小学分数讲解(精选8篇)
时间：2023-07-01
时间：2023-07-01
数学课程标准倡导：“学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生的学习和改进教师的教学……评价要关注学生学习的结果，也要关注学生学习的过程；要关注学生数学学习的水平，也要关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。”当前，书面测试依然是学业评价的主要形式。因此，测试过后的试卷讲评，如何体现评价理念、凸显评价价值，就成为一线教师需要直面的重要话题。笔者经过实践尝试，对小学数学试卷讲评提出以下四条实施要点。
一、讲评前，力求“有备无患”
1、聚焦典型错例，确保讲评重点
《浙江省小学数学教学建议》第30条要求：“要重视试卷讲评。讲评前，教师要认真分析试卷中所反映的问题，要对问题进行梳理和归类……”因此，教师批改完试卷之后，要对典型错例分析原因，思考对策，以期在评讲时有的放矢，寻求实效。
【案例1】在人教版六年级下册总复习“数的认识”检测中，下列两道判断题的错误率达31、6％，于是，笔者进行了分析。
典例
（1）几个真分数的积小于1，几个假分数的积大于1。（ ）
（2）a是整数，则a的倒数是1 ／ a。（ ）
错因分析
理解概念能力较差是小学生思维固有的特点，这两题学生出错的原因都是相关概念掌握不准确，思考缺乏周密性，题（1）中没有考虑到假分数的定义中包含了“分子、分母相同的也是假分数”这一点，题（2）中没有注意到题目中对a的范围的说明：a是“整数”，应该包含0，0不能做分母。
对策思考
（1）强化“真分数”、“假分数”等基本概念的精准理解。优秀学生主要的错误都出在基本概念部分，而且大多数学生不是不知道，而是理解不够精准，似是而非，需要在总复习阶段进行正强化。
（2）区分“整数”、“自然数”等概念之间的定义异同。数的概念多，其定义有严格的规定，例如整数和正整数，正整数和自然数，等等，应该借助实例帮助学生明确各个概念的定义，明晰它们之间的联系与区别。
针对性练习
判断下列说法是否正确：
（1）真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于1。（ ）
（2）a是整数（a≠0），则1 ／ a的倒数是a。（ ）
2、理顺课堂流程，明晰讲评线索
试卷讲评课是常见的课型，应该有教学预案，但这往往被忽视。笔者以为，试卷讲评课通常由以下流程组成：
（1）概况简介：教师说明考试概况，表扬优秀学生、进步快的学生。
（2）尝试订正：学生自己订正，并将错误原因写在错题旁边，摘录不会订正的错题，准备向老师和同学请教。教师巡视。
（3）典型探讨：错误原因及对策交流。这是讲评课的重点。典型错例可边批改边摘录在备课本或样卷上。
（4）再次订正：学生各自订正，教师跟踪再批（以学力中下的学生为重点）。
（5）练习强化。
二、讲评时，讲究“趁热打铁”
往往有这样一种现象：每当学生交上试卷后，教室里特别热闹，学生之间会对试题的解答过程、答案各抒己见，甚至会争得面红耳赤，许多学生会当即请老师当“裁判”。这种现象让笔者不由得思考：测试后，学生究竟在想些什么？
【问卷调查】笔者对55名六年级学生作了一次问卷调查，结果如下：
问题1、你喜欢什么时候知道测试成绩？选择“当天”的有53人，占96、4％；
问题2、测试后，你想知道成绩外，还想什么？（多项选择）选择“了解错在哪里”的有55人，占100％；选择“马上订正错误”的有54人，占98、2％。
