复数的概念(6篇)

复数的概念篇1

一、概念教学中的比较

概念是对事物本质属性的反映，它既是思维的基础，又是思维的“细胞”，是正确推理和判断的依据。小学数学中概念描述较抽象，小学生学习概念普遍存在一定难度，但许多概念之间有着密切联系，若在概念教学中充分运用比较，便能使学生准确、牢固地掌握数学概念。

1．引入概念时的比较。

在引入一个新的数学概念之前，教师首先要分析清楚这个概念是建立在哪些已学的数学概念基础上，然后从复习旧概念的过程中，自然地引出新概念，使学生明确新旧概念之间的区别与联系，为准确理解新概念打下坚实的基矗

2．巩固概念时的比较。

学了一个新的数学概念后，为使学生巩固所学的概念，教师应引导学生把所学的概念与一些相关的易混淆的概念进行比较，达到正确理解概念实质的目的。

3．深化、应用概念时的比较。

掌握数学概念的目的是为了运用所学概念解决实际问题，而运用概念的过程又是深化理解概念的过程，可使学生更深刻地理解概念的含义。

二、应用题教学中的比较

应用题教学，最有利于培养学生的思维能力和分析问题、解决问题的能力。而应用题教学中充分运用比较法，能使学生在比较中理解数量关系，在比较中掌握解题方法。

1．简单应用题与复合应用题比较。

任何一道复合应用题都是由若干道相关的简单应用题复合而成的。在教复合应用题时，先让学生做若干道与之相关的简单应用题，然后引导学生将这些简单的应用题合并成复合应用题，再比较简单应用题与复合应用题的联系与区别，使学生很自然地掌握解答复合应用题的关键，并把复合应用题分成若干道简单应用题。这样就有效地提高了解答应用题的能力。

2．互逆关系应用题的比较。

有许多应用题，它们之间的数量关系具有互逆的特点。比较它们的解题思路，明确它们之间的相互联系，可使各个零碎的知识串成线、联成网，从而构建起完整的知识结构。

复数的概念篇2

关键词：数；语义；语法；语用

认知语用学是近些年来兴起的交叉学科，它在语言哲学、语言与思维等方面的研究上有了长足的进展。认知语用学所关注的是一个人脑中的基本概念，是怎样通过符号来“表现”交际意图，并达到某种预期的交际效果的。数是人类最早的最基本的概念之一。任何语言中都有表达数的概念的符号，但这种符号表达形式并非都是通过语法手段来实现的，也就是说，语言符号表现数的概念并不总是显性的。在不同语言系统中，词汇意义和语法意义关系的体现会不尽相同。本文通过对数的概念在语义、语法、语用三个层面的不同表现的分析，探讨如何在具体语境中推断出与目的意图相关的“数”。

一、数的概念与概念叠加

认知学认为概念是人脑对客观事物的抽象概括。可以想象，人脑中数的概念的建立，一方面是因为外部世界大多数的事物是“可数的”，一方面也因为客观世界中至少存在着一种单复数的对立关系——即有些事物是可数的，而另一些事物则相反是不可数的。

在微观语言系统中，存在着三种不同形式表达数的概念：

①事物概念与数无关(或完全重合)；

②事物概念表现数的最大值和最小值；

③事物概念与数的概念的有限对立。

既然事物的概念与数的概念关系如此密切，那么在语言符号中就会有所表现，或为词汇化(lexicalized)，或为语法化(grammaticalized)：要么以词汇形式，要么以语法形式来表现概念。JohnLyons曾举“thatsheep”和“thosesheep”为例，指出两个“sheep”在表达形式(word-form)上相同，但内容形式(word-expression)不同。这应属于概念词汇化的情况，即事物概念与数的概念没有(或已经)通过词的形式表现出来。这在英语中属于个例。而在缺乏词汇曲折形式变化的汉语中，表达事物概念时，核心概念得以“强化”，从属概念的“数”却被“忽略”，导致汉语名词通常只表现概念意义，不具有语法意义或可数不可数的范畴意义。也就是说，汉语中缺乏严格意义上的数的对立形式，事物的概念与数的概念无关或完全重合(overlapping)是普遍现象。总之，汉语是通过词汇和词序来表示各种语法范畴的，也就是说，还要增加一些数量词与名词连用才能表现名词的数。反观英语，普遍以可数和不可数的形式来表现数的对立：名词既具有词汇意义(明确的概念指称和系统意义)，同时又具有语法意义(可数不可数或单复数的语法范畴)。这在综合性语言中并非个例，即语言的表达形式必须体现“数”的对立，要么是单数，要么是复数；要么取数的最大值，要么取数的最小值，并以词的形式把事物的概念和数的概念叠加(word-lapping)起来，表现为任意一个名词的双重性。当然，在现代汉语中，也有了数的概念的有限对立形式：单音节的人称代词和指人名词可以带上语素“们”来表示复数，如“我们”、“孩子们”等等。

