点A′，使得AB=BA′.
师：现在，我们考虑线段相等的折纸操作是如何实现的。在折纸时注意图中线段的位置和线段长度的关系。
学生发现：折纸时，点A在L上是关键（图D1、D2、D3）。
师：请同学们将折纸打开，用笔描上，用心体会折纸对应点的意义，以及用圆规使用的线段特征（图D4）。将对应定点的连线段大小关系和圆规的使用特征进行比较。
得出结论：利用圆规复制线段。
活动的目的是让学生折叠角度得到角平分线的概念。当展台显示题目内容后，还没等教师提示学生就异口同声的回答出答案。折法如图E1、E2、E3所示。
如图E4所示，通过圆规三次画弧，取两组线段相等，从而得出三角形全等（SSS），证明尺规作图角平分线的正确性。而两条直线折叠，处处显示线段相等，至于长度取值随宜。
活动六：交流体验
师：这节课同学们知道了什么？有什么体会和困惑吗？
生：折纸蕴含很多数学道理，感觉数学就在生活中。以前在学习中垂线和角平分线的画法，虽然会画，但不知其原理，今天终于明白了。
整个课堂活动都以折纸――讨论――展示――反思作图的顺序重复进行，让学生通过折纸体会尺规作图的理论依据，反思作图困难的原因。让学生相互辩论和说明，形成合作、竞争的良好学习氛围。
最后教师布置一道课外作图题，让学生将折纸学到的知识来破解。
如图F1，已知ABC，请利用尺规作图作出筝形BPQR，使得P、Q、R分别在AB、AC、BC上符合题目条件的草图
由折纸帮助思考，折纸过程中重复应用对称概念，可引导学生观察草图的对称性质。筝形为线对称图形，对角线BQ为其对称轴。
四、折纸活动课的教学反思
从折纸活动课的教学过程中，经历了情景设置、问题设置、结论归纳、交流体验、作业等各环节，通过各环节把折纸的理论依据提炼出来，指导尺规作图的实施。从教学方式看，本节课主要强调学生从实际生活经历出发，在折纸活动中学习尺规作图，但是此项活动毕竟只限于对纸张的翻折和设计，停留在表面，这就需要教师正确地引导使学生从直观操作到抽象思考转变，师生同时感受数学目前已经成熟的操作方式的发现历程，不仅丰富了学生的情感体验，也让学生感受数学成果来之不易和对数学家的崇敬之情。
从问题设置看，由易到难，梯度明显。由于是图像操作题，问题设置相对简单、直接，给与学生暗示操作方法，使学生有兴趣地了解教师提问，从而达到让学生由积极参与折纸活动向几何性质的学习和尺规作图原理的探索转变。
由于部分学生几何意识薄弱，主要原因在于双基落实过程中，深度不够。也就是说几何推理和操作的综合能力不到位，需要教师在教学过程中把握好难度分寸，给学生补充一些能激化思维、提升思维的内容，以达到对基本作图法的灵活应用。
何以需要把哲学认识观融入立体几何的教学中，究其因，一方面，哲学认识观给数学教学送来了获得智慧的经验与方法，能高屋建瓴的认识立体几何，给统领立体几何教学的观点、方法与思想带来了一个高度；另一方面，立体几何中诸多的知识与方法素材更是诠释哲学思想、哲学认识论的良好契机，如空间问题转化为平面问题、几何关系与数量关系的互化都昭示了事物的普遍联系与相互转化.本文结合实际，从四个方面谈谈如何在立体几何教学中融入哲学认识观.
1对立与统一地认识问题
唯物主义哲学告诉我们，对立统一规律是辩证法的实质与核心.唯物辩证法认为，事物联系的根本内容就是互相区别、相互对立的矛盾双方之间的联系.用这个观点考查立体几何就容易发现，在立体几何中，处处都存在着典型的、深刻的矛盾辩证法.空间由点、线（直线与曲线）、面（平面与曲面）、体元素构成，点动成线、线动成面、面动成体，从这个角度上说，这四者体现的是部分与整体的关系.当我们在具体判断这些元素位置关系时，它们却是对立统一的：线线、线面、面面等位置关系可以相互转化，呈现对立统一之态.
例如，在判断线面平行时，可以转化为线线平行（线面平行判定定理）思考，抑或可以转化为面面平行（面面平行性质）思考.线线平行、线面平行、面面平行既对立又统一.对立体现的是相互的区别性、统一体现的是相互的联系性，这联系性展现了“降维”与“升维”的数学思想.
例1如图1所示，三棱锥ABCD？被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：//CD平面EFGH.
评析本题很好体现了这种辩证统一关系，要证//CD平面EFGH，只要证线线平行，如尝试证//CDGH，而要证//CDGH，不妨尝试证线面平行，即//GH平面ACD，而事实上，由
//GHEF知//GH平面ACD成立，从而问题得证.
在这样的例题教学中，一方面，教师应帮助学生提炼出这些平行关系转化的内在联系；另一方面，教师应有意识培养学生从辩证统一的视角思考问题，需让学生充分感悟：要证线面平行，可证线线平行；而要证线线平行，可证线面平行……环环相扣、紧紧相连、对立统一，这也正是哲学世界蕴涵的大智慧.
2具体到抽象地认识问题
辩证唯物主义的认识论指出，人们的认识过程总是经历了从感性认识到理性认识的过程，这个转化过程是产生了由量变到质变的飞跃.一定程度上，立体几何源于生活、源于实例，呈现出一种具体性；但因为数学是一门经过高度概括的学科，呈现在立体几何内容上即是具有高度的抽象性，学习上要求学生具有较好的空间想象能力.所以，立体几何教学中我们主张由具体到抽象地认识事物.
具体与抽象是相互依存的关系，具体是抽象的源头，为抽象提供了一定的基础；抽象是具体的发展，为具体提供更高的境界.可以说具体培养的是感性思维，抽象培养的理性思维.古语有云：“皮之不存，毛将焉附”，放之立体几何教学上即是问题的探索与研究离不开具体的情景.同时，当我们用发展的观点看待问题时，就要求在具体情景中去寻求隐含的、内在的、本质的、抽象的一般性联系与特征.而这个具体到抽象过程的实现，可以通过模型展示、实验操作等方法，让学生经历操作、观察、感知、判断、猜想、归纳、证明等操作过程与思维过程，进而实现具体到抽象、感性到理性的飞跃.
例2如图2，正方形ABCD的边长为a，请设计三条虚线，沿虚线翻折后，形成侧面为三个直角三角形，底面为等腰三角形的三棱锥.设三棱锥顶点
记为E点.（1）试画出这三条虚线，并找出这个三棱锥中互相垂直的面；（2）求该三棱锥的体积.