的确，测试刚结束，学生的思维热度尚存，对试题内容相当熟悉，对自己的解题思路与方法印象很深。教育心理学研究表明：反馈是指学习者通过一定的线索知道自己的学习结果，只有当学习者从他们的学习结果中得到反馈时，评价才能对学习起促进作用。可见，及时讲评，效果更佳。因此，测试后，教师应尽快批改，趁热打铁，尽快反馈讲评，以期取得最佳讲评效果：利于学生进行自我反思，发现自己的不足之处，发挥自己的主动性和积极性，对自己的学习进行自我强化，或对错误进行矫正，改善学习状况。否则，时间一长，随着学生对试题内容和解题思路记忆的消减，寻求正确答案及分析错误原因的积极性也会大大下降，这显然不利于对错误的纠正和缺失知识的弥补。
三、讲评中，倡导“身临其境”
现代教育理论认为：教师的主导地位，应以发挥学生的主观能动性，调动学生的学习积极性为基础。讲评课上，教师要允许学生对试题的解题思路畅所欲言，各抒己见，营造敢于质疑和发表创见的氛围，对学生的创造性见解应给予肯定，让学生感到学习的欢乐，创造的喜悦，树立订正试题的信心、决心，成为讲评课的主人。由于学生已明白自己的学习结果，且数学成绩相对于其他学科两极分化现象比较明显，发挥学生主体作用显得尤为重要。因此，讲评课要先让学生独立订正自己会订正的错题，提倡高年级学生将错误原因写在错题旁边，然后，教师引导学生，围绕“你有更好的解题方法吗？”“你还有哪些题订正有困难？”“通过订正哪题，你有什么话想对同学说？”等问题进行交流。让会解答的学生讲解题思路，鼓励学生说出不同的解法，教师予以对比、点拨，指出一些错误解法。如此几个“回合”后，试卷中的典型错误都会在课堂上“曝光”，并被抛弃，进而学生建立起正确的认知结构。
【案例2】人教版一年级下册第八单元检测题中，有这样一题：按规律填数：1，4，9，16， ， 。
师：请原来做错的小朋友说说当时是怎么想的？现在知道怎样做是对的了吗？
生1：我原来找的规律是单数、双数、单数、双数……填了11和18。订正时发现，11比16小，所以找错了规律。现在我知道前面4个数之间的规律是加单数，＋3，＋5，＋7，后面应该＋9，＋11，要填25，36。
师：你能自己发现错误并改正，真了不起。其他同学有别的想法吗？
生2：考试时，我不知道该怎么填。回家后，请教了爸爸。现在我知道前四个数是由1×1，2×2，3×3，4×4得到的，所以后面的数是5×5＝25，6×6＝36。
师：你碰到困难能主动请教，是个爱学习的好孩子，而且学到了老师没有教过的知识，并与小朋友们分享学习成果，太棒了！
如此讲评，可以培养学生的自我反思能力，让试题中的错误也成为学生自主学习的资源，让纠错过程成为提升学生思维品质，培养学生反思习惯的有效载体。
四、讲评后，努力“顺势拔节”
《浙江省小学数学教学建议》第30条要求：……讲评时，要突出重点，把握关键，多角度展示解题思路，切忌就题论题，以提高试卷讲评的针对性和实效性。众所周知，解决问题历来是小学数学的教学难点，新课程已经把这块内容融入各个领域中，学生解答这方面的试题困难大、失分多，评讲时，应精心预设，发掘试题的内在价值，帮助学生解决学习困难，提高解决问题的能力。
1、一题多问，让思维激荡起来
【案例3】原试题：何杰在新华书店买了2本《故事大王》和2盒磁带，共用去48元。每盒磁带10元。每本《故事大王》多少元？（人教版四年级下册）
评讲延伸：
（1）算式：10×2；问题：____________
（2）算式：48－10×2；问题：____________
（3）算式：（48－10×2）÷2；问题：____________
（4）算式：48÷2；问题：____________
（5）算式：48÷2－10；问题：____________
