降价函(9篇)
时间：2023-12-19
时间：2023-12-19
一、选择题：（每题2分，共12分）1．在二次根式、、中，最简二次根式的个数（）A．1个B．2个C．3个D．0个考点：最简二次根式．分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解答：解：=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；=被开方数含分母，不是最简二次根式；符合最简二次根式的定义，是最简二次根式．故选：A．点评：本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个根是0，则m的值为（）A．m=2B．m=﹣2C．m=﹣2或2D．m≠0考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义．分析：根据一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义求解，把x=0代入一元二次方程即可得出m的值．解答：解：把x=0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0，得m2﹣4=0，解得：m=±2，m﹣2≠0，m=﹣2，故选B．点评：本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣2≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．3．在同一坐标系中，正比例函数y=x与反比例函数的图象大致是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；正比例函数的图象．分析：根据正比例函数与反比例函数图象的性质解答即可．解答：解：正比例函数y=x中，k=1＞0，故其图象过一、三象限，反比例函数y=﹣的图象在二、四象限，选项C符合；故选C．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．4．已知反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．不能确定考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：由于反比例函数y=（k＜0）的k＜0，可见函数位于二、四象限，由于x1＜x2＜0，可见A（x1，y1）、B（x2，y2）位于第二象限，于是根据二次函数的增减性判断出y1与y2的大小．解答：解：反比例函数y=（k＜0）的k＜0，可见函数位于二、四象限，x1＜x2＜0，可见A（x1，y1）、B（x2，y2）位于第二象限，由于在二四象限内，y随x的增大而增大，y1＜y2．故选A．点评：本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，函数图象上的点的坐标符合函数解析式．同时要熟悉反比例函数的增减性．5．下列定理中，有逆定理存在的是（）A．对顶角相等B．垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等C．全等三角形的面积相等D．凡直角都相等考点：命题与定理．分析：先写出四个命题的逆命题，然后分别根据对顶角的定义、线段垂直平分线的逆定理、全等三角形的判定和直角的定义进行判断．解答：解：A、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，所以A选项错误；B、“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题为“到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上”，此逆命题为真命题，所以B选项正确；C、“全等三角形面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，此逆命题为假命题，所以C选项错误；D、“凡直角都相等”的逆命题为“相等的角都是直角”，此逆命题为假命题，所以D选项错误．故选B．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了定理．6．如图，在等腰RtABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，DEBC，若BC=10cm，则DEC的周长为（）A．8cmB．10cmC．12cmD．14cm考点：角平分线的性质；等腰直角三角形．分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，利用“HL”证明RtABD和RtEBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，然后求出DEC的周长=BC，再根据BC=10cm，即可得出答案．解答：解：BD是∠ABC的平分线，DEBC，∠A=90°，DE=AD，在RtABD和RtEBD中，，RtABD≌RtEBD（HL），AB=AE，DEC的周长=DE+CD+CE=AD+CD+CE，=AC+CE，=AB+CE，=BE+CE，=BC，BC=10cm，DEC的周长是10cm．故选B．点评：本题考查的是角平分线的性质，涉及到等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出DEC的周长=BC是解题的关键．二、填空题：（每题3分，共36分）7．化简：=3．考点：二次根式的性质与化简．分析：把被开方数化为两数积的形式，再进行化简即可．解答：解：原式==3．故答案为：3．点评：本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．8．分母有理化=﹣﹣1．考点：分母有理化．分析：先找出分母的有理化因式，再把分子与分母同时乘以有理化因式，即可得出答案．解答：解：=﹣﹣1；故答案为：﹣﹣1．点评：此题考查了分母有理化，找出分母的有理化因式是本题的关键，注意结果的符号．9．方程x（x﹣5）=6的根是x1=﹣1，x2=6．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．解答：解：x2﹣5x﹣6=0，（x+1）（x﹣6）=0，x+1=0或x﹣6=0，所以x1=﹣1，x2=6．故答案为x1=﹣1，x2=6．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．10．某种品牌的笔记本电脑原价为5000元，如果连续两次降价的百分率都为10%，那么两次降价后的价格为405O元．考点：一元二次方程的应用．分析：先求出第一次降价以后的价格为：原价×（1﹣降价的百分率），再根据现在的价格=第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）即可得出结果．解答：解：第一次降价后价格为5000×（1﹣10%）=4500元，第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为4500×（1﹣10%）=4050元．答：两次降价后的价格为405O元．故答案为：405O．点评：本题考查一元二次方程的应用，根据实际问题情景列代数式，难度中等．若设变化前的量为a，平均变化率为x，则经过两次变化后的量为a（1±x）2．11．函数的自变量的取值范围是x≥1且x≠2．考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．专题：计算题；压轴题．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．解答：解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．故答案为x≥1且x≠2．