评析在这样的例题教学中，倘若学生因缺乏空间想象感而陷入困境，不妨花点时间让学生去动动手、折折纸，从体验中去感悟运动中包含不变关系（特别指一些垂直关系的不变性），从体验中去培养学生的空间想象能力.
当然，这里可能还会有另外一种观点：对于高中学生我们需要培养学生思维的深刻性，要求学生具有较好的空间想象能力和抽象思维能力，而一味的折纸、一味的操作、一味的浅层次思维可能会影响学生这些能力的培养.显然，这种观点也不无道理.所以，笔者在此特指的是在立体几何入门教学中，培养学生的空间感应是一个循序渐进的过程，思维需要逐步深刻，倘若，操之过急势必物极必反.待学生有一定空间想象能力之后，再力求深层思维更佳.
3归纳与类比地认识问题
归纳法与类比法是人们认识事物的最基本方法之一，它们既是一种思维形式，也是一种推理方法，它们在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义，正如数学家拉普拉斯所说：数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比.立体几何中，归纳与类比同样是获得新知、认识新问题的好方法.
类比法在立体几何教学中，体现出来的是局部与整体相结合的教学方法.例如，在线面平行、面面平行的教学中，整个框架的展开为：由线面平行判定定理至线面平行性质定理，再类比到面面平行判定定理至面面平行性质定理，这是一个“平行的局部世界”；但我们不妨将这个“局部世界”类比推广开去，即在开展线面垂直、面面垂直的教学中，也是由判定定理的学习到性质定理的学习，这是“垂直的局部世界”，而这两个局部世界构成了“判定与性质这个整体世界”.再比如，在空间角的学习中，即是由线线角、线面角再至面面角，从“一维角”类比到“二维角”的学习，而后再整体思考时可以发现这些角的本质都是转化为线线角.
归纳法在立体几何教学中，体现出来的是特殊与一般地关系，往往通过对特殊位置的研究可以归纳猜想出一般位置的情况.
立体教学中，运用归纳与类比的方法认识立体几何问题，有助于学生抓住整个立体几何的线索、理清知识展开的脉络、把握知识推理的关系，进而能培养学生从一定的高度认识问题、分析问题、解决问题，达到一览众山小的境界.
4简单到复杂地认识问题
事物的发展往往是由简单到复杂，所谓“一生二，二生三，三生万物”即是如此；而复杂之后人们又在不断追求着简单，所谓“大道至简”便是体现.简单中蕴含了事物的简练性、朴素性，复杂中蕴含了事物的发展性、整合性.立体几何教学中，同样需要渗透由简单到复杂的数学思想，让学生能循序渐进的认识事物，而简单到复杂的终极目标该是为了使学生能从复杂背景中把握简单地本质，从复杂中发现简单地方法要领，也即“深入浅出”.
那么，如何在立几教学中展开深入浅出的教学呢？立足于立体几何结构的特征，可以通过变式教学等方式对立体几何结构的由简单到复杂的进行变化与呈现，从而去发现复杂几何结构中蕴含的简单本质与一般性方法.
例3在人教版必修二中有这样的一个探究题：如图3，已知PA平面ABC，且BCAB，问图中有哪些平面互相垂直？
本题的结构形式在立体几何中是一种经典模式，很多的问题都是以此为素材建构，所以，教学中，教师可以对此结构进行挖掘拓展延伸.如：
评析本例通过对课本探究的改造使用，由简单到复杂地去认识空间结构图，既能明白事物发展的源起，又能把握事物的本质.这也正是变式教学的魅力所在，在变中寻求不变性，在变中寻求发展性.
5总结与反思
唯物主义哲学观是一种大智慧，既有科学的世界观、价值观，又有具体的方法论，它对数学教学有着非常重要的指导作用.而哲学地认识数学问题，从哲学认识观展开数学教学，其内涵也非常丰富，不仅包含了本文所探讨的一些观点，还包括许多经典的思想方法.比如，从有限到无限地领略数学神奇，从量变到质变地体验数学变化，从静态到动态地感悟数学规律，等等，这需要我们不断实践摸索.
关键词：课程标准；目标分解；高效课堂
中图分类号：G633.7
文献标识码：A
文章编号：1003-6148（2013）4（S）-0064-3
物理学是一门基础的自然科学。它所研究的是物质的基本结构、最普遍的相互作用、最一般的运动规律以及所使用的实验手段和思维方法。基于物理学的这一特点，教育部颁布了《高中物理课程标准》，它对于高中的教学起到了提纲挈领的作用。在日常教学的过程中，我们如何才能从课程标准上找到更好的切入点？如何才能生成高效课堂？这就要求我们要研究课标，要深入分析课程标准中的每一个词语。笔者以“人教版”高中物理选修3-1中《几种常见的磁场》为例，来谈谈如何进行课程标准分解？分解后如何自然生成教学目标？在课堂上如何实现教学目标？
1课程标准分解
【课程标准】会判断通电导线和通电螺线圈周围磁场的方向。
【课程标准解读】见表1。
【核心内容解读】通电直导线周围磁场的分布情况很难直观呈现，需要通过做“奥斯特实验”来突破这一难点，该实验可以有效训练学生的空间想象能力——学生描绘出长直导线围的磁场分布情况，进而总结出安培定则。学生需要就通电圆环与通电螺线管对小磁针的吸引，来描绘其空间的磁场分布情况。从这些分布情况总结出安培定则的另一种表现形式。
【核心规律解读】此规律是对通电直导线、通电螺线管周围的磁场方向以分布情况作一个方便的判断。它的动作要领是：要抓住导线或是通电螺线管。它的难点是：到底是大拇指是指向电流方向还是四指指向电流的环绕方向？因此安培定则的两种表述形式一定要说清楚。要让学生理解在什么情况下用哪种形式？更要明确的指出，这两种表现形式从本质上来说都是一样的。
【行为动词解读】“判断”一词在课标上纳入理解水平，要求把握内在逻辑联系：与已有的知识建立联系；进行解释、推断、区分、扩展；提供证据；收集、整理信息等。
从这点来看，安培定则的要求是很高的，它的应用极为重要，因此要在不同的情况下让学生会运用安培定则。
【行为条件解读】通过师生共同观察奥斯特实验、环形电流周围磁场分布、通电螺线管内外磁场分布、用传感器来探测通电螺线管内部磁场以及亥姆霍兹线圈之间的磁场强度这四个实验现象，总结出安培定则。
【表现程度解读】通过对不同类型的通电导线与通电螺线管周围的磁场分布情况的判断来巩固核心规律；能灵活运用安培定则。
2教学目标的自然生成
对课程标准详细解读后。我们很自然的了解到本节内容的重点，学生需要掌握的程度。教师教学过程中把握的深度。这些都为制定具体的教学目标提供了很好的指导作用。不过在制定具体的教学目标时，还要针对本节内容进行有效分析。