如此延伸讲评，既可以对中下生放低学习的现实起点，让他们领悟每步的含义，梳理解决原问题的思路，又可以引导优等生用不同的方法解决问题，让讲评课面向全体，发展学生的逻辑思维，“使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。
2、一题多解，让通道丰富起来
【案例4】工程队抢修一条被洪水破坏的公路，公路全长200千米，前4小时修了全长的20％，照这样的进度，修完这条公路共要多少小时？（人教版六年级下册）
讲评延伸：
算法1： ____________先求____________再求____________
算法2： ____________先求____________再求____________
……
这些算法中，你觉得算法（ ）更简便。
通过延伸讲评，展示学生的多种方法，体现解决问题策略的多样化，使学生在思考的过程中，个性得到充分张扬。最后将这些方法归类：数量法与分率法，最后优化策略：4÷20％最简便。这样让学生充分体验到数学是高度的抽象性与普遍性相结合的产物。
3、一题多变，让策略灵动起来。
【案例5】运输队要为建筑工地运送黄沙，已经运了80吨，比剩下的多2 ／ 5，还剩下多少吨？（人教版六年级下册）
讲评延伸：如果将加横线的信息改成下列信息，如何列式？
（1）剩下的是已运的2／5。列式____________
（2）是剩下的2／5。列式____________
（3）剩下的比已运的少2／5。列式____________
（4）比剩下的少2／5吨。列式____________
（5）比剩下的2倍还少20吨。列式____________
（6）剩下的比已运的2倍还多20吨。列式____________
（7）（自己改编信息，并列式）
通过变式讲评，让学生梳理用分数乘除法解决问题的一般方法，在现实情境中区分表示关系的分数和表示数量的分数，感受顺向、逆向两种叙述在解决问题时的不同应对策略，加强知识的纵横联系，培养学生解决问题时灵活变通、举一反三的能力。
当然，讲评之后，除了适时拓展、适度提升，组织学生完成适量作业也是必不可少的。加涅指出：学习者听到的内容能记住10％，读到的内容能记住20％，看到的能记住30％，做过的能记住70％。为了充分发挥数学试卷的激励功能，尽力消除学生“一听就懂，一做又错”的现象，除了要求学生订正全部错题，做到考后100分外，还要布置适量作业。针对学生在检测中暴露出来的普遍问题，学生失误多的知识点，设计一些针对性补充练习，对优等生可给一些深化提高题，对学困生可给一些基础题，但不宜过多，否则学生会因此陷入题海之中，失去学习兴趣。
一、“小题”引路的必要性。
目前，对于复习课开头的10分钟，大多数教师推崇的做法都是归纳成条文或罗列成图表来概括这一节课要复习的知识点。例如，一位教师复习“比和比例”这个知识点时，是这样引入的：同学们，今天这节课我们复习“比和比例”这一章节，知识点提要是：
1、比的意义（略。下同），比的基本性质，化简比；
2、求比值；
3、比与除法、分数之间的关系；
4、比例的意义，比例的基本性质；
5、按比例分配；
6、正、反比例的判断；
7、正、反比例的应用；
……
然后告诫学生：这里要弄懂，那里应记清；这里要留意，那里要当心。这种做法往往表现为教师津津乐道，学生则犹如在听一场乏味的“报告”，漫不经心，昏昏欲睡，使之对知识点的复习显得枯燥、机械、呆板。如若顺应学生心理需要，就可以采用“小题”训练。上课伊始，教师可出示一组预先编拟好了的覆盖知识点的一组“小题”：
（一）正确、迅速地解答下列各题（10分钟完成）。
①8÷4＝():4＝():1＝16/()＝()。
②16:12的比值是()，化成最简比是()。
③如果5a＝3b，那么b:a＝():()。
④三角形三个内角度数比是2:3:4，它是（）三角形。