点评：本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．如果，那么=1．考点：函数值．分析：把自变量的值代入函数关系式计算即可得解．解答：解：f（）==1．故答案为：1．点评：本题考查了函数值求解，准确计算是解题的关键．13．在实数范围内分解因式：2x2﹣x﹣2=2（x﹣）（x﹣）．考点：实数范围内分解因式；因式分解-十字相乘法等．分析：因为2x2﹣x﹣2=0的两根为x1=，x2=，所以2x2﹣x﹣2=2（x﹣）（x﹣）．解答：解：2x2﹣x﹣2=2（x﹣）（x﹣）．点评：先求出方程2x2﹣x﹣2=0的两个根，再根据ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）即可因式分解．14．经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．考点：轨迹．分析：要求作经过已知点A和点B的圆的圆心，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．解答：解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．故答案为：线段AB的垂直平分线．点评：此题考查了点的轨迹问题，熟悉线段垂直平分线的性质是解题关键．15．已知直角坐标平面内两点A（4，﹣1）和B（﹣2，7），那么A、B两点间的距离等于10．考点：两点间的距离公式．分析：根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB=．解答：解：A、B两点间的距离为：==10．故答案是：10．点评：此题考查了坐标平面内两点间的距离公式，能够熟练运用公式进行计算．16．请写出符合以下条件的一个函数的解析式y=﹣x+4（答案不）．①过点（3，1）；②当x＞0时，y随x的增大而减小．考点：一次函数的性质．专题：开放型．分析：根据“y随x的增大而减小”所写函数的k值小于0，所以只要再满足点（3，1）即可．解答：解：根据题意，所写函数k＜0，例如：y=﹣x+4，此时当x=3时，y=﹣1+4=3，经过点（3，1）．所以函数解析式为y=﹣x+4（答案不）．点评：本题主要考查一次函数的性质，是开放性题目，答案不，只要满足条件即可．17．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=4，CP∥OA，PDOA于点D，PEOB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长为2．考点：角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．分析：根据角平分线性质得出PD=PE，根据平行线性质和角平分线定义、三角形外角性质求出∠PCE=60°，角直角三角形求出PE，得出PD长，求出OP，即可求出答案．解答：解：OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∠AOP=∠BOP=30°，PDOA，PEOB，PD=PE，CP∥OA，∠AOP=∠BOP=30°，∠CPO=∠AOP=30°，∠PCE=30°+30°=60°，在RtPCE中，PE=CP×sin60°=4×=2，即PD=2，在RtAOP中，∠ODP=90°，∠DOP=30°，PD=2，OP=2PD=4，M为OP中点，DM=OP=2，故答案为：2．点评：本题考查了角平分线性质，平行线的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形的应用，题目比较典型，综合性比较强．18．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当CEB′为直角三角形时，BE的长为3或6．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：当CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8﹣x，然后在RtCEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时四边形ABEB′为正方形．解答：解：当CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在RtABC中，AB=6，BC=8，AC==10，∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∠AB′E=∠B=90°，当CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，如图，EB=EB′，AB=AB′=6，CB′=10﹣6=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8﹣x，在RtCEB′中，EB′2+CB′2=CE2，x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，BE=3；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，BE=AB=6．综上所述，BE的长为3或6．故答案为：3或6．点评：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．三、简答题：（每题6分，共36分）19．化简：．考点：二次根式的加减法．分析：先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．解答：解：原式=•2+8a•﹣a2•=a+2a﹣a=2a．点评：本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．20．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3=0．当m为何值时，方程有两个实数根？考点：根的判别式；一元二次方程的定义．分析：（m﹣1）x2﹣2mx+m+3=0，方程有两个实数根，从而得出≥0，即可解出m的范围．解答：解：方程有两个实数根，≥0；（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）≥0；；又方程是一元二次方程，m﹣1≠0；解得m≠1；当且m≠1时方程有两个实数根．点评：本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）＜0⇔方程没有实数根．21．如图，已知点P（x，y）是反比例函数图象上一点，O是坐标原点，PAx轴，SPAO=4，且图象经过（1，3m﹣1）；求：（1）反比例函数解析式．（2）m的值．考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．分析：（1）此题可从反比例函数系数k的几何意义入手，PAO的面积为点P向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积的一半即S=|k|，再结合反比例函数所在的象限确定出k的值，则反比例函数的解析式即可求出；（2）将（1，3m﹣1）代入解析式即可得出m的值．解答：解：（1）设反比例函数解析式为，过点P（x，y），xy=4，xy=8，k=xy=8，反比例函数解析式是：；（2）图象经过（1，3m﹣1），1×（3m﹣1）=8，m=3．点评：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．22．假定甲乙两人在一次赛跑中，路程S（米）与时间t（秒）的关系式如图所示，那么可以知道：（1）这是一次100米赛跑．（2）甲乙两人中，先到达终点的是甲．（3）乙在这次赛跑中的速度为8米/秒．考点：函数的图象．