Lakoff从认知角度看待英语中单复数的问题，认为单数是英语里数的形态范畴中的无标记成员，因此在认知上要简单一些。由此推论，认知上的简单性反映为形式上的简单性。在汉语中，名词都属于无标记成员，在语义和语法层面上表现了所谓的简单性。但是，这种简单性的形成源于汉语思维的概括性，并不由此进一步表现为语用层面的简单性。事实恰恰相反，这种形式上的简单性在语用层面上引起很多麻烦，需要更多的语境，甚至是文化因素的干预，才能使语言交流得以实现。

基于以上分析可以看出，无论表现数的概念与事物的概念是重合还是叠加，都反映了两者间的密切关系，反映了语言与思维的紧密联系，反映了语言中文化的印迹，也反映了不同语言表达形式上的语用倾向性。

二、语法的“数”与语言表达倾向

数的概念与所指的概念在综合性语言中常常出现一种叠加，而这种概念叠加在语符编码时的直接表现，就是单复数概念的语法化——以固定的显性的标记“黏着”在表现事物概念的名词或代词上。在语法层面上，数的概念也要有所表现。以英语为例，有三种形式：

①单复数形式与概念一致；

②单数形式，复数概念；

③复数形式，单数概念。

第一种情况无疑是普遍的，有代表性的，而其他两种则是对一般功能的补充，即用人为的单复数的形式，使不可数的功能变成“可数”，或者相反。这种涉及语言使用者习惯的表达方式，是一定量的交际功能因素语法化现象，仍然属于内化的、非语境化的语法范畴，或者也可称之为“习惯法”。请看例句：

(1)Ihavetwonewst。tellyou.

(1’)lhavetwogoodnewst。tellyou.

(2)I’veboughttwoshirtsandtwotrousers.

(2’)I’vcboughttwoshirtsandtwopairsoftrousers.

句(1)中的“twonews”不合语法，可句(1’)中“twogoodnews”则语法正确；句(2)中的“twoshirts”合乎语法，“twotrousers”却是错误的，只能说“twopairsoftrousers”。一样的名词，不一样的表达，我们可以明显地感觉到一种人为的“约定俗成”。无论是概念的叠加，还是这种人为的“置放”，正是由于这种单复数概念上的对立关系，才在某种特定语言中建立了数的符号标记。这种符号标记，即语法上的数(grammaticalnumber)，又与实际所指(referentialnumber)存在着一种对应或不对应的关系：有时是复数形式，单数概念，如英语的“trousers”和法语的“fiponsailles”；有时是单数形式，复数意义，如英语的“everybody”，法语的“toutlemonde”。

语法化与词汇化、显性与隐性，是语言表达形式和内容形式之间关系的不同表现，是在历史、文化、思维方式等因素的制约下长期形成的。“在语言表达中，涉及到数的概念时，无非有两个方向，一是要求表达准确，一是要求表现模糊。”

汉语缺乏严格意义上的数的对立形式，表达倾向会模糊一些。以“昨天我和朋友约会去了”为例，相应的英语为：

(3)Yesterday，Imadeadatewithoneofmyfriends.(或Yesterday，Imadeappointmentswithmyfriends.)

就两种语言中涉及的两个名词“约会”和“朋友”而言，汉语无标记、无数的概念；而在英语中，则必须体现“date(appointment)”、“friend”的数：或为单数，或为复数，即约会和朋友的概念与数的概念必须叠加在一起，以词汇意义与语法意义相结合的形式来表现内容。在这个层面上，英语的两种意义做到了高度的一致，而汉语则是分离的，模糊与清晰的表达倾向一目了然。

三、数的语用充实

根据Morris的符号学原理，语言的内容形式和内容实体之间的关系可以在三个层面上获得：

①在语义系统中获得系统价值；

②在语句层次上，从命题或句子中获得定义：

③在语用层次上，通过推理获得含义。

在语言使用过程中，一旦涉及到数的问题，人们总是试图在语法结构(grammaticalnumber)和实际所指(referentialnumber)之间找到一种直接的联系，以便迅速、有效地“解码”，更好地在具体语境中推断出与目的意图相关的数的概念，进而达到预期的交际效果。

谈到语境，暂且不把它泛化或多元化，仅仅用来指语言语境，即上下文。这也是为了突出单复数概念在交际意图的影响下，与编码概念的区别。同其他词语的概念一样，数的概念也应在特定语境下得到充实，包括对原型意义的选择、调整、扩充或缩小。

请看以下例句：

(4)Inmanycountries’womanliveslongerthantheman.