⑤被除数一定，除数和商成（）比例；比的后项一定，前项和比值成（）比例。
⑥加工一批零件，4小时加工了这批零件的4/7，再加工()小时可以完成任务。
（二）范例解析。
……
出示“小题”后，要求学生迅速给出解答，由于各题有具体的“题情”，加之小学生年龄小，好胜心强，大家便会兴致勃勃，跃跃欲试，这样就为本堂复习课的教学奠定了基础。
有人担心，这是不是以解题取代复习？非也！实际上“小题”中第①题覆盖了提要中的1～3；第②题再次覆盖了提要中的1、2；第③～⑤题覆盖了提要中的4～6；第⑥题覆盖了提要7。这不是寓复习于“小题”训练之中吗？
另一方面，数学考试最终都将落实在解题上。正如有位数学家所言：“学数学的最好办法是‘做数学’。”数学家华罗庚也说过：“学数学不解题，就像入宝山而空返。”《大纲》对运算能力的要求是应能“正确、熟练、合理、灵活”地解题。这就充分说明了学生解题训练的必要性。复习课是一种高强度的思维活动，而“小题”的训练则好像剧烈运动前的关节活动，是为课内后30分钟做好铺垫的准备活动，也是化难为易、化整为零的一种课堂教学策略。
二、“小题”的特点——短、平、快。
短——题型较小，容量小，解题耗费时间少。
平——梯度、难度平平，简单易解。
快——解题速度快，信息反馈快。
三、关于“小题”训练的若干问题。
1、出示“小题”的时刻。
为了充分利用课堂40分钟，发挥其最佳效益，“小题”宜在上课前写在预先准备好的小黑板上，上课铃响过，引入课题。出示“小题”后，要求学生迅速摸清“题情”，进入“角色”。
2、“小题”训练的要求。
出示“小题”后，要求学生正确、迅速地进行解答。必须指出：“小题”训练一定要限时限量，一般要求10分钟解5～7道小题。每节复习课前10分钟让学生解答一组“小题”，逐渐培养学生对知识点的检索、组合、提取和运用能力，以达到敏捷的要求。
3、“小题”训练后的讲评。
学生在解答“小题”时，教师要及时巡回检查，发现问题；在学生完成“小题”后，教师应抓住学生知识的薄弱点、教学缺漏处，有针对性、有目的地进行讲评，把课堂教学推向高潮。讲评时应侧重如下“三讲”：
(1)讲清知识的联系与区别。例如：
①比与除法、分数之间的关系。
（附图{图}）
②正、反比例的意义。
（附图{图}）
(2)讲清做习题中出现的错误。教师不仅要讲清本次“小题”训练中出现的各种错误，还要讲清学生以往学习这方面知识时所出现的问题。例如，上述的第②题中求比值与化简比容易混淆，将概念“张冠李戴”，出现诸如“1(1/3)表示化简比”等意义理解不确切的问题。因此，应给学生讲清求比值的结果是一个数，可以是分数、小数、整数。而化简化的结果仍然是一个比。
(3)讲清解题思路和方法。学生在解“小题”时，对同一道题，有的学生只会机械套用课本上的解题方法；有的学生解法合理，运算简便；有的学生解法别具一格。这些差异反映出学生理解知识的深度和运用知识灵活性的不同，在讲评时，要从不同角度评价各种解法的优劣。例如：讲评上述中的第⑥题时学生们得出了如下四种解法：
解法1：1÷(4/7÷4)－4＝3（小时）
解法3：4÷4/7－4＝3（小时）
解法4：设再加工x小时可以完成任务。
4/71－4/7
──＝────
4x
x＝3
解法1由“4小时加工了这批零件的4/7”求得工作效率，再按“工作总量÷工作效率＝工作时间”这一数量关系求出完成这批零件所需的时间，最后求出加工剩下零件还要的时间。解法2是用归一法解的，把这批零件看作7份，加工4份用了4小时，先求加工1份需几小时，再求加工(7－4)份需几小时。解法3最简捷，先求加工这批零件一共需几小时，再求加工剩下零件还需几小时。解法4用比例解，因为
工作总量