分析：（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；（2）根据函数图象的横坐标，可得答案；（3）根据乙的路程除以乙的时间，可得答案．解答：解：（1）由纵坐标看出，这是一次100米赛跑；（2）由横坐标看出，先到达终点的是甲；（3）由纵坐标看出，乙行驶的路程是100米，由横坐标看出乙用了12.5秒，乙在这次赛跑中的速度为100÷12.5=8米/秒，故答案为：100，甲，8米/秒．点评：本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，横坐标得出时间是解题关键．23．已知：如图，在ABC中，AD是BC边上的高，CE是中线，F是CE的中点，CD=AB，求证：DFCE．考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=AB，再求出DE=CD，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．解答：证明：连接DE，AD是BC边上的高，在RtADB中，CE是中线，DE=AB，CD=AB，DC=DE，F是CE中点，DFCE．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．24．已知：如图，在RtABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，以AC为边作等边ACD，并作斜边AB的垂直平分线EH，且EB=AB，联结DE交AB于点F，求证：EF=DF．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．专题：证明题．分析：根据直角三角形性质和线段垂直平分线求出BC=AB，BH=AB，推出BC=BH，推出RtACB≌RtEHB，根据全等得出EH=AC，求出EH=AD，∠CAD=60°，∠BAD=90°，根据AAS推出EHF≌DAF，根据全等三角形的性质得出即可．解答：证明：在RtABC中，∠BAC=30°，BC=AB，EH垂直平分AB，BH=AB，BC=BH，在RtACB和RtEHB中，，RtACB≌RtEHB（HL），EH=AC，等边ACD中，AC=AD，EH=AD，∠CAD=60°，∠BAD=60°+30°=90°，在EHF和DAF中，，EHF≌DAF（AAS）EF=DF．点评：本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，难度适中．四、解答题：（每题8分，共16分）25．如图，直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，双曲线y=（k＞0）上有一动点C（m，n），（0＜m＜4），过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接OC．（1）求k的值．（2）设COD与AOB的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式．（3）连接AC，当第（2）问中S的值为1时，求OAC的面积．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）由题意列出关于k的方程，求出k的值，即可解决问题．（2）借助函数解析式，运用字母m表示DE、OD的长度，即可解决问题．（3）首先求出m的值，求出COD，AOB的面积；求出梯形ABDC的面积，即可解决问题．解答：解：（1）设A点的坐标为（4，λ）；由题意得：，解得：k=8，即k的值=8．（2）如图，设E点的坐标为E（m，n）．则n=m，即DE=m；而OD=m，S=OD•DE=m×m=，即S关于m的函数解析式是S=．（3）当S=1时，=1，解得m=2或﹣2（舍去），点C在函数y=的图象上，CD==4；由（1）知：OB=4，AB=2；BD=4﹣2=2；=6，，=4；SAOC=S梯形ABDC+SCOD﹣SAOB=6+4﹣4=6．点评：该题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题；解题的关键是数形结合，灵活运用方程、函数等知识来分析、判断、求解或证明．26．如图，正方形ABCD的边长为4厘米，（对角线BD平分∠ABC）动点P从点A出发沿AB边由A向B以1厘米/秒的速度匀速移动（点P不与点A、B重合），动点Q从点B出发沿折线BC﹣CD以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止．联结AQ，交BD于点E．设点P运动时间为t秒．（1）用t表示线段PB的长；（2）当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，∠BEP和∠BEQ相等；（3）当t为何值时，P、Q之间的距离为2cm．考点：四边形综合题．分析：（1）由正方形的性质和已知条件即可得出结果；（2）由正方形的性质得出∠PBE=∠QBE，由AAS证明BEP≌BEQ，得出对应边相等BP=BQ，得出方程，解方程即可；（3）分两种情况讨论：①当0＜t≤2时；②当2＜t＜4时；由勾股定理得出方程，解方程即可．解答：解：（1）PB=AB﹣AP，AB=4，AP=1×t=t，PB=4﹣t；（2）t=时，∠BEP和∠BEQ相等；理由如下：四边形ABCD正方形，对角线BD平分∠ABC，∠PBE=∠QBE，当∠BEP=∠BEQ时，在BEP与BEQ中，，BEP≌BEQ（AAS），BP=BQ，即：4﹣t=2t，解得：t=；（3）分两种情况讨论：①当0＜t≤2时；（即当P点在AB上，Q点在BC上运动时），连接PQ，如图1所示：根据勾股定理得：，即（4﹣t）2+（2t）2=（2）2，解得：t=2或t=﹣（负值舍去）；②当2＜t＜4时，（即当P点在AB上，Q点在CD上运动时），作PMCD于M，如图2所示：则PM=BC=4，CM=BP=4﹣t，MQ=2t﹣4﹣（4﹣t）=3t﹣8，根据勾股定理得：MQ2+PM2=PQ2，即，解得t=或t=2（舍去）；综上述：当t=2或时；PQ之间的距离为2cm．点评：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，根据勾股定理得出方程，解方程才能得出结果．
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20____年____月____日
关键词：投标报价、模糊指派、隶属度函数、报高率
Abstract:Regardingtheidenticalproject,themembershipfunctionofdifferentquotationassumesthefuzzynormaldistribution.Thisarticleusedthefuzzyassignmenttodeterminethefundamentalmodelofthequotation’smembershipfunction,andcarriedontherevisiontothemembershipfunctionaccordingtobiddingandquotation’sactualsituation,determinedthecoefficients,analyzedcharacteristicvaluesofthemembershipfunction,andestablishedmembershiprelationsbetweenmarkupandquotingmembership.Also,establisheddecisionmakingmodelsaccordingtothemodelodthebiggestexpectationprofitinbiddingandvariousfactorsofthetenderproject,whichisinfavorofselectingadvantagequotationsectoraccordingtovariousfactorsforconstructioncompanies.