(5)It’shardtobcascientistanditisevenhardertobeaman.

(6)Womenlikechatting，butmendon’t.

句(4)是基于统计数字的表达，零冠词的单数形式，恰恰表达的是与数无关的概念，而重在表现性别的对立。而句(5)中的“aman”以数的最小值出现，除了与前面的ascientist的呼应意义之外，也远远超出了性别和数的概念，“扩充”到指任何人。句(6)的women/men取数的概念的最大值——复数，但对任何一个读者或听者来说，则会感受到个体的集合。

通过以上英语例句的分析，可以看出数的表达形式与实际所指之间存在着某种约定俗成的联系，而这种联系的意义至少要在语言语境下得以显现。然而在汉语中，绝大多数名词为零标记，缺乏“数”的符号信息，在语言语境的作用下会如何表现，请看以下例句：

(7)“老师来了!”

(8)“学生来了!”

仅仅根据语言形式和句子本身，显然不具备任何“数”的意义，使人无法判断老师或学生为几人。然而，当语境扩大到实际交际中时，根据语用学的相关理论，交际双方处在共享的社会文化及情景等语境中，发话人既会尽可能地省去不必要的信息，又要充分地表达自己的意图。那么，这两句话所表达的数的概念会不尽相同。即使没有其他的更现实的语境(地点、手势，能否见到所指人等)，也可以推测老师通常是一个人，而学生则相反不止一个人。然而，对母语为英语的入学习汉语来说，他们常常会处于数的困惑中，无论是口语还是书面语，都未提供客观的现实的符号表征，对数的选择和判断就无从做起。而对讲汉语的人来说，虽然离不开解读者的背景知识和认知程度，但仍属于一种常规意义的推断。包括语言符号本身的语境因素越多，对交际意图的判断就会越加准确。那么语境化的潜在趋势是否会解决所有“数”的问题呢?

我们再来对比一下英语和汉语：

(9)明天一早，我要乘车去车站。

(9’)Tomorrowmorning，I’lltakethebus(es)tothestation.

首先，我们假定英语发话人和汉语发话人处在相同的语境，也暂且不去考虑汉语“车”这个名词的抽象化问题，对应的英语给了一些既可以优先编码同时又可以“优先解读”(preferredreading)的概念，这其中就包含数的概念，“morning”、“I”、“station”为单数，“bus”或为单数或为复数。那么，对于英语句子(9’)可以依赖语境，选择、推理、具体化与充实从而形成以下的命题内容：

Thedayafterthespeaker’sspeech，thespeakerwilltakethebus(es)tothestation.

此时，它几乎包括了与目的和意图相关的所有信息内容，尤其是数的概念与意义。而对于汉语句子(9)，通常会作以下解读：

说话的第二天早上，说话人要坐车(一般为公交车)去车站(一般为火车站)。括号内为通常情况下的推断，当然句子的含义仍可以得到进一步的语境充实，可能涉及更多的时代与文化背景，但那并非我们所关注的。在汉语中，“数”的概念在充分体现交际目的和意图的话题中常常被忽略；如果(9’)句的听者不知说话人是否要倒车(该名词缺乏数的表现)，就会为进一步获取此类的信息，而引起下一个话轮：

“用倒车吗?”