─────＝工作效率（一定），所以工作总量与工作时间成正比例。
工作时间
通过这样的分析讲评，使学生弄清了一题多解中各种解法的内在联系，开阔了学生的解题思路。
(4)讲清“小题”的变化。在讲“小题”时，不能只看结果，轻过程，教师除指导学生讲清习题的知识联系外，还可以将习题进行变化，以加深学生对知识的理解和促进思维的发展。例如，计算36×11－36时，在学生掌握了正确的计算方法后，原题可变形求解为：36×11－36＝36×(11－1)＝36×10＝360。同理，36×11－72＝36×(11－2)＝36×9＝324。
(5)讲清“小题”的复习内容。讲评“小题”时，教师应向学生讲清该题的复习内容。
例如，计算811400÷390＝2080……200。
（附图{图}）
这道题知识点较多，复习了除数是两、三位数的除法中的“几次试商、商中间有0、商末尾有0、余数末尾有0、简便计算及余数的处理”等问题。
4、“小题”的编拟。
1、1《数学分析》教材和新课标下的高中数学教材在内容上出现较大重复现象
新课标下的高中教材与原来高中教材相比增加了极限、连续、导数与微分及其应用、积分及第一换元积分法等数学分析中的内容，但无论是知识的内涵还是知识的深度等方面的要求都不够，学生学完这部分知识后仍然似懂非懂，知其然不知其所以然，大部分只是停留在模仿和套用公式的阶段。而数学分析课程在大学第一学期开设，而且第一学期主要讲授的内容是一元函数的极限、连续、导数等相关内容，所以很多学生都认为这些内容在高中都学过，对教学内容没有新鲜感，从而失去了求知欲，学习动力不足，很难入门，这必然会对数学分析学习产生不好的影响。
1、2课堂教学方式、教学手段单一
数学分析课程是一门基础性课程，也是核心课程，该课程在大学一、二年级开设，该课程是学生所有大学课程中课时最多、学分最高的课程。但通过讲授该课程发现，近年来学生抄作业的现象比较严重，期末考试不及格率也逐年上升。经分析出现这种现象的原因，一方面，由于近几年高考招生规模的不断扩大，学生入学水平较低，特别是二本院校，学生的基础都不是太好，大部分学生投身数学的兴趣不高，很难学懂、学会数学分析;另一方面，课堂教学方式方法不当。本身数学分析这门课程的学时就长，而现在大部分数学分析老师的课堂教学模式都是以“灌输式”为主，教学手段也多停留在一支粉笔、一面黑板上，教师细致地讲解每一个定理、法则、公式的推导过程，从而导致老师教得累、学生听得也累，教学效果却往往不是很好，甚至有时会助长某些学生的依赖思想。在课堂教学的安排上，也有一些教师重点讲解一元函数的相关内容，对于多元函数内容的讲解只是轻描淡写，简单介绍一元与多元的相同与不同之处，从而学生对多元函数分析性质很难深入理解，更何况多元函数的图像大部分很难用手画出来，因此不能像一元函数那样利用直观图来理解分析性质。
1、3枯燥无味，理论性过强，学生对课程产生厌烦心理
现在很多学生对学习数学的目的性不明确，并且一些学生的逻辑思维能力和推理能力较差，学习积极性不高。另外，数学分析的教学注重理论的完整性，知识的系统和推理的严谨性，具有高度的抽象性和逻辑性，而且教学过于强调对概念、定理、法则、公式的灌输，不善于概括知识中所蕴涵的数学思想方法，从而导致学生学习起来往往有乏味之感。因此，各方面原因使得学生对数学分析这门课程产生了厌烦心理。
2改进措施
2、1查漏补缺，补充高中教材删去的知识