Keywords:biddingandquotation,fuzzyassignment,membershipfunction,markup
中图分类号：TU723.2文献标识码：A文章编号：2095-2104（2013）
1工程投标报价的隶属度函数
1.1基本模型
假定工程的投标报价为x，平均标底为a。当投标报价x=a时，报价隶属度最大，即
（1）
报价越偏离a，。根据同一工程的不同报价的隶属度函数呈模型正态分布，采用模糊指派，确定以下函数式为基本报价模型：
（2）
其分布如图1，其中x为投标报价，为报价隶属度。
图1投标报价隶属度函数基本模型分布图
Fig.1DistributingofBiddingMembershipFunctionBasicModel
1.2修正模型
在图1中，投标报价是以最优报价即标底a为中心向左右偏离x，在标准模糊正态分布模型中，，但是在实际的工程招投标中，在允许的合理报价范围内，偏低报价较偏高报价更有优势，因此，，即
（3）
其中，。
引入报价升、降百分比的概念，以X为报价升、降百分比，其中，
当X0时，x较标底a属于偏高报价。当x
取，则有
同理，当x＞a时，有
由
1.3确定λ1、λ2值
通过参与现场招投标了解多个招标项目的各项指标，收集若干组投标商的报价、各报价得分（M）、平均标底及其他相关数据值如、等，进行分析。
取λ1＝100，λ2=1.2,λ1=120为经验数据，基本能较为合理地反映实际工程投标报价的隶属度函数变化情况，由于的值在100左右波动并近似等于100，故存在报价得分与报价隶属度的关系。
其中：
（4）
这样就实现了由报价直接确定报价评分，以确定报价是否在竞标中占据优势。因此，该隶属度函数反映的是报价的得分情况。
1.4修正后的报价隶属度函数模型
报价隶属度函数（4）较为准确地反映了各参与竞标的投标商的报价及对应报价隶属度的分布情况，如图2所示。
图2修正后的投标报价隶属度函数分布
Fig.2DistributingofBiddingMembershipFunctionModifiedModel
经验证，与实际报价隶属度及其得分的差别较小。在靠近x=a的区域内报价均显示出较高的隶属度（非常接近1），视作优势报价区间，这弱化了在优势区间内都较为靠均标底的报价差别。在工程实际中，较多位于优势报价区间之内的投标商均有可能通过改善和提高其他竞标因素如施工方案、工程质量等以增强自身综合竞争实力而赢得中标。这在报价上为业主提供了较多的选择投标商的空间，客观上也促使投标商不仅将眼光放在投标报价的竞争上，而是更加自身实力的提高，对于我国招标投标市场竞争起到了良好的引导作用。这也使我们认识到报价的技巧并不是报价越低越好，而是需要纵横全局的考虑。在允许的报价范围内报出合理的价位并结合自身实际情况做出调整才是根本。例如，某投标人的投标报价虽不是最优，但仍属于优势报价区间，与其他投标人的报价差别不大，但由于采用了较为先进的施工技术，在技术力量方面拥有绝对优势，同样极有可能成为中标方案。
拟定当x＜a时，A(x)∈[0.99,1]，x＞a时，A(x)∈[0.99,1]两个区域对应的报价区间[x1,x2]为优势报价区间；在远离x=a的区域，该函数较好地凸现了过于偏离平均报价的弱势，此类报价或是低于工程成本价格导致报价的合理性降低，或是过于高出业主的承受价格，有可能成为制约其中标的因素，为报价的劣势区间[0,x1)∪(x2,+∞]。
投标决策的正确与否，将直接关系到能否中标以及中标后的效益，关系到企业的经济利益和发展前景。
1.5模型转化
设C为工程估算成本，fi为第i个承包商的报高率，其报价为x=C(1+fi)，fa为平均标底对应的报高率，即平均报高率，平均标底为a=C(1+fa)，代入式（4），得
(5)
因为尾盘数量不多，大都是一些销售较为困难的单元，销售时的营销费用十分有限，不可能大量、轰炸性的进行广告宣传，所以尾盘一直以来也成为了令房地产商倍感头疼的一件事。
尾盘一般指楼盘的销售率达到70%左右时，对所剩单位的称谓。因为尾盘数量不多，大都是一些销售较为困难的单元，销售时的营销费用十分有限，不可能大量、轰炸性的进行广告宣传，所以尾盘一直以来也成为了令房地产商倍感头疼的一件事，尾盘不仅沉淀了开发商的目标利润，更压制了他们前进的热情。
尾盘一般分为两种，一种是朝向、采光、楼层、户型较差的，主要是开发商在销售前期没有进行很好的销售控制、制定合理的价差，销售人员或代理公司为追求业绩，销售中不管不顾只一味推荐客户容易接受的好户型，对一些朝向偏差、户型偏大的单位没有进行很好的引导，致使这部分单位被冠上尾盘的称谓。用一些专业人士的话来说，这种尾盘除了降价，没有更多的办法。
另外一种是项目市场定位与产品本身出现矛盾，例如某项目价位是4900元/平方米，市场定位在普通白领阶层，却将顶层的户型均设计为面积在200平方米以上的复式结构，其中平层部分户型面积也达到200平米，总楼价100多万元，它的买家是谁很难确定，这类项目之所以销售出现困难是开发商对楼盘的市场定位和产品定位衔接处理失策的典型案例。如何将这部分尾盘尽快被市场消化掉，如何用少量的宣传费卖出最难卖的单位，红石行针对各类尾盘进行了详细的分析、研究，从而找出了解决的最佳方案。
方案一：正确引导消费市场