根据Sperber&Wilson的关联理论，人们首先假定话语是相关的，然后寻求相应的满足关联条件的语境，最后作出话语理解。名词的概念与数的概念的叠加，在语言交际过程中会有不同的表现，两者之间联系越紧密，意图与概念就越清晰，话语就越“省力”，而这种清晰和“省力”又符合语言表达的基本倾向。

复数的概念篇3

我们以“主题课例式研训”为载体，按照小学数学的四个领域“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“综合与实践应用”展开研究，按照“确定主题―确定课例―观摩课例―课后研讨―坊主点评及主题培训―撰写反思―网上共享”的研修路径，重点针对概念教学和复习课教学中所存在的问题进行教学模式研究。经过近一年的努力，我们工作坊在概念教学和复习课教学教学模式研究方面，取得了初步的研究成果。

一、概念教学的基本模式

实施新课程以来，小学数学概念教学出现了较大的变化，教材中的很多概念不再像以前那样直接给出明确的定义，这让许多一线教师不知所措。我们认为，小学阶段很多概念表述都不是严格意义上的“定义”，数学概念教学应该重在引导学生对概念本质的理解，而不是纠缠于文字上的精确表述。数学课标明确了对小学概念教学的三项要求：一是使学生准确理解概念；二是使学生牢固掌握概念；三是使学生能正确运用概念。基于此，我们工作坊决定引导一线教师对小学数学概念教学模式进行专题研究。

通常情况下，学生对概念的理解遵循由直观形象到形成表象再到抽象概括的认知规律，因此，我们认为，进行概念教学，应处理好教学过程中实际操作与抽象概括的关系，为学生提供必要的感性材料、提供足够的思维空间，便于学生把直观经验与理性分析有机地结合起来，顺利地将感性认识提升到理性层面。在这样的思想指导下，我们探索形成了概念教学的基本模式“感知（创设情境，感知概念）―表象（探索研究，形成概念）―概念（体会理解，抽象概念）―运用（拓展应用，巩固概念）”。我们试以工作坊参与者张菊老师执教的《认识公顷》一课为例，说明该模式的操作过程。

1.创设情境，引入公顷

（1）课件逐一出示以下几个景点的照片，老师当导游边出示、边解说：

世界文化遗产――南京明孝陵，占地面积大约是1700000平方米；

北京中华世纪坛，占地面积大约是45000平方米；

美丽的台湾日月潭，面积大约是8270000平方米；

（2）谈话：这些名胜古迹占地面积非常大，用平方米作单位，这些数据显得不够简洁明了。（板书课题：土地面积单位――公顷）

2.自主探索，认识公顷

（1）认识1公顷。让学生通过回忆100米的长度大小，想象一个四条边都是100米的正方形有多大。然后告诉学生，像这样边长为100米的正方形的面积就是1公顷。接着再引导学生思考“1公顷有多少平方米”，先独立算算，再与同桌交流。最后，学生汇报，教师结合学生的汇报，板书“1公顷=10000平方米”。

（2）感受1公顷的大小。让学生初步想象1公顷有多大；引导学生感觉、猜测、与同桌交流1公顷相当于身边哪些建筑物的面积。学校教室面积大约是80平方米，让学生计算1公顷大约相当于多少个教室的面积。学生汇报，出示相应的数据（1公顷大约相当于125个同样大的教室的面积）。加深学生对1公顷大小的感知，让学生估一估“学校占地面积大约是多少平方米”，并计算1公顷相当于几个同样大的学校的占地面积。让学生把猜测的结果与计算出来的数据相比较。让学生再次想象、感受1公顷大约有多大。

3.尝试练习，感悟进率

（1）谈话：在计量较大的土地面积时，要用公顷作单位。让学生尝试把几组数据改用公顷作单位，学生独立完成，再与同桌交流，汇报结果。

（2）课件相应出示：世界文化遗产――南京明孝陵，占地面积大约是170公顷；北京中华世纪坛，占地面积大约是4.5公顷；美丽的台湾日月潭，面积大约是827公顷。

（3）把平方米改用公顷作单位如何换算？（说明：把平方米化成公顷是把低级单位改写成高级单位，要除以它们的进率10000，就是把小数点向左移动4位）

4.深化应用，理解公顷

（1）课件出示下列景点照片，教师继续当导游，带领学生“游览”名胜古迹，请学生思考后完成填空练习，并回答其他问题。

天安门广场是世界上最大的广场，占地面积大约是400000平方米，合（）公顷；北京的故宫是世界上最大的宫殿，占地面积约72公顷，合（）平方米；小结“把平方米改写成公顷，把公顷改写成平方米的‘秘诀’”；同桌相互出题，考查“关于平方米和公顷互换”的问题，进行练习。