【本节内容分析】本节内容在初中的基础上有很大的提高和拓展。“磁感线”、“几种常见的磁场”、“匀强磁场”是最基本，也是最重要的知识，在今后的学习中会广泛应用。磁通量的概念是学习电磁感应的基础，也是教学的难点。针对上面的分析，本节可以准备以下四个实验：
（1）通过学生做奥斯特实验来学习通电直导线的周围磁场分布情况。本实验的目的是总结出安培定则。
（2）把导线做成环状观察其小磁针的受力方向，来研究环状导线周围的磁场分布。本实验的目的是总结出安培定则的另一种形式。
（3）研究通电螺线管周围的磁场分布情况。本实验的目的是验证安培定则的正确性。
（4）用磁传感器来检测通电螺线管内部以及两个通电线圈之间是否是匀强磁场。本实验的目的是让学生知道，针对一些无法直观表现的物理量，我们可以用其他技术手段，化未知为已知。
通过以上四个实验的教学。让学生深刻感知物理是以实验为基础的自然科学。可以提高学生的动手、观察、思维、总结等能力。
制定教学目标如下：
【教学目标】
（1）知道磁感线。知道几种常见永磁体磁感线的空间分布。
（2）通过“奥斯特实验”来研究通电直导线周围的磁场分布情况，并总结出安培定则。
（3）对通电线圈周围磁场分布情况的研究，总结出安培定则的另一种形式。
（4）通过实验，观察通电螺线管周围的磁场分布情况，并检验安培定则的正确性。
（5）了解安培分子电流假说，对磁现象的电本质有一定的感性认识。
（6）通过磁传感器来观测通电螺线管内部以及两个线圈之间的磁场分布情况。进而得出匀强磁场的概念。
（7）知道磁通量，了解净磁通的概念。
3教学目标达成步骤
【课堂教学】
（1）通过幻灯片展示马蹄型磁铁周围细铁屑的分布情况（平面）-磁体周围磁场的教具展示（立体）-引入磁感线（目的、基本特征、类比电场线……）。
特别强调：磁感线是闭合的。静电场中的电场线是不闭合的。
（2）实验1：学生做“奥斯特实验”。
思考：①小磁针偏转了说明什么？②小磁针为何会这样偏转？
想象：画出通电直导线周围的磁场分布情况图（立体图、俯视图、平面图）。这个过程对学生来说有一定的难度。必要时要给一定的引导，最好让学生自己体会。
探究：通过磁感线的分布情况。指导学生用左、右手来比划一下，看看有没有新的发现。总结出安培定则。
检验：在黑板上画出几根通电直导线，让学生判断周围磁场的分布情况。最好画出4根，构成一个正方形的环状电流，为下面讲解环形电流做准备。
（3）实验2：观察环形电流周围的小磁针偏转情况，描绘出其周围的磁场分布情况。
解释：对以上实验现象进行解释。把其看作是一小段一小段通电直导线（微元思想），根据安培定则来判断。
思考：你除了用以上方法来判断外，手还可以怎么握？
引导学生总结出安培定则的另一种形式。
（4）实验3：探究通电螺线管周围小磁针的转向，画出其周围的磁场分布情况。
检验：用安培定则来检验理论与实际是否相符？
深化：设计一个通电螺线管内、外小磁针的指向判断题。重点看清通电螺线管内部的小磁针与外部的小磁针指向。
通过对条形磁铁与通电螺线管的磁场相似性，引导学生阅读书本P87安培分子电流假说。引导学生理解磁现象的电本质。
从理论上分析匀强磁场（方向与大小）。
（5）实验4：用磁传感器来检测两个线圈之间的磁场，以及通电螺线管内部的磁场是否是匀强磁场。
（6）介绍磁通量的概念。
探究以下几个问题：①当线圈与磁场方向垂直时穿过线圈的磁通量；②当线圈转过90度与磁场方向平行时穿过线圈的磁通量；③线圈再转90度时穿过此线圈的磁通量：④线圈与磁场成任意角度时的磁通量；⑤对于同一个线圈，如果既有从正面穿过的磁感线。又有从反面穿过的磁感线，你觉得穿过它的磁通量该如何计算？
几何直观就是用图形描述和分析问题.可能不仅仅数学学科的学习中会用到，其它学科或知识领域都会用到.因为图形比较直观，容易被人接受.比如，绘制统计图分析问题，比如，生活中遇到路线问题交流受阻时，也会有人把自己的理解绘制成简易地图与他人进行交流.从这个角度看，这都是几何直观这个数学素养在起作用.
笔者以为几何直观的培养，就是培养学生把自己对问题的理解用图形的方式表达出来，从而解决问题或帮助别人的能力.这似乎与空间观念的培养有相似之处.而且几何直观的培养并不仅局限于“图形与几何”内容的学习，“数与代数”内容的学习同样需要几何直观能力.
例如，在全等三角形学习内容上，笔者发现一般不要求学生画图来描述和分析问题，即便有画图要求，似乎也不是借助图形来描述问题或是表达自己对问题的理解.一些需要利用全等三角形来解决的实际问题中，往往会先给出图形.学生处于接受状态，缺少自己对问题的理解与描述.
数学学习中，有些知识或技巧，是可以通过教师的言传身教来传授给学生的；但是有些东西必须是学生自己亲自动手去做、亲身去经历的，通过学生的经历、体会、思考、感悟、积累，才能变成他自己的东西.老师的讲解、传授无法取代学生自身的理解、感悟与积累.因此，教师在平时的教学中应有意识的挖掘这类教学素材，设计简便易行的活动，尽可能地安排学生独立的阅读、操作、理解、感悟，帮助学生积累活动经验.
《义务教育教科书数学八年级上册》（江苏科技出版社）第25页“思考”：
图1
工人师傅常常利用角尺平分一个角.如图1，在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC=OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线.请你说明这样画角平分线的道理.
教材中是直接给出图形，让学生思考这样操作的理由.如果只给出∠AOB及相关操作的文字介绍，并且提前准备类似的工具，让学生经历一遍操作的过程，说出操作的顺序，进而将自己对问题的理解用图形表达出来，这恰恰是对几何直观能力的培养.
图2
如，《义务教育教科书数学八年级上册》（江苏科技出版社）第32页第17题：
用三角尺可以按的下面的方法画∠AOB的平分线：在OA、OB上分别取点E、F，使OE=OF；再分别过点E、F画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点C；画射线OC（如图2）.试说明射线OC平分∠AOB的道理.
同样，教材中是直接给出图形，让学生思考这样操作的理由.如果只给出∠AOB及相关操作的文字介绍，让学生亲身经历操作的过程，说出操作的顺序，进而将自己对问题的理解用图形表达出来，积累活动经验的同时又再次培养了学生的几何直观能力.