根据红石行的民意调查反映出，目前消费市场对尾盘没有一个正确的认识，甚至还存在一定的排斥心理，常将‘尾楼’与‘烂尾楼’混淆，觉得尾盘就是非常不好的房子。除了各种自身条件有限以外，其实尾盘具有两大特点；一是绝对的现楼。买家可以直接看到现房，实地品评房屋质量、社区环境、生活配套是否便利等，不必存在像期房那样的担忧。二是在物业管理设施及各方面的磨合上可以省时省力。经过前期的入住，实际生活中的物业管理问题、发展商与配套部门之间是否具有良好的合作关系、楼房质量等问题都可以提早知道。之所以大多数的置业者认为，尾盘是别人挑剩下的，是户型朝向不佳、设计落伍、布局不合理的房子，其原因：一是开发商不愿再出资作宣传，消费者很难辨认尾楼和烂尾楼的区别；二是开发商选择中介公司代理时，一级代理公司大多只考虑代理新盘，尾盘自然不在他们的注意范围之内。多数的尾盘就被分散给小型代理公司或是任其空置，这些小型的代理公司接手后，本着卖一套收一套钱的心态进行销售，没有从根本上正视和去寻找解决尾盘的方法，更没有去引导消费者正确看待尾盘。这种做法的结果就是事实上尾盘并不被市场真正消化。
所以尾盘的问题并不完全在项目本身，更多的原因是置业者获得尾盘的信息来源匮乏，致使不能正确认识尾盘。红石行通过对尾盘市场的反复研究，决定对尾房信息进行整合利用，为尾盘提供一个健全的信息发布渠道，使消费者能及时得到相关的购房信息，加深认识，消化尾楼，避免资源浪费，这就是红石行的现房超市！
方案二：降价的技巧
其实，尾盘除了朝向、楼层、布局等问题，也可能由于现楼热卖时价格太高，让一些消费者望而却步从而造成积压。但无论哪种情况，尾盘销售几乎都离不开“降价”这两个字，
尤其对于一些急于变现的开发商来说，降价便成了唯一的方式。但降价也有许多技巧，如果只一味降低单位售价，有可能会造成适得其反。例如西南二环的某物业，热卖时均价在7０００—8０００元／平方米左右，因为内部问题，销售受阻，所剩将近40%的空置房竟以半价推出。一下让市场认为该物业出了严重质量问题，这样不仅给已购的客户利益和精神上带来沉重打击，更损害了开发商的市场形象。此开发商的这一壮举不仅没有推动销售进度，反而让该项目陷入了进退两难的尴尬境地。所以红石行更提倡尾盘降价策略要采取更具人情味的方式，就是所谓“隐性降价”，如降低首期款、送精装修、送物业管理费、送花园、送绿化、为客户提供更周到便利的服务等等。
方案三：重新定义
前面我们说到降价是尾盘销售的有效方法，但并不是一剂任何时间都见效的灵丹妙药，有些楼盘价格降到了最低点，广告也打了不少，依然是无人理睬，根本无法收回成本，更谈不上利润最大化了。退一步来说降价虽然能使开发商收回部分资金，但会让大部分准客户进入观望阶段，期待着楼盘进一步降价，从而影响销售，因此降价始终不是尾盘销售的上策。
1．重新定义市场
红石行认为尾盘的处理方式除了降价之外，重新定义市场、重新界定客户群，同时在可能的情况下对产品进行改进都会成为很好的解决方法，首要工作是找出每一套单元的问题点，再有针对性的寻找解决方法，不仅会起到很好的效果，更能保障利益的最大化。
重新定义市场，一般必须对产品进行改进，但住宅产品的特性是现楼阶段进行改动困难程度很高，虽然复式可以改为平层，小面积打通可以改大，但更多的情况是改进的可能性几乎微乎其微。所以我们在重新定义市场时，要在软性改进上多下工夫。
2．广告媒体重新定义
比如认真分析每套单元的潜在客户构成，再进行针对性的推广。现房的目标客户大多就在项目的周边，所以我们就没有必要在大众媒体进行宣传，主要采用路牌、横幅等方式等吸引周边客户前来看房，并在他们经常出入的地方举办促销活动，这样可以以最低的广告费，取得最好的销售业绩。
3．宣传内容重新定义
一些楼盘在项目收尾期，仍以唯美抽象的概念进行宣传，没有很好的将现房优势表现出来，致使客户对该物业的认识仍停留在初始阶段，这样就难免大量流失目标客户。红石行在这里提醒开发商，此阶段的宣传内容一定要以亲切的生活画面来增强与客户沟通的亲和力，主题应着重表现在“家”上。包括我们的宣传工具所表现的内容，更多的应该是使用说明书和质量保证书，而不是华而不实的楼书。另外一个不能忽略的重要媒体是我们的老客户，因为他们的口碑是项目最好的传播方式。所以一定要注重与老客户情感的沟通，经常举办一些答谢会、睦邻活动等，会得到意想不到的收获。
红石行在尾盘销售上，还有很多的策略和技巧，希望能和业内人士共同分享、探讨，因为版面有限不能一次列详，今后将会陆续刊出。
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【中图分类号】G633.6【文献标识码】A
【文章编号】1004―0463（2017）12―0119―01
二次函数是初中升高中必考的重点内容，也是学生学习的难点。其中涉及到五大学习目标：会求函数解析式、会画函数图象、了解图象性质、会平移图象、会把一般式配方成顶点式，更涉及了许多思想方法。那么，如何帮助学生学好二次函数呢？下面，笔者谈谈自己的看法。
一、理解二次函数的内涵及本质
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）中含有两个变量x、y，只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解。而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图象就是由无数个这样的点构成的图形。若图象上某一点的横坐标为m（字母），那纵坐标可表示成y=am2+bm+c.