在数学分析教学过程中涉及到高中教材删除的知识点时，教师要进行恰当的补充，实施查漏补缺，帮助学生顺利完成初等数学到高等数学知识的过渡。如在讲解第一章“函数”的内容时，应补讲反三角函数的相关定义、性质、图像及计算方法。在讲第二章的函数极限求法时，可以补讲三角函数的和差化积与积化和差公式，为了便于学生记住公式，可以顺便介绍一下积化和差公式的顺口溜:“积化和差相加减，二分之一排在前，正余积化正弦加，余正积化正弦差，余弦积化余弦加，正弦积化负余差”。在讲解参数方程求导法则时补讲参数方程。在讲定积分的应用时把极坐标作为新课处理，讲清楚极坐标的概念，以及极坐标与直角坐标系的转换。
2、2引伸提高，对重复内容的区别与提升
高中数学新课标的实施同时也将部分高等数学内容下放到中学教材中，从而导致在教学内容上有所重复。内容重复主要表现为:一种是二者的知识点基本相同，但中学教材对这些知识点的处理视角、讨论的方法等都比较浅;另一种是知识点和讲解深度基本相同。对不同的重复形式，教师在讲解内容时要采取不同的处理方式。对于第一种情况，在数学分析教学中，应结合高中所学的知识点对这部分内容加以提升和补充。对同一内容，高中和大学的表述、名称或符号等不一致的应重点突出，所以这部分重复内容可作为新课处理。对于第二种情况，教学时可以简单地复习一下知识点，也可以忽略不讲，这样可以节省课时，使得在讲授后面的教学难点时有充足的学时。如在高中新课标教材中把导数的应用作为重点讲解，所以在数学分析教学中，这部分知识可以略讲。
2、3现代化教学手段与传统教学手段有机结合，提高教学质量
多媒体教学是不同于传统“灌输式”的教学方式，它比较直观生动，能够增加学生的学习兴趣，可以图文并茂。如在讲定积分的定义时，可以借助多媒体动态演示对积分区间划分越来越细的过程，体现出积分的思想。又如在讲解多元函数的分析性质时，可以利用Matlab、Mathematica等数学软件画出多元函数的图像，学生通过图像可以更直观地看出并进一步理解函数的各种分析性质。然而，完全利用多媒体教学还存在很多的弊端，也不是我们所希望的。数学分析中的一些定理的证明、题目的演算推导过程等内容在黑板上演示效果会更好，从而，将现代化教学手段和传统教学手段有机地结合在一起使用教学，会进一步提高教学效果。同时，在课堂教学过程中，要适当加重多元函数的教学份量，利用数学软件画出多元函数的图像，结合图形理解所研究函数的相关性质。
2、4渗透数学思想，提高学生的数学素养
在数学分析的课堂教学中，要注重数学思想和数学方法的讲解，讲清概念、定理等数学知识的产生和发展过程，要激发学生学习兴趣、可以适当的讲解数学史知识，通过这种教学方式让学生了解相关知识的由来，了解名人的科研探索精神，以及他们背后动人的故事。例如，讲集合时，可以把集合论的创使人德国著名数学家康托尔(Cantor)的一些小故事讲给学生;还有数学发展史上的三次数学危机、微积分的创立、费马大定理、哥德巴赫猜想等，这些数学史中都包含很多有趣的故事、在讲微分中值定理是，可以简单介绍一下罗尔、拉格朗日、柯西、费马等数学家的简介以及他们对数学的贡献。通过实践发现，把相关数学史的内容穿插到数学分析课堂教学中，可以提高学生的学习兴趣，同时也提高了学生的数学素养。
3小结
1、精讲的概念及要求
精讲就是精心设计每课的教学目标，教学过程，教学手段，教学方法，使学生在教师的精心引导下，对所学内容产生浓厚的兴趣，从而达到学生乐学好学的教学效果。“精讲”不是越少讲越好，而是要讲在关键处，力用在刀刃上。教学重难点要讲深讲透，使学生明白“我这节课应该学会什么，我学会了什么”。心理学研究表明，一节课学生思维的最佳时间是上课后的前5分钟到20分钟。所以，精讲的时间，应该控制在20分钟以内，保证在最佳时段内完成主要任务、解决关键问题。这样才能让学生集中精神听讲，还可以留下更多的时间让学生自主学习。怎样精讲呢·