5.走进生活，解决问题

（1）一块平行四边形菜地，底是250米，高是160米。这块菜地有多少平方米？合多少公顷？

（2）一块三角形菜地，底是110米，高是150米。它的面积是多少平方米？它的面积有1公顷吗？

（3）完成书本上第82页的“练一练”。

6.总结反思，拓展延伸

课后小调查：了解家里一共有多少块田地？合起来一共有多少平方米？合多少公顷？

二、复习课教学的基本模式

复习课是对学生的认知结构重新进行组织，是在整体知识背景下对学生所学知识进行重新组织和构建，它往往通过对照比较、寻找联系等教学手段，帮助学生将原来彼此分散、分割的知识联系成一个统一的整体，从而在头脑中把知识“竖成线，横成片”，或“由点构成线，由线构成面”，从而形成由点、线、面构筑而成的立体式的知识网络。现在的实验教材，重视数学与现实世界的密切联系，提供了许多现实的、有趣的、富有挑战性的学习内容，为学生创设了充分进行数学活动和交流的机会，突出了学生在学习过程中的主体地位，有利于学生探索和掌握基本的数学知识技能和初步的数学思想方法，有利于培养学生的创新意识和实践能力，有利于全面提高学生的素质。

我们工作坊在“小学数学复习教学研讨”中，采用了执教老师个人初备课，网上交流研讨备课，达成共识后再上课的研究方式。如由工作坊的参与者孙武银、周炎锋分别执教的复习课《四则混合运算》《小数乘法》，以及坊外教师古龙镇中心校黄红锦执教的复习课《简便运算》，都运用了“计算感悟―对比归类―总结法则―错题辨析―深化提高”这一基本的复习课教学模式。在探究“空间与几何”这一知识的复习教学时，我们采用了“同课异构”的方式展开研究，由工作坊的参与者周原园、陈超萍分别执教《平面图形的周长和面积计算》的复习课。

“同课异构”的目的是充分发挥每位执教者的主观能动性，工作坊再以不同的课作为研究蓝本，并适当引入部分坊外教师参与进来，大家一起质疑、解疑，“坊主”再结合课例及大家的疑难作《新理念下小学数学概念教学的实践与思考》《小学数学复习教学专题研讨》小型培训，最后总结、归纳出基本的复习课教学操作模式，即“以题代纲、边理边练―分层练习、巩固提高―自主检测、评价反思”。下面以《平面图形的周长和面积计算》的复习课为例，简介复习课教学的大体流程。

1.创设情景，激趣引入

（1）猜一猜，想一想。故事导入：唐僧取经回来后，打算奖励每个徒弟1块土地。唐僧拿出3条一样长的绳子，叫三位徒弟用绳子各围1块地。孙悟空急忙说：“我要围成长方形的。”沙僧接着说：“我要围成正方形的。”猪八戒不慌不忙地说：“我要围成圆形的。”那么，到底三位徒弟中，谁围的土地面积最大呢？大家猜猜看吧。（指名猜）如果想知道它们各占地多少平方米，我们需要用到哪些知识？

（2）揭示课题。长方形、正方形、圆形都是我们学过的平面图形，今天我们要复习的内容是平面图形的周长和面积。

2.梳理知识，引导建构

复习以下知识，并以知识网络图的方式予以呈现。

（1）平面图形的周长和面积的意义；

（2）周长的计算；

（3）面积的计算。

3.应用知识，提高能力

（1）计算下面各图形的周长和面积；

（2）火眼金睛（判断对错）；

（3）对号入座（选择正确答案）；

（4）走进生活（计算）。

李老师家有一块梯形菜地，上底是32米，下底是48米，高20米。如果平均每平方米收小麦400克，这块地一共可以收多少千克小麦？

（5）首尾呼应，解决问题。

猪八戒、沙僧、孙悟空谁围的地最大？要准确地判断出他们三个谁围的地最大，绳子的长是628米，动手算一算，再判断。

（6）得出结论（分组探究）。

让学生自行交流并小结：周长相等，圆的面积最大。

4.全课总结，注重体验

再次呈现知识网络图。

复数的概念篇4

一、比较之一：概念教学

概念是正确推理和判断的依据，它反映的是认识对像的空间关系与数量形式的本质属性，例如平行四边形的概念，有四条边，对角线互相平分，两组对边分别平行。在小学数学教学中概念很多，有数的、运算的、比和比例的、几何形体的等有关概念。其中很多是描述较抽象的概念，小学生要清晰地掌握概念普遍存在一定难度，但许多概念之间又有着密切联系，如果在概念教学中充分比较其相同与区别，可使学生清楚、准确地形成所学知识的数学概念。