例1在同一平面直角坐标系中画出下列函数图象并观察其有何变化规律？
①y=x2②y=x2+2③y=（x-3）2④y=（x-3）2+2
引导学生认真观察思考，从图象上可以很容易发现它们之间的变化规律：
从它们的图象上可知其形状大小一致都是抛物线，只是位置改变了，其变化规律其方法：就是用xx-h即设x=x-h.
y=ax2的对称轴是y轴即直线x=0.
当x=0时，有x=x-h=0.
即y=a（x-h）2的对称轴是直线x=h顶点是（h，k）.
二、熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质
1.通过描点，观察y=ax2、y=ax2+k、y=a（x+h）2图象的形状及位置，对各自图象的基本特征。反之，根据图象的特征能迅速判定它是哪一种解析式。
2.理解D象的平移口诀“括号内加减左右移，括号外加减上下移”。y=ax2y=a（x+h）2+k“括号外加减上下移”是针对k而言的，“括号内加减左右移”是针对h而言的。总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同。由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移。如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移。平移时要区分清楚是在括号内加减，还是在括号外加减。
3.通过描点画图、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的。我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中构画出它的图象，并知道图象的基本特征，这才能在真正意义上做到数形结合。
4.在熟悉函数图象的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图象来判别二次函数的系数a、b、c、？驻以及由系数组成的代数式的符号等。在遇到比较复杂的代数式的符号判断时，可采用特殊值法处理。
三、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式
用待定系数法求二次函数的解析式是求解析式时最常规有效的方法。求解析式时往往可选择多种方法，如已知三个一般条件，可将函数关系式设为一般式；如已知顶点的任何一个坐标，可将函数关系式设为顶点式；如已知两交点坐标，可将函数关系式设为交点式；如顶点在坐标轴或原点时，可将函数关系式设为特殊式等。如能综合利用二次函数的图象与性质，灵活应用数形结合的思想，不仅可以简化计算，而且对进一步理解二次函数的本质及数与形的关系大有裨益。
一、促销目的
通过“浪漫七夕夜”这一主题，紧紧抓住围绕“有情人”这一心理，绽开商品促销和活动促销，以吸引客流，提高知名度，达到销售的目的。大力推出“降价风暴”的降价促销活动，让消费者感到真正的降价优待。
二、促销时间
20xx年8月16日——8月17日
三、宣扬档期
20xx年8月8日——8月15日
四、促销主题
1.示爱有道降价有理
2.备足礼物让爱情公告全世界
五、商品促销
“七夕情人节”是一个特别的节日，是有情人赠送礼品的节日，因此商品促销应以“情物礼品”为主题，饰物礼品、定情信物、鲜花、精品系列等。
各店应做好商品的创意陈设和突出重点陈设，以保证节日商品达到销售。
1、商品特价
情人节期间，对于店内积压商品整理归类，设立特价区，此部分产品可借此次活动之势，保本销售，让销费者感到真正实惠。
2、主题陈设：8月9日——8月17日
各店于正门口惹眼位置做情人节系列商品主题陈设，可以充分利用厨窗摆放，如没有厨窗的店面可陈设醒目位置。
要求：
a、情人节主题陈设，以店内精致饰品为主要陈设对象。
b、各店必需包装至少11份以上的“饰品套系”用于主题陈设
六、“浓情头饰花束”
1、以头饰为主，现价按原有价位6-7折出售，美术笔手写醒目价签，凡购买饰品80元以上的顾客均赠鲜花一支。
2、制作“浓情头饰花束”售价表
提前预备包装盒，包装纸，做好包装工作。
3、免费送货服务，要求饰品超过100元，送货范围不超过2公里。
七、活动促销：
1、情人气球对对碰
制作100-200个，气球用于门店情人节气氛布置及购物赠送(门店自行支配)。
费用元/套。
2、会员卡赠送
凡购买情人节系列商品(不限金额)，即可赠送会员卡一张。(时间：8月8日—13日)
留意做好会员卡资料登记工作。
八、宣扬
九、店内布置
1、备足礼物让爱情公告全世界门前写真招帖。
a.店门口美术笔手写招贴(含优待策略的详细内容);
b.彩色横幅一条：内容为“示爱有道！降价有理之降价风暴”;
c.购买或租专心形气球做店面装饰；
2、柜台和店面内外的卫生：要干净，门窗玻璃肯定要洁净，一尘不染。
3、在这里还是要特殊提到服务质量肯定要切实提高。
十、联合经营
与当地鲜花店达成合作协议，相互供应商品，以增加双方销售量。
如购买xx元鲜花，赠由xx供应的饰品一份或会员卡。
在xx购xx元饰品，赠由xx鲜花店供应的鲜花或优待卡。