那么，如何培养学生的数学空间观念和几何直观能力呢？
一、培养学生空间想象力
教学中关注学生的基本生活经验和生活经历，注重引导学生把生活中对图形的感受与有关知识建立联系，在学生积极主动的参与学习中.如，在“直线与线段”教学中我通过一组图片，视觉上给同学们直观的认识，引出直线，让学生很容易发现直线的特点，尤其直线是一个理想化的概念，几何直观的感受凸显的更加重要.学习直观几何，就像书上所说采用学生喜爱的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、摆一摆、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视觉、听觉、触觉、动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，从而使学生掌握图形特征，形成空间观念.
二、培养学生直观洞察力
在学生几何图形中，让学生“跟着感觉走”，大胆说出自己的直觉，在复杂图形找出自己所需的关系，准确甄别.如在两条相交线中，让学生用不同方式分别表示直线，探求点与直线的位置关系，在是是非非中，判断图形说法的正确与否.克服粗心大意，走马观花，做事不求甚解的毛病，要细心的去观察，用心的去思考，发现问题和解决问题.如在直线上取一点C，共有几条线段，取n点又会有几条线段；如寻找线段、射线、直线的区别，既需要知识点的准确，又需要语言叙述的严密.几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿几何教学的始终，在几何教学中占有很重要的地位.我们常常把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单，把抽象转化为具体，如票价问题，转化为数线段的条数，再次强化单、双循环问题.我们可以将数学方法传递给学生，而数学眼光却无法传递，故应着重把握好对数学思想的教学，这样有利于学生主动探索解决问题的方法，体会解决问题的策略，提高数学的应用意识.
三、培养学生思考问题的能力
平面几何的许多性质、定义等学生很难记忆清楚，通过指导学生利用图形来记忆就比较容易解决问题，同时培养学生用图形的意识.如射线、线段的定义在图形的演示下，直观、生动再现图形形成的轨迹，利于概念的生成和记忆.在思考数学问题时，能画图尽量画图，目的是把抽象的东西直观的表示出来，把本质的东西显现出来，在学习数学时，应该指导学生养成一种用直观的图形语言，刻画、思考问题的习惯.利用图形来加强对概念、定理等的理解，实际上就是几何直观在发挥优势，也是培养数形结合的思想.如探索平面内的n个点，可以画多少条线段，通过点的位置不断变化，发现重要的结论：平面内有n个点，可以画几条线段，与点的位置无关，只与点的数量有关.
作者:镇江市丹徒区实验小学胡建忠录入时间:2005-10-19阅读次数:2522
一位教师教学苏教版课程标准数学实验教材二年级(上册)“认识线段”，教学过程如下。
师：把课前带来的毛线放在桌面上，说一说它是什么样的?
生：(将毛线随意放在桌上)毛线是弯曲的。
师：你能想办法将它变直吗?
学生抓住毛线的两端，将毛线拉直呈现给同学、老师看。
师：将毛线拉直，就成了一条线段。你们小手捏住的两端叫做线段的端点。
学生指认线段的两个端点。
师：同组的同学比一比你们手中的线段，说—说你有什么发现。
生甲：我的线段比他的线段长。
生乙：我的线段是红色的，她的线段是黑色的。
生丙：我的线段直直的，他的线段弯弯的，是—条弯线段。
教师立即打住该生的发言，将线段拉直，并告诉学生：线段都是直的，弯的不是线段。
听课后，我想到了下面两个问题。
如何处理几何知识教学中直观实物与抽象概念之间的关系？由现实生活中具体实物的感知开始，通过观察、操作、语言描述逐步建立概念，是“线段”这一几何概念教学的基本步骤。教师先引导学生对“线段”这一概念的生活原型——拉直的线进行观察和操作，再借助形象揭示概念。为什么学生经历了由直观到抽象的概念教学过程以后，还会产生“弯线段”的认识呢?这主要在于学生对“线段”这一概念的本质属性的认识还不够清晰。再现几何原型，进行操作和比较是形成几何概念的基础，但仅有这些是不够的，教师还要善于引导学生在直观物体和抽象概念之间搭建桥梁，实现过渡，在现象和本质之间通过有选择地观察和语言描述，使线段这一概念的本质特征凸现出来，真正实现对概念本质意义的建构。
一、本章教学目标
1通过实物和具体模型，了解从物体外形抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念，能识别一些基本几何体(长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等)，初步了解立体图形与平面图形的概念。
2能画出从不同方向看一些基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)以及它们简单组合得到的平面图形；了解直棱柱、圆柱、圆锥的展开图，能根据展开图想像相应的几何体，制作立体模型，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步培养空间观念和几何直觉。
3进一步认识直线、射线、线段的概念和它们的联系与区别，掌握它们的表示方法；掌握关于直线和线段的基本事实：两点确定一条直线，两点之间线段最短，了解这些性质在生活和生产实际中的应用；理解两点之间距离的意义；直观地了解平面上两条直线具有相交与不相交两种位置关系；会比较线段的大小，理解线段的和、差及线段的中点概念，会画一条线段等于已知线段。
4通过丰富的实例，进一步认识角，理解角的两种描述方法，掌握角的表示方法；会比较角的大小，认识度、分、秒，并会进行简单的换算，会计算角度的和与差；了解角的平分线的概念，了解余角和补角的概念，知道等角的补角相等、等角的余角相等的性质。
5逐步掌握学过的几何图形的表示方洁，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形，