1.学习新概念。有些概念与学生原有的旧知识联系十分紧密，教师在备课时要分析这个概念是建立在哪些已学过的数学知识基础上，然后在复习旧知识的过程中引出新概念，使学生明确新概念与已经学过的知识间区别与联系。这样既巩固了旧知识，又学了新概念，还有利于精讲多练。如在学习“约数”、“倍数”概念时，复习“整除”概念，明确整除的各个环节，就会水到渠成地引出新概念“约数”与“倍数”。

2.巩固概念。巩固概念是识记概念和保持概念的过程，是加深理解和灵活运用概念的过程。为使学生巩固所学的概念，教师应有意识地把一些相关的易混淆的概念提出来让学生回答，反复感知，反复比较，错误校正的过程就是学生巩固概念的过程。

3.深化应用概念。运用所学概念解决实际问题的根本就是掌握数学概念，而深化理解概念就是灵活运用概念的过程。能运用概念分析和解决实际问题。这个时候教师在概念题目的选择上要精心选择，交叉安排。

例如教百分数时，首先让学生理解百分数的概念，初步认识读写法之后，让学生思考这样一个问题：百分数与分数有什么联系和区别？这样引导学生把百分数与已学的分数进行比较区分，使学生学习并掌握：①百分数是分数中的一种情况，相同点都是表示两数之间的倍数关系；不同点是分数不仅可以表示两数之间的倍数关系，还可以表示具体数量，可带计量单位；而百分数只表示两个数量的倍数关系，不能带有计量单位；②百分数和分数在书写形式上也有区别；③百分数和分数的适用范围不同。百分数适用于生产、工作以及生活中的调查、统计、分析和比较。而分数则适用于测量以及在计算中得不到整数结果的时候。如：1米是多少？这时就得不到整数结果，需要用分数表示。通过比较，学生不仅清楚地理解、掌握百分数的概念，还复习巩固了分数这一概念；安排练习题时出现两种类型的交叉配合，区别异同，才能在今后的应用中不会混淆，遇到题目能准确地判断出来。

二、比较之二：应用题教学

充分运用比较法在应用题教学中，能使学生清晰理解数量关系，从而掌握解题方法。

简单应用题与复合应用题能使学生轻松掌握解答复合应用题的步骤；具有互逆关系的应用题要比较它们的解题思路，明确它们间的相互联系，可使一步计算的组合成多步的，从而构建起完整的解题思路；经常进行一题多解、一题多变、变换叙述形式的应用题的比较；比较单位“1”已知和未知；比较算术方法与方程解题的异同，等等。通过各种比较，学生就能较深刻地把各具体“对象”从“背景”中一一分化出来，有效地克服了思维的表面性，避免产生思维定势。比同与辨异的训练，使学生思维严密、细致、系统，有效促进了解题能力的提高，培养了学生思维的灵活性与创造性。例如：

①已知桃树有240棵，梨树比桃树多，求梨树的棵数。

②已知桃树有240棵，比梨树多，求梨树的棵数。

复数的概念篇5

关键词：数学概念教学引入教学理解与记忆巩固与运用

1.新概念的引入教学

学生接受新概念有一个循序渐进的过程，要具有形象直观的感受。中学数学教学中引入新概念的途径是：第一，用实际事例或实物、模型进行介绍，使学生对研究对象的认识由感性到理性，逐步认识它的本质属性，建立起新的概念。例如在教学“棱柱、棱锥、圆柱、圆锥”的概念时，先让学生观察有关的实物、图示、模型，在具有充分的感性认识的基础上再引入概念。第二，从数学内在需要引入概念是一种有效方法。例如一个数的平方为负数，从而引入了虚数，然后对虚数单位进行性质的研究，进行简单的运算，由此引入复数。第三，由旧概念的引申或变形引导出新概念。如向量的模、复数的模与两点间的距离公式、向量的方向、复数的幅角与直线的倾斜角等一些列关联概念。