对于一个产品来说，什么叫贵，什么叫不贵，完全在于客户的认同。有人花1000元买一份巧克力也说不贵，有人花10元买一份巧克力也说贵。因为产品的贵与不贵跟产品本身没有多少关系，而跟客户的自我判断有关系。他认为值就不贵，不值就贵。所以优秀的客服他不会急于跟客户讨价还价。他会问客户：“你为什么会觉得贵呢？”虽然看似简单的一句话，但是这里面很有学问。问话的目的是找到客户的价值观。听听他是怎么回答的，看看以上四种原因客户是属于哪一类？如果他说我以前买得都没有那么贵，那么就是属于第二类；如果他说别人的产品都没有那么贵，那么就是属于第四类；如果他说这么贵我哪里买得起？也许是属于第三类；如果客户说不出具体的原因，那么多属于第一类。当客服知道了客户的抗拒点以后，自然就知道了他所需要的答案。因为问题就是答案，只要客服有足够的理由说明产品的价格符合客户所想的价格，他们自然就容易接受。所以对于价格浮动比较大的产品，客服可以反问他一句：“你觉得多少不贵吗？”当然，问这句话之前先要塑造产品价值。然后，才能问出客户所能授受的价格，找到成交点。
如果产品本身不能降价怎么办？客服必须给他一个合理的解释。也可以从以下几个方面来讲：第一是公司规定不能降价；第二是单件产品不能降价；第三是客户平等不能降价；第四是物超所值不能降价。第五是增加附价值，满足客户需求而不让价。只要客服话说得好，客户就能理解你的心情，自然就不会跟你讲价了。
因此，一个优秀的客服，如果客户提出让价，他会说：“我非常理解你的心情，当然，谁都希望能以最低的价格购买到的产品。”您绝对放心，像这么好吃的巧克力，我们每天销售N份，从来没有降过价。而且我们有完美的包装服务，还有消保支持，让您完全无任何的后顾之忧。如果降价，一是老板不允许的，降价销售我是要从我的工资中帖钱的；二是销售不公平，我们这个产品一直都是统一价格销售；三是……等等，你要让客户有台阶下，有面子。让他高兴，让他放心，让他感觉到物超所值。客户自然就不会讨价还价了。
结束语：客服是一家公司、企业中和消费者接触最多的岗位之一，很多消费者对客服的印象直接影响到了对这家公司、企业的声誉，所以提高客服的工作能力对于一个企业来说是非常重要的。
【关键词】一题多解；分析问题；二次函数
Discussesthequadraticfunctionshallowlytopicmulti-solutions
YuDehong
【Abstract】Discussionquadraticfunction’stopicmulti-solutions,aremainlybecausetheindependentvariabletriesdifferently,mayobtainthedifferentfunctionexpression,theteacherintheteaching,mustthecoachpupilstolearntoanalyzethequestionfromdifferentXieDuandtosolvetheproblem,developsstudent’sproblemsolvingmentality,developsstudent’spotential.
【Keywords】Atopicmulti-solution;Analysisquestion;Quadraticfunction
一题多解，是指对于同一个问题，可以用多种不同的方法去解决。在数学教学和数学学习中，无论是几何或代数，都会遇到一题多解的情况。二次函数的一题多解，主要是由于自变量的设法不同，可以得到不同的函数表达式，教师在教学中，要指导学生学会从不同的解度去分析问题和解决问题，拓展学生的解题思路，开发学生的潜能。
以下两例仅供各位同仁参考。
1经济生活中的二次函数问题
某体育用品商场购进一批滑板，每件进价为100元，销售价为130元，每星期可卖出80件。商家决定促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件。
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
对于第一个问题，可以指导学生用两种方法：
方法（一）
总利润=总售价-总进价
即130×80-100×80=2400（元）
方法（二）
总利润=每一件的利润×总销售量
即（130-100）×80=2400（元）
虽然结果一样，但由于思路不同，列式就不同。同样，不同的列式，反映出对问题的思考和分析的角度不同。
第二个问题，则可以从以下三个角度去分析解决：
方法（一）
总利润=（降价后的售价-进价）×降价后的销售量
设降价后商家应将价格定为每件x元，利润最大。最大利润为y（元）。
因为降价后一件的利润为（x-100）元，销量为（80+130-x5×20）所以y=（x-100）×（80+130-x5×20）（100≤x≤130）
y=-4（x-125）2+2500
当x=125元时y最大值=2500元
方法（二）
因为每降5元，销量增加20件，设降x个5元时利润最大。
总利润=总售价-总进价
y=（130-5x）（80+20x）-100（80+20x）
y=-100x2+200x+2400
当x=1时y最大值=2500
即降1个5元时，最大利润为2500元，也就是降价后的售价为（130-5）元。即125元。
方法（三）
设降价x个5元时，利润最大
总利润=一件的利润×总销量
原来一件的利润=130-100=30元，降x个5元后，一件的利润为（30-5x）元（1≤x≤6的整知数）
总销售为（80+20x）件
所以y=（30-5x）（80+20x）
y=-100x2+200x+2400
当x=1时，y最大值=250元
即降1个5元时，利润最大，降价后的售价应为125元。
2几何图形中的二次函数问题
要围出如右图所示中的阴影部分的场地（矩形缺一个角），一边利用学校的围墙，另三边总长为44m的篱笆围成，缺角部分为门，三边分别为多少时，阴影部分面积最大，最大面积为多少？