6初步认识图形是有效描述现实世界的重要工具，初步应用图形与几何的知识解释生活冲的现象以及解决简单的实际问题，激发对学习图形与几何的兴趣，通过与其他同学的交流活动，初步形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识。
二、教材脉络
1小学学过的基础知识
本章教材涉及的实物图形以及从实物中抽象的几何图形学生在小学都见过，生活中也时常接触这类实物图形，对图形的一些基本概念已经有初步的了解，不过是比较分散的，还没有形成较为系统的认识，所以本章教材主要是在复习原来学过的概念的基础上进一步加深，将学生带人丰富的图形世界。
小学的基础要求是：直观认识长方体、正方体、各类三角形、平行四边形、梯形、圆、圆柱、圆锥、球等简单几何体和平面图形，能辨认从不同方向看到的物体的形状和相对位置，认识一些简单几何体的展开图，在对它们形状、大小、位置关系的探索过程中，发展空间观念；能区分直线、射线、线段的概念并体会它们的一些性质，结合生活情景认识角，并知道周角、平角、直角、锐角、钝角等概念，掌握三角形、平行四边形、梯形的面积公式和长方体、正方体、圆柱的体积公式。
2教材的编写顺序
本章通过对丰富多彩的图形世界的示例，抽象出图形的基本元素，导出直线，射线、线段、角的概念，涉及立体图形和平面图形的关系，立体图形的展开，线段的大小比较，角的度量，角的比较和运算，角平分线，角的余角、补角概念：从实际图形到抽象图像再到相关概念，以及对概念的认识和概念之间的关系，教材的顺序为：多姿多彩的图形――直线、射线、线段―角，最后设计了一个课题学习，制作长方体形状的包装纸盒。
三、教学建议
本章内容教学时，应该先注意小学阶段的学习基础，按《数学课程标准》的要求把握好教学要求，不要刻意拔高，具体在下面几个环节作好教学工作。
1看图，在教学中要注意利用教室教学环境和其他物体、几何模型教具，以及适当借助于现代信息技术展示丰富多彩的，与本章知识密切相关的影像素材等，让学生通过认真观察加强对图形的直观认识和感受，从中抽象出几何图形，从而更好地掌握知识，教材中提供了很多这类图形，学生在生活中也遇见过很多这样的实物图形，但是在教学中不能仅仅看到图形欣赏的热闹，而，要在欣赏和观察图形中将图形之间的异同区分出来，提炼出类似图形之间的特征，跳出图形看图形。
教材起始的几句话就明确说出“数学关注的是物体的形状、大小和位置，而其颜色、重量、材料等则是其他学科所关注的”，开篇就提出了在数学中研究形的注重点和关注的目标，明确地告诉学生，数学中研究几何就是要研究形状和位置关系，所以在欣赏如此多姿多彩的图形的时候特别要注意，除了图形的美之外，尤其要关注图形之间的形状和位置关系。
2读图，在认真看图、努力寻找图形之间形状和位置关系的基础上，教学中要重视让学生多从事一些动手操作、观察、辨别等学习活动，给学生提供一些现实的图形作为学习材料，开展数学交流，引导他们在观察图形的活动中分析和讨论图形与图形之间的位置关，系，比如线段之间、各个面之间、图形的边之间的位置关系，学习寻找图形之间的异同，获得建立几何图形的知识和技能，还要有意引导学生慢慢忽略图形的其他非数学特征，进入初步的抽象化，为建立点、线、面、体等概念打好基础。
教材在编写过程中也遵循着这样的规律：最开始的几幅图形是实物照片，是作为题头图片要学生欣赏的；接着就是对帐篷、茶叶盒、金字塔的数学抽象，作出了三棱柱、六棱柱、棱锥这三种典型的数学图形(线条图)，并且有虚线和实线的区分，立体感强；接着在练习中只给出线条图形要学生思考相关问题，说明平面图形在立体图形中的位置，初步涉及平面和立体的关系；接着开始讨论抽象的概念点、线、面、体，正式从欣赏美丽的图片进入到真正的数学活动，研究基本的数学概念和数学事实。
3识图：要通过对津富实例的剖析，认识一些常见的几何图形，脱离开实例抽象出点、线、面、体，进一步认识点、线、面、体，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉；进一步认识直线、射线、线段和角；理解它们的概念，了解相关的一些性质，并能初步应用；认识图形之间的联系，认识概念之间的联系和区别。
这个过程在教学别要注意两点。
一是平面图和立体图之间的联系，以及如何转换，寻找一些实物图片和图形要学生进行操作，加深对展开图和立体图的认识，并教给一些基本的方法，比如教材中有正方体展开图的学习内容，在教学调查中老师们都感到这部分内容学生学得很艰难，好像只要是展开成六个正方形都可以围成正方体，为了进一步加深学习效果，可以要学生自己剪出习题中的平面图形，再试折是否可以还原成正方形，也可以在学习过后作为课后探究，对下面问题进行分析：
例1六个正方体A、B、C、D、E、F的可见部分如图，下面给出的展开图是其中一个正方体的侧面展开图，那么它是正方体――和――的侧面展开图。
分析：正方体侧面展开图一节是教材中新增的知识，对于较复杂图形的辨认，学生感到比较困难，这一问题可用以下方法加以解答：
1将展开图(图1)围成正方体时，右下角的正方形A的上边应与正方形B的右边重合，所以可将A逆时针旋转90度，得到图2；
2将展开图(图1)围成正方体时，正方形A的右边应与正方形c的左边重合，所以可将A向左平移，得到图3。
由图3观察六个正方体此题就简单多了。
二是学生对概念的理解，要特别注意认识各个概念的区别和共同点，比如线段和射线、线段和直线、射线和直线的关系；角概念的实质；各种角的概念、角的书写等，都是学生在学习中容易出错的地方，将教材问题稍加推广，我们可以要学生探究如下形式的问题：
例2如图，C、D、E是线段AB上的三个点，图中共有多少条线段?
方法：1以线段的端点为标准来数；2以基本线段的数量为标准来数；3递推法。
推广：直线上有n个点时，可以确定多少条线段?
与之类比，可以继续向学生提出以下问题：
①从一点引n条射线，共构成多少个角?
②平面上有n个点，经过每两个点作一条直线，最多能作多少条直线?③平面上有n条直线，最多能有多少个交点?④在一个平面上，若一个角内有n条射线，可以构成多少个角?