2.新概念的理解与记忆

数学中的新概念教学必须对概念进行仔细分析，讲清数学概念之内涵和外延，沟通知识的内在联系。在讲解新概念前，先给出预习题，使学生了解以下几个方面的问题：这个概念讨论的对象是什么？概念中有哪些规定和条件？与其他概念比较有无容易混淆的地方？它们与过去学过的知识有什么联系？这些规定和条件的确切含义是什么？应当如何理解这些区别？根据概念中的条件和规定，能否归纳出哪些基本性质？各个性质又分别由概念中的哪些因素决定？这些性质在应用中有什么作用？能否派生出一些重要的数学思想方法？例如，关于“角”的概念的深化与系统化，首先罗列出“平面角”、“异面直线所成的角”、“直线与平面所成的角”、“二面角”、“二面角的平面角”各种定义，进行对比。然后对“角”的概念形成一个良好的认知结构，进一步认识到空间“异面直线所成的角”、“直线与平面所成的角”、“二面角”都是在“平面角”概念的基础上发展和推广的；反之，这些空间的角都又是转化为“平面角”来表示的，只有“二面角”是通过“二面角的平面角”来表示。概念讲完后，教师要及时地运用各种手段使学生加深对概念的理解。例如，可以让学生复述定义；也可以举一些相关的例子使学生掌握概念的内涵和外延；还可以同一些相关概念进行比较，以找出它们之间的联系与区别。当学生学习了一定数量的概念后应帮助他们沟通概念间的内在联系，充分揭示知识发展的脉络，把所学的知识加深巩固，并能从数学思想方法的深度去认识它。可用一些三字诀、四字诀等习惯术语帮助记忆，如三角函数的诱导公式，“奇变偶不变，符号看象限”，使学生正确理解并能正确运用数学概念的名称和符号，从而启发学生理解和掌握所学概念。

概念课教学中，教师应根据概念数学内容和学生实际，提供机会，创造情景，善于提出问题，启发学生积极、主动思考，逐步培养学生独立思考、自主学习的能力，引导学法、培养习惯。正像波利亚所说：教师讲了什么并非不重要，但更重要千万倍的是学生想了些什么，学生的思路应该在学生自己的头脑中产生，教师的作用在于“系统地给学生发现事物的机会”。如，学习等比数列时，可设计启发性思考题，启动学生自主的观察、归纳、概括出等比数列的概念，并把类比的数学思想落到实处，一一引导学生对等差数列、等比数列进行概念类比、内涵对比、外延类比、函数公式的结构类比、概念应用中的解法类比等，使学生在类比和自主探索中学习、理解、掌握等比数列及相关概念。所以在概念教学中，可以引用各种数学思维方式来理解数学概念，这样不仅能提高对数学概念的记忆，而且能强化数学思维模式，使学生真正从数学的角度来理解数学，从数学的整个体系来记忆数学概念。

教师要突出要素记忆，如“数轴”的三要素：原点、正方向、单位长度。又如函数概念的二要素：定义域与对应法则，最简根式的三要素：根指数与被开方式乘方指数互质、根指数小于被开方式中每一个因式的次数、被开方式不含分母（或分母为1）；同类根式的二要素：根指数相同，被开方式相同等等。突出概念的要素，即突出了概念的本质特征，为应有概念创造了条件。如判断两个不同解析式表达的函数是否为同一个函数，学生就可以先比较定义域，若定义域不同，肯定不是同一个函数，若定义域相同，再进一步查对应法则，只有对应法则也相同的两个函数才是同一个函数。数形结合法对理解、掌握及运用这一抽象概念至关重要。如实数绝对值与复数绝对值概念的教学，除讲清定义本身，还一定要把各自的几何意义结合起来学习，如此学生方能更好地把握这两个概念的本质特性，同时，如果能将二者的几何意义一般化，就能为应用绝对值概念解题创造条件。对于易混淆或相关的概念用对比法能更好地揭示概念的特性。如排列与组合、指数与对数、三角函数与反三角函数等概念教学时，用对比法可收到好的效果。排列与组合是两个完全不同的概念。前者与元素顺序有关，而后者则无关，因此，应用场合也就不同了。

3.新概念的巩固与运用

复数的概念篇6

【教学片段】

教师事先布置任务，让每一位学生把“倍数和因数”中的概念制作成卡片，每个概念一张，正面写上概念的名称，反面写上概念的定义。

师：请同学们说一说，通过之前的学习，你已经了解了哪些概念？

学生边说，教师边将事先制作好的概念卡片贴到黑板上。（许多概念卡片乱七八糟地被贴在黑板上）

师：观察黑板上的概念，你看完这些概念有什么想法？

生1：太乱了，我想进行整理。

师：你想怎样进行整理？

生2：我想把有联系的概念先放在一起，进行分一分。

学生的想法虽然离教师的要求还有一定的距离，因为“倍数和因数”中的这些概念之间是紧密相联不可分割的，其实不能分割开来看，但教师仍然尊重学生的想法，让学生自己动手分一分。很快在分的过程中，学生自然而然地产生了分歧。