首先，导入新课要精彩。良好的开端是成功的一半。导入新课是一堂课的重要环节，精心设计开头，不仅能把学生的注意力一下子集中起来，还能形成积极有效的互动，促进课堂教学的动态生成。例如，在学习“三角形面积公式推导”时，我先组织学生开展小组讨论学习，让学生用手中两个完全一样的三角形，通过拼、摆来探索三角形面积公式。他们有的剪、有的拼，互相讨论，几分钟后，都给出了自己小组推导三角形面积公式的方法。接着大家开始交流，台上小组代表讲，台下学生不时地加以补充，积极提问开展。同学们在交流中学到了知识。在交流中知道了可以用很多方法解决同一个问题，在合作中知道了许多问题在有限的时间内不可能靠一个人的力量完成，必须依靠大家的力量，深切地感受到了集体合作的重要性。
其次，突出重点要精准。教师在上课之前一定要做到心中有数，准确把握住教学知识的重难点，突出重点，围绕重点展开教学活动，要讲关键、讲难点、讲思路、讲方法。例如，在“列方程解应用题”一节中，重难点是列方程，而不是解方程（解方程的方法已在前面讲过）。因此应抓住重难点，讲解如何列方程，方程列出后，解方程的过程可由学生自己完成。又如，“分组后直接提取公团式”和“分组后直接运用公式”分解因式的教学，重点应是指导学生如何分组。这里需要注意的是，学生首先要很好地掌握分解因式中的“提公因式法”和“公式法”。教师只要教会学生如何将多项式分组后能提公因式或直接用公式的特征分组即可，至于分组后分解因式的过程可由学生独立完成。
最后，教师语言要精练。做到这一点并非简单少讲就行，而是要讲得简洁明了。教师的讲授越少，语言就越应精炼。只有准确、简要、有力度、有美感、合乎逻辑的高质量语言，才适合精讲的需要。教师的语言要起到穿针引线、画龙点睛的作用。一位特级教师曾说：“该讲的十句不多，不该讲的一句都是废话。”
2、多练的概念及要求
多练就是在教师精心设计的多种多样的练习中，帮助学生通过各种练习学懂、学会、学透各种知识。学习的过程是学生不断领悟的过程。首先必须通过多次的基本练习，初步掌握；再通过拓宽，加深达到举一反三；然后通过变型练习，达到触类旁通。数学的练习是使学生掌握系统的数学基础知识，训练技能、技巧的重要手段，也是培养学生能力、发展学生智力的重要途径。
数学练习必须精心设计与安排，因为学生在做经过精心安排的练习时，不仅在积极地掌握数学知识，而且能获得进行创造性思维的能力。要充分发挥数学练习的功能，设计练习时应由浅入深、难易适当、逐步提高、突出重点与关键、注意题型的搭配。练习形式要多变，练习内容要多样，练习评价要多角度。例如，在“小数的性质”教学之后，我设计了这样一组题：请你举出所有“0”都能去掉的小数；请你举出所有“0”都不能去掉的小数；请你举出有的“0”能去掉，有的“0”不能去掉的小数；请你举出与0、05大小相等的小数。看到题目，同学们的思维一下子被激活了。经过独立思考，每个同学都举了许多符合条件的小数。这样的训练，不仅发散了学生的思维，还很好地培养了学生思考问题的独创性。
3、精讲与多练的关系
【关键词】数学教学；培养兴趣；合作学习
创新是民族发展的动力，国家发展的源泉、数学教育也应当寻求创新模式，给予数学教育源源不断的活力、通过巧妙的提问，激发学生的学习兴趣；有效地设置互动情境，让学生身临其境，切实地感受到数学就在身边；反客为主，让学生来讲课，通过转变身份的方式，打开学生的数学视窗，以不同的角度研究和探索数学、通过创新，学生的能力得到提高，教师的作用得以实现，而教学的目的也才能有效地达成、下面笔者结合多年教学经验就高中数学教学的过程中如何培养学生合作探究能力谈一些粗浅的认识、
一、引导提问，调动学生互动性和积极性