4想图，教科书中设置了很多习题，一般都是需要看了问题后先在脑袋里想像立体图形的样子再回答，比如从不同位置视图(从上面看、从正面看、从左面看)，就需要学生在心里由对图形在不同视角的认识来把图形还原，也设置了许多“思考”“探究”等栏目，如从一些图案中发现平面图形，画出由9个正方体组成的立体图形从不同方向看到的平面图形，探索一些常见几何体的展开图，通过观察思考生活中的现象得到关于直线、线段的性质，探索画一个角等于已知角的方法，等等，教师可以通过这些探究点，鼓励学生勤思考、勤动手、多交流，其中，动手操作是学习开始阶段重要的一环，可以帮助学生认识图形，丰富直观，丰富学生的空间想像，只有真正有了一定的想像能力，学习几何才可以说是开始了，要想像图形，在教学的开始阶段，应鼓励学生先动手操作、观察，后分析思考，逐步过渡到先思考、后动手验证，做到脑中有图，并能将脑中的图画出来，教材中这类练习很多，教学的关键是教师不要包办代替孩子的思维和想像，学生要做到脑中有图需要一个比较长的过程。
[关键词]技术支持下的内容知识；立体几何智能教育平台；教师教学知识；知识的存在形式
[中图分类号]G434[文献标志码]A
[作者简介]徐章韬（1976—），男，湖北京山人。副教授，博士，国家数字化学习工程技术研究中心博士后，主要从事信息技术背景下的学科教学知识研究。E-mail：。
前苏联数学教育家斯托利亚尔认为数学教学是数学活动的教学，包括经验材料的数学化、数学材料的逻辑组织化和数学理论的应用化。[1]形成过程中的数学看上去是一种实验性质的归纳科学，需要充分运用观察、试验、猜测、验证等一系列实验科学的做法。随着深入数学学科的信息技术的发展，这些数学活动能在信息技术的支持下充分地展开。具体的作图、测量、计算、编程以及制作课件或演示现成的课件等数学教学活动殊的要求正在逐渐得到满足。[2]历经上述经验活动过程后，将其中的感受符号化、逻辑化，这才是一个完整的数学学习过程。有人认为教学是科学，也有人认为教学是艺术，还有人认为教学是工程。其实，不管人们认为教学是什么，要顺利开展教学活动，都需要教师具有一定的教学知识。当用信息技术支持教学时，这点显得尤为突出，很难想象一个不会使用信息技术的教师却会开展基于信息技术的教学活动。因此，研究课堂教学中实施的、教科书中的信息技术支持下的内容知识（TCK）的存在方式就显得十分必要了。
一、信息技术支持下的内容知识（TCK）：利
用信息技术开展数学活动教学的知识基础
为了探寻信息技术与学科课程整合的教学知识基础，Mishra和Koehler提出了TPACK（TechnologicalPedagogicalContentKnowledge，简称TPACK）的概念框架。[3]这个概念框架包含三个核心成分及由核心元素相互交织形成的四个复合成分。三个核心成分：内容知识（ContentKnowledge，简称CK）、教法知识（PedagogicalKnowledge，简称PK）、技术知识（TechnologyKnowledge，简称TK）（技术是一个很宽泛的概念，这里特指信息技术）；四个复合成分：学科教学知识（PedagogicalContentKnowledge，简称PCK）、技术支持下的内容知识（TechnologicalContentKnowledge，简称TCK）、技术支持下的教学知识（TechnologicalPedagogicalKnowledge，简称TPK）和技术支持下的学科教学知识（TechnologicalPedagogicalContentKnowledge，简称TPACK）。如图1所示。
在这些知识成分中，TCK居于特别重要的地位，是利用信息技术开展数学活动的教学知识基础。教师需要懂得信息技术之于内容的关系，才能使信息技术变成手中的“纸和笔”。
技术知识（TK）是关于标准技术的知识。技术是一个很宽泛的概念，这里的技术主要是指能用之于教育的信息技术，特别是深入学科的信息技术。教师应当深入地理解信息技术，更有效地应用到教学中去。在本研究中，技术知识是指有关立体几何智能教育平台的知识。
技术支持下的内容知识（TCK）是指对信息技术和学科内容之间双向影响、相互制约方式理解的有关知识。教师不仅需要掌握所教的学科，还必须深刻理解方式的变迁以及学科内容（或能构建的表征）能被信息技术的应用所改变的方式。教师必须理解哪种信息技术最适合他们所教学科内容的学习，内容如何决定甚至改变了信息技术——或者相反。如共点、共线是立体几何的传统问题，在立体几何智能教育平台的支持下进行教学，需要教师具备如下的TCK：点在线上、点在面上，其实是说点到线、点到面的距离皆为0；充分利用测量功能，几何里的点共线、点共面问题的验证和证明就有了新的思路。同样的道理，若A、B、C三点共线，且是依次排列的，那么就有AB+BC=AC。这样也可用测量功能来验证三点共线了。信息技术改变了我们看待学科内容的方式。[4]
学科内容知识是学科教师之为学科教师最基本的必备条件，没有学科内容知识的储备无法开展学科教学。同样的道理，不懂得信息技术支持下的内容知识（TCK）无法开展基于信息技术的教学活动，信息技术支持下的内容知识是一种“底层知识”。在信息技术的支持下，要实现特定的表现效果，需要这种知识；这种知识也是教师教学艺术的生发之基。诚如Strommen&Lincoln指出的那样，在技术丰富的环境中，我们必须记住教育的焦点是学习和教学，而不是技术本身，因为技术仅仅是表达教学的工具。关键不在于技术设备有什么作用，而在于怎样使用技术。[5]
当信息技术与具体的内容融为一体后，信息技术就成为教育中的信息技术了。这样一种理念对开发深入学科的信息技术平台具有重要的指导作用。按照这种思路，我们分析立体几何智能教育平台中的一些基本功能，以及这种功能与具体的学科内容相融合时的技术内容知识（TCK）的表现特点与存在方式及它们的教育意义。
二、基于立体几何智能教育平台的
TCK：改变了数学活动的教学方式
（一）立体几何智能教育平台：动态几何软件从二维走向三维
不变量和不变性是数学研究的任务之一。在计算机屏幕上画出的几何图形，如果在变化和运动中能保持几何关系和几何性质不变，就是动态几何图形。图中的对象可以用鼠标拖动或用参数的变化来驱动，其他元素会自动调整其位置，以保持原来的几何关系和几何性质。出现于上世纪80年代的几何画板是第一款动态几何软件，其问世后，动态几何的教育价值很快得到了世界各国教师和教育家的肯定。这款软件开创了几何现代化教学的新时代，因为可以用计算机进行几何教学了。张景中院士及其团队研发的超级画板是为我国数学教育量身定做的学科教育平台，在教学应用中取得了极大的成功。虽然二维动画软件也能表现三维空间的一些现象，但并不能完全满足立体几何教学的需要，亟待有深入立体几何学科的智能教育平台问世。然而，由于开发难度较大，目前国内外面向基础教育、具备立体几何功能的数学教育软件较少，难以满足立体教学的需要。