生3：倍数、公倍数、最小公倍数应该放在一起，因数、公因数、最大公因数放在一起。

生4：倍数、因数放在一起，公倍数、公因数放在一起，最小公倍数、最大公因数放在一起。

生5：随便摆哪种都行，只要有道理就行。

生6：我觉得既然生3和生4说得都很有道理，我们在摆的时候如果既能满足生3，又能满足生4，那该多好啊！

生6的发言，让课堂陷入了沉思。

2分钟后，生5激动地突然一跳起来：老师，我知道怎样摆了，横的看满足生3的想法，竖的看满足生4的想法。

学生通过动手操作，真正感受到这些概念是紧密地联系在一起的，在不断深入的讨论中，不知不觉形成了知识的网络图。

【课后反思】

一、以“问”生“问”，教学水到渠成

问题是数学的心脏。因为有了问题，思维才有方向；有了问题，思维才有动力。核心问题是一节课或某一个板块环节中“牵一发而动全身”的中心问题。这节课中的其他问题都是与之存在逻辑联系的派生问题。“核心问题”既关联到课程的知识点和能力点，又连接着学生的兴趣点和发展点，它的设计必须基于学生当前的认知发展水平和兴趣，才能激发和推进学生对课程目标的主动建构。

“倍数和因数”这一内容的整理与复习，如果只是琐碎地一个一个讲概念，那只是一种机械的重复，显得杂乱而无头绪。笔者以“概念的归纳和整理”为核心问题，贯穿整个课堂，并同时生成3个小问题：（1）概念的定义。学生在对概念进行整理之前，必须先弄清楚概念的定义，抓住概念的本质属性，让学生自主地去查找每个概念的内涵，在原有的基础上，弄清楚概念之间的联系与区别。（2）概念的分类。学生要弄清楚概念之间的联系，自然而然想把这些概念分一分，把有联系的放在一起。（3）构建概念的知识网络图。学生在分一分的过程中，逐步发现这些概念是不可分割的整体，从而引发学生想要构建概念之间的网络图的需求。

二、动手操作，经历知识形成

小学数学学习应该是学生自主的学习活动，应让学生在动手操作中去探究、去发现，而教师在课堂中的作用是对学生进行有效指导，帮助学生形成科学概念，培养学生科学探究的方法、态度和习惯等等。如：（1）为了上好复习课，笔者改变了学生的预习方式，变学生漫无目的的预习为有目的的操作性预习，大大提高学生课前准备的效率。在“倍数和因数”的复习课前，笔者事先布置任务，让每一位学生把“倍数和因数”中的概念制作成卡片，每个概念一张，正面写上概念的名称，反面写上概念的定义。通过制作卡片，首先帮助学生复习概念，其次有目的地调动了学生预习的积极性；最后为课堂整理与复习作铺垫。（2）笔者在教学知识网络图时，并没有因为要节省时间而让学生直接看着网络图说一说各个概念之间的联系走个过场，而是提供给学生事先准备的卡片且预留了15～20分钟的时间，让学生自己动手操作，采用表格、提纲或图等形式把有关的知识和方法整理出来。学生经历了知识网络图的再创造过程，记忆更加深刻，而且不仅知其然，还知其所以然。

三、学生思辨，激活课堂氛围

马克思说：“真理是由争论确立的。”争论以其独特的优势，迅速融入课堂，成为课堂中一道亮丽的风景。真正精彩的课堂不是众口一致的课堂，而是思维发散、百花齐放的课堂。学生在不同思维的碰撞中，在自主的思辨中，才能真正深刻地理解知识。

在“倍数和因数”这节课中，生1的想法打破了课堂的平静，学生开始议论纷纷，有的说倍数、公倍数、最小公倍数应该分为一组，因数、公因数、最大公因数分为另一组；有的说倍数、因数分为一组，公倍数、公因数分为一组，最小公倍数、最大公因数再分为一组。很多学生对两种想法都觉得很有道理，课堂归于平静。生6的想法则又一次打破课堂平静，学生纷纷动手操作，最后达成共识。这个过程中教师只是一个倾听者，课堂的气氛由平静走向沸腾，再由沸腾归于平静，一波三折，均掌控在学生的手中。