方法（一）
设AB的长为Xm，则DE=X-2
BF=44-x-（x-2）=46-2xBC=（46-2X）+2
则面积S=（46-2x+2）x-12×2×2
S=-2x2+48x-2
当x=12时S最大值=286即AB=12DE=10BF=22
方法（二）
设DE的长为xm，则AB=x+2
BF=44-x-（x+2）=42-2x
S=（42-2x+2）（x+2）-12×2×2
=-2x2+40x+86
当x=10时S最大值=286
即DE=10AB=12BF=22
方法（三）
设BF的长为xmAB=aDE=a-2
因为x+a+a-2=44所以a=46-2x2
即BF=XAB=46-2x2DE=46-2x2-2
S=(46-2x2)（x+2）-12×2×2
=-12x2+22x+44
当X=22时S最大值=286
即BF=22AB=12DE=10
［关键词］需求函数需求弹性偏弹性
一、需求函数
在商品市场中，影响消费者对该商品的需求因素有价格、人均收入、供给、成本等，其中商品的价格是影响消费者对该商品的需求的主要因素，如果忽略如人均收入、供给、成本变化等其他因素，仅把需求量看成是价格的函数：Q=f(p)，Q表示需求量，p表示价格，称为价格需求函数（简称需求函数）。在正常情况下，商品的价格下降，需求量增加，反之商品价格上涨，需求量减少。因此，需求函数一般为单调函数。
二、需求弹性
在商品市场经济中，经营者要提高经济效益，不仅要提高质量，降低成本而且要做好市场预测，掌握商品的供求信息。在销售时，经营者应根据市场信息，常常对某些商品采取降价措施，使销售量增加，薄利多销，增加经济收益，而有的商品，同样采用降级销售，但销售量增加却不多，经营者未能增加经济收益，这时我们不仅要研究商品的绝对改变量，而且常常需要研究其相对改变量。例如：商品甲原每单位10元，现涨价2元，商品乙原每单位价格为1000元，现涨价2元，两种商品价格的绝对改变量都是两元，但与其原价相比，两者涨价的幅度却有很大的差异，商品甲涨价了20%，商品乙涨价了0.2%，即商品甲的价格相对改变量为20%，商品甲的价格相对改变量仅为0.2%，但其需求量Q的变化也明显不一样，其原因取决于该商品的需求量对价格变动的敏感程度，即商品的价格需求弹性。
设函数y=F(x)在点x可导，当自变量在点x取改变量x时，函数相应的改变量y=f(x+x)-f(x)，则x,分别表示自变量在点X取得的绝对改变量和相对改变量，y,分别表示函数在点x相应取得的绝对改变量和相对改变量，相对改变量通常用百分数表示，函数的相对改变量与自变量的相对改变量的比值表示函数y=f(x)从x到x+x两点间的相对变化率，即当时x0时
表示函数y=f(x)在点x的相对变化率（也称相对导数），在经济学中称函数y=f(x)在点x的弹性，记做，即因为，因此函数的弹性也表示边际函数在平均函数之比。需求函数Q=f(p)在点P的弹性表示商品的社会需求量关于价格的相对变化率，称为需求的价格弹性。简称为需求弹性，其经济意义表示价格在P的基础上改变了1%，需求量相应地在Q的基础上改变的百分数。
由于需求函Q=f(p)数一般为单调减少函数。f’(p)＜0，因此需求弹性为负值，负号表示需求量的变化方向与价格的变化方向相反。
三、需求弹性的应用
设需求函数为Q=f(p)，当需求弹性分别为＜－1，＝－1或-1＜＜0时，需求量变动的百分数分别大于，等于和小于价格变动的百分数，分别称为需求有弹性，需求有单位弹性或需求是低弹性的。
根据需求弹性的经济意义，当商品需求有较高弹性时，商品的需求量对价格变动的反应较为敏感，经营者如采用降价销售，能促进消费者消费，较大地增加销售量，薄利多销，可明显增加经济收益，当商品需求低弹性时，商品的需求量对价格变动的反应迟钝，经营者若提高商品的价格，销售量减少不大，经营者不会因销售量减少而影响总的经济收益。
根据有关统计表明，日常生活必需品如米、油、盐等商品的需求弹性较低，高档消费品、奢侈品如轿车等商品的需求弹性较高。
例1根据市场调查，某种商品的需求函数为Q=f(p)=1000e-0.2p
（1)求商品的需求弹性；
（2)现在市场上销售价格为10元，当价格提高1%时，该商品的需求量如何变化。
解（1)商品的需求弹性为，
（2)=-0.2×10=-2
因此，销售价格在10元的基础上提高1%，则商品的需求弹性约减少2%。
四、偏弹性
设二元函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，当自变量x在点(x,y)取得绝对改变量x,y保持。自变量x的相对改变量，z/x表示函数z关于x的偏相对改变量，比值表示函数z=f(x,y)在(x,y)与(x+x,y)两点间关于x的相对变化率，当x0，表示函数z=f(x,y)在(x,y)关于x的相对变化率，称为函数z=f(x,y)在(x,y)关于x的偏弹性，它表示在点(x,y)处，当自变量x的改变1%（自变量y不变）时，函数z相应改变的百分数，类似，称为函数z=f(x,y)在(x,y)与(x,y+y)关于y的偏弹性。
例2根据资料统计，某种商品的综合需求函数为Q=0.51・p-1.6，M0.92其中Q为商品需求量，p为商品的价格，M为人均收入，求需求量关于价格和人均收入的偏弹性，并说明其经济意义。
解需求量关于价格的偏弹性为
＝-1.6它表示当商品价格上涨1%时，商品的需求量大约下降1.6%。
需求量关于人均收入的偏弹性为
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