目前国内外比较有名的、具备立体几何功能的软件有：微软的Math3.0、法国的Cabri3D以及“Z+Z”智能教育平台系列中的立体几何。Math3.0只能作曲线和曲面，不能像常见的动态几何软件那样作几何图形并建立几何元素之间的关系，甚至不能在平面上作点，这对教学是很不方便的。即使仅仅考虑作曲线的功能，它仍然有很大的局限。例如，不能根据指定的几何条件作圆锥曲线，不能在曲线上作点，不能对变动的曲线进行跟踪，不能对曲线作变换，等等。2004年法国推出的Cabri3D，是世界上第一款专门针对立体几何的教学软件。但这只是一款动态几何绘画软件，并没有自动推理及其相关的功能，因此不能用来探究图形中几何元素之间的关系，也不能用来作为探究学习的工具去探索、发现数学命题，学习数学猜想。“Z+Z”智能教育平台系列中的立体几何，其自动推理功能强大，不仅能让机器进行自动推理，还能让用户进行交互式推理，而且还能对用户的解答给出评价和修改。但是由于其开发于上世纪90年代末，受限于当时的技术，在几何图形的显示和交互方面存在很大的缺陷，并不适用于当前的立体几何教学。
基于这种背景，在张景中院士的指导下，国家数字化学习工程技术研究中心开发了深入立体几何的智能教育平台，具有易用性、学科相关性和智能性等特点。[6]该平台吸收了超级画板的优点，将动态几何、符号演算、自动推理以及课件制作等有机地集成，发展成集动态图形与动态计算于一体的逻辑动漫平台。能画、能算、能动、能变、能测，是实验探索得心应手的环境，是实施变易学习理论、获取基本活动经验的优秀认知平台。[7]
（二）立体几何智能教育平台内蕴的TCK：立体几何活动教学的知识基础
立体几何智能教育平台是深入学科的信息技术，在这个平台的支持下，能更好地实施立体几何教学中的数学活动，更好地阐述立体几何的基本思想、概念定义的合理性，以及定理的观察发现、归纳类比、抽象概括过程，从而让学生在动态中看到“活”的数学知识。
该平台能画出具有动态几何特点的图形，在拖动或变换中，图元间的几何关系依然保持不变。作图过程不是一个单纯的动手操作问题，需要TCK作“底层”知识指引操作。在立体几何智能教育平台中，有一个菜单操作命令“轴线和圆上一点”是用来作圆的。理解这条命令的关键是要知道轴线和圆面的关系：轴线相当于圆面的法线，轴线和平面垂直并过圆的中心。在数学中，一点一半径决定一个圆；现在，信息技术改变了圆的生成方式，充分利用这点可以制作很多想要得到的效果。这种制作圆的方法，其实是强调了法向量的作用。这是用信息技术体现法向量这个知识点的重要作用。[8]又如，在教材中，棱柱的定义是静态的、冗长的，学生往往不知道棱柱定义方式的合理性。这时，在TCK的支持下，教师制作棱柱的动态形成过程：让棱柱的底面沿侧棱所在的向量方向平移，并制作动画，就能让学生经历动作性表征、形象性表征，而达到对棱柱的符号性表征。
该平台具有轨迹生成、动态跟踪功能。可以把轨迹看成是一个或几个半自由点驱动的结果，这一个或几个起驱动作用的点叫做轨迹的主动点；跟踪就是运动或者可能运动的对象在运动时形成的轨迹；这是纯粹的技术知识。如果把技术知识融入到内容知识中，让学生在理解、应用信息技术的过程中获得数学概念和数学理论，就需要TCK的支持。如线面垂直关系的理解和掌握是通向空间观念的重要一步。如何表现平面内的任意一条直线？这是形成线面垂直概念的关键。概念的定义是用充要条件的语句表达的，既可以正着说，也可以倒着念，也即一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直直线和平面垂直。由于立体几何智能教育平台把“垂直于面的线”当作一个基本命令了，故要动态地表现这线面垂直的概念，只要说明这条垂线和平面内的任意一条直线垂直。可以让平面内的一条直线绕这条垂线旋转，并时时测量垂线和平面内的这条动线所成的角，这个角是始终不变的，从而说明了问题。
该平台具有动态测量功能。既可以测量角度、长度、面积、体积等几何量的值，也可以测量代数表达式的值。测量出来的数据随图形位置和代数表达式中参数的变化而变化。在教学上，通过对几何量和代数表达式的动态测量，观察其中的数量关系，提出猜想，把平面上的一些结论类比到空间，从而通过实验的手段来做数学。皮亚杰从数学教学的观点出发，认为存在两种不同的经验：物理的经验和逻辑数学经验。[9]从动手操作到动脑思考是学习的一种路径。在TCK的支持下，教师营造了动态的、可视化的、可操作的物理经验环境，使物理的经验向逻辑数学经验的飞跃成为可能。
该平台还具有迭代功能。迭代就是多次重复一个动作或操作。立体几何智能教育平台用的是几何形式的迭代。在几何上，迭代是指重复某种变换，由一类对象构建出新的一类对象的过程。图2是正四面体的迭代，是Sierpinski地毯在空间的实现。学生获得了视觉上美的享受，感受到了数学之美。人们常说，要教给学生一瓢水，教师需要有一桶水。TCK生成的作品表明了教师拥有一桶活水，才可以润泽求知的心灵。虽然，正四面体是一个立体图形，却可以看成由两个基本点生成，这两个基本点也是迭代变换的母点。这种“一生二、二生三、三生万物”的思想和数学公理化的思想一脉相承。要制作美轮美奂的作品，就要深入分析其中的迭代机制，把图形中的基本元找出来。迭代有助于加深我们对何谓“基本”、“核心”等观念的认识。
从历史的发展来看，技术方法已经对人类的思维和理解世界的方式产生了巨大的影响，技术能提供一种不同类型的知识及某种理解和适应世界的方式，技术所营造的教学背景、活动方式、解决问题的思考策略也逐渐影响人们的认知和行为。斯塔科在总结内容领域的创造力教学时指出，除了对学科的主要概念、普通原理以及重大观念的理解，并能够合理地提出问题之外，还必须学习该领域所需的技术和方法以及心智习惯。[10]从课件制作的实践经验来看，制作有创意的作品，一要有技术的视角，从技术的视角考虑如何实现某种效果；二要考虑技术背后的数学原理，两者的有效结合，才能演绎出精彩的课件。[11]这两者的融合其实就是TCK。
三、基于立体几何智能教育平台的
TCK在实施课程中的存在方式：
信息技术走进课堂，深入学科
通过比较人民教育出版社的高中（A版）数学教科书和湖南教育出版社的高中数学教科书中的信息技术，发现在广度、深度和连贯性方面，信息技术在教科书中的存在方式有很大的差异。如何选择TCK，如何组织TCK，TCK应以何种方式存在于课程（理解课程、实施课程）中，关涉到信息技术与课程内容的实质性的整合。
数学知识都有两个侧面：一是形成过程中的知识，二是形成后成形的知识。在知识的选择和组织过程中，知识是作为一个确定的对象来看待的。但强调知识在课程中的存在方式时，就必须关注知识的形成过程。[12]形成后的数学知识分为概念、定理、法则、公式等知识形态。在课程的课堂教学中，就要还原知识的形成过程，还原形成过程中的火热思考，还原其与人的情感及共同体的思想氛围的密切联系。为了达到这样的目的，就要对知识作特殊的处理，使其成为一个“动态化”的、活跃的世界。立体几何智能教育平台的动态性、智能性及相关功能特点使上述理念成为可能。
在概念的定义教学中，TCK有助于清晰阐述概念定义的合理性。如函数是数学中的一个核心概念，人们经过漫长的历史过程，才逐渐给出了函数的合理的定义。但这种困难也反映在教学中，学生难以理解函数定义的合理性。RossanaFalcade等充分利用Cabri的追踪工具的动态性，引入轨迹同时有整体性和点对点式的双重意义，引导学生掌握了函数的概念及其定义方式。[13]这是TCK知识支持教学的一个典型例子。在立体几何中，距离和角度是两个重要的度量，如在定义两异面直线间的距离时，给出定义合理吗？如何验证距离具有最小性？怎样在技术上实现这点？在内容剖析的基础上，继之以技术的视角审视之，就能制作体现TCK的课件。如图3所示。
又如，在定义直线和平面所成的角时，为何要用斜线和射影所成的角来定义？这样的定义合理吗？这样定义的角有唯一确定性吗？如何验证？在TCK的指引下制作下面的课件，就清楚地回答了上述问题。如图4所示。
形成后的知识具有普适性，形成过程中的知识具有“境域性”。知识要深入学生的头脑中，要具有生命力，就不能将知识当成凝固的信息而接受，而必须把其作为一个“过程”，使之存在于一定的问题情境、一定的逻辑脉络中。在上面两个例子中，TCK营造了一个动态的环境，“解压缩”了蕴含知识形成过程中的各种对话、协商，还原了知识产生过程中各种理念、情感和观点的碰撞。在这种拟“对话”的过程中，学生才能学到活的知识，而不是仅仅把知识当作信息来接受。
在定理的教学中，TCK有助于清晰阐述定理发生、发现的必然性。如当人们用铡刀铡草料时，发现刀刃垂直于草料时，切出的草料切口整齐，省时又省力。如何保持刀刃与草料垂直，如何把这一物理经验数学化？在TCK的支持下，制作了三垂线定理的动态演示过程，让学生看到，只保持草料与切槽垂直，就能保持草料与刀刃垂直。这一物理经验的数学化、逻辑化就是立体几何中重要的三垂线定理。
还原知识的普适性为境遇性的方法之一就是把知识放置于一定的情境中，与学习者的生活经验、生产经验建立有机的联系。数学家傅立叶说得好：“深入地探索和研究自然界，乃是数学发展的最为丰富的源泉，也是数学发现的最有成效的一种方法。”有了信息技术的支持，就可以模拟各种自然现象，拉近学生与自然的距离，在动态观察中，在物理经验的数学提炼过程中，发现数学定理。
在类比、推广、引申等过程中，TCK有助于获得“做数学”的经验。数学有经验的一面，与情境、实际经验等密切相关；然而，数学还有一个更大的特点在于数学是一个形式系统，是一个逐级抽象的形式系统，“书中学”也是可以的。如在立体几何教学中，把平面几何的有关结论、定理等推广到空间，沟通平面与空间的内在联系，获得发展数学知识的经验体会。又如，在正三角形中，三角形一点到三条边的距离之和为定值，那么，当在正四面体中，是否有同样的结论呢？在TCK知识的支持下，制作正四面体的课件，并测量点到各个面的距离，再计算这些距离之和，就回答了这个问题。
数学是人做出来的，具有“唯心”的一面，如何发展创造性数学活动经验是数学教育界的重大关切之一。TCK增添了我们手中的工具，“做数学”的工具不再仅局限于“纸和笔”了。
以上从三个方面探讨了TCK在课程实施中的存在方式，从中可以得出一些启示。信息技术要真正地深入学科，其先决条件之一是对知识的形成过程作精准的分析，然后发挥信息技术的动态优势，在关节点上使用信息技术。如把信息技术用之于概念教学中，就要揭示概念定义的合理性、概念所蕴含的本质含义；把信息技术用之于命题教学，就要营造一个动态的环境，揭示动态变化的不变性，沟通概念间的内在联系；把信息技术用于探究教学，就要充分发挥信息技术的工具作用，使之成为“数学实验室”，充分彰显数学活动具有经验性的一面。这些讨论具有一定的意义，对信息技术走进教科书有一定的借鉴价值。
四、教育意义：基于立体几何智能
教育平台的TCK走进教科书中
普通高中数学课程标准指出，应重视信息技术与数学课程的有机重合，应重视利用信息技术来呈现以往课堂教学中难以呈现的课程内容。这是一种期望，寄托了国家对信息技术与课程整合的良好企盼。与其他数学教学领域相比，立体几何与信息技术的整合最为薄弱。以上我们讨论了实施课程中的TCK，还没涉及教科书中的TCK。教科书是一种理解课程，是教师知识的重要来源之一。如果TCK进入了教科书中，将会使更多的教师受益。
TCK走进教科书是信息技术与课程深层整合的必然要求。如人教社的《几何证明选讲》介绍了历史上圆锥曲线的几何来源及Dandelin双球模型。这一素材有着丰富的教育意义：采用崭新的视角，在空间中研究了三种圆锥曲线，揭示了三种圆锥曲线的内在联系，了解了焦点、离心率和准线的来源，体会到了平面与空间的辩证统一的关系。课程标准也指出，在条件允许的学校，教师可以利用现代计算机技术，动态地展现Danelin双球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维。在华东师范大学汪晓勤教授的指导下，浙江的两位教师在信息技术的支持下，采用发生教学法，实施了一次教学实验，取得了良好的教学效果。成功的个案使得我们有信心把TCK融入教科书中。然而，这方面的工作是欠缺的。一是工具的缺乏。浙江的两位教师是用几何画板来实现的，超级画板也能够实现上述效果，然而处理空间问题并非这些平面动态几何软件所长，立体几何智能教育平台的功能还在完善中。二是还缺乏足够多的教学资源。针对上述情况，一方面，我们要继续改进、完善立体几何智能教育平台的功能，使之能完全满足立体几何教学的需要；另一方面，我们循着立体几何学科的逻辑脉络，开发能够发展教师TCK的诸多教学资源，希望这些来自教学实践的资源能逐渐走进教科书中。
我们的初步设想是开发融TCK的立体几何的校本教材。开发的路径是，按立体几何学科的传统逻辑顺序展开教材序列，然后，从技术的视角审视教材序列中的作图、定义、性质定理、判定定理及例题等，考虑如何用技术的手段实现之，给出详细的操作步骤，并提供完整课件。我们开辟了《内容剖析》、《技术视点》、《技术实现》、《教学意义》和《引申推广》等栏目。这样一种编写思想，一方面使学生能掌握立体几何的传统内容知识，另一方面也把TCK融入其中。在《技术视点》栏目中，充分体现了TCK。如证明四点共面的《技术视点》是：本来过不在同一直线上的三点可以确定一个平面。如果能说明其他点在这个平面上，那么这些点也就共面了。如何直观地说明点在面上呢？测得点到平面的距离为零，那么点就在面上。另外要证明四点共面，可以根据平面公理的推论，或找出由这四点确定的两条相交直线，或找出由这四点确定的两条平行直线。这些都可以运用测量功能来实现。这里把教材的功能定位为一个“对话者”，而不是一个“布道者”，使学习者、使用者以意义生成为旨归，从而发展他们的TCK。
发展基于立体几何智能教育平台下的内容知识（TCK），促进立体几何教学的信息化是一项填补国内空白的工作。我们希望采取一种“自下而上”的模式，首先，发展课堂教学中的TCK；其次，逐步归纳总结其中成熟的TCK，优选其中的TCK进入校本教材，渐次扩大影响范围；最后，我们期望上述工作能为TCK进入国家审定的教科书提供借鉴，推动立体几何课程的信息化进程。
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