对于许多学生来说，数学所涉及的逻辑思维、抽象问题等光是通过教师的讲解很难让学生理解，许多学生只能通过死记硬背、因此，要让学生对数学产生兴趣，首先要调动学生的积极性、教师可以设立交流小组，在讲课的时候引导学生主动提问，并合作探究答案、那么如何引导学生主动提问并交流合作呢？首先，教师在小组的设立上讲求效益型，即团队中须有对数学拔尖的、对数学感兴趣的，以及在数学学习上存在一定问题的同学，以不同层次的学生组合，“优带劣”的方法，使得数学好的学生在讨论中获得更大的满足感，也带动数学理解能力差的同学产生对数学的兴趣、其次，教师在引导时需要注意引导内容不要过于艰深，但也要避免过于肤浅、过于艰深的引导容易让学生思维走入“死胡同”，也很难产生团队默契，简单的引导又让学生之间难以形成共鸣、再次，团队之间在交流过程中难免会出现分歧，甚至会有摩擦、在学生交流过程中，教师可以作为旁观者，适当地给予指导意见，但不要过分地干涉，对于每个团队认真讨论合作交流后出现的问题，教师都应当针对性地回答、
函数概念是数学中最主要的概念之一，贯穿于整个中学数学，重要性不言而喻，而对于学生来说，初中和高中的教材难度跨度大，学生在学习和理解上都存在着困难、笔者在讲解函数的定义时，先将班上的同学划分成十个小组，每个小组4个人，分别都是按照上述方法划分的、首先，让每个人回忆一下初中数学对于函数的传统定义，并在小组里进行交流对于函数的定义的理解；其次，让每个小组将函数所涉及的一次、二次函数的对应关系以不同形式展现出来、当学生在互动中交换了彼此对于函数定义的理解，弥补了自身对函数定义理解的缺陷，并及时更正后，笔者引导学生提出任何有关函数的问题、通过小组讨论，学生们发现按照某种对应法则f，A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，但是学生对于这是什么并不是很清楚，在小组讨论后的提问中，笔者进行解答，这样的对应就叫作函数、之后再采取类似的方法向学生讲解映射、定义域、函数值等相关问题、通过巧妙的引导提问方式，不仅充分调动了学生的互动性，也加强了同学之间的互动和交流，促进了学生之间形成集体感和团队精神，体会到了数学的乐趣，从而对学习数学学习产生积极性、
二、有效地设置互动情境，开拓学生合作探究思维
荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾经说过，“真正的数学家——常常凭借数学的直觉思维作出各种猜想，然后加以证实”、猜想与设置情境有异曲同工之妙、有效地设置互动情境，可以增强学生之间的合作探究能力，通过合作发现其中隐藏的奥妙，开拓学生的思维、情境的设置可以让学生采取角色扮演的方式，也可以教师与学生角色互换的方式等等、学生对于新鲜事物的好奇心足以战胜对数学的反感情绪，因此，教师可以通过设置互动情境，加强学生的协作的同时，训练学生的数学思维、
比如，立体几何的点、线、面之间的关系一直是数学教师在讲解时的重点和难点，立体几何过于抽象，而不容易让学生理解、而事实上，生活中到处都是点、线、面的关系的展示，只是应当如何引导学生去发现，并且分析出其中所蕴含的数学道理、笔者在讲解互不重合的三个平面可以把空间分成几部分时，首先让学生通过小组的形式讨论生活中互不重合的平面有哪些，并研究它们之间的共同点和差异点，形成一份讲课教案、其次，学生通过讨论，将生活中随处可见的不重合的平面找出来，通过交流、讨论发现互不重合的三个平面最多可以把空间分成哪个部分、再次，笔者让每个小组选出一名代表，与笔者进行角色互换，由代表将小组研究、分析和理解的立体几何的知识以讲课的形式表达出来、在讲课完毕之后，笔者进行补充、通过角色互换的形式，让学生主动将研究分析的结论公布，既锻炼了学生的表达能力，也增强了学生之间的合作探究能力，使得学生的思维充分地“活”了起来，达到了让学生成为课堂主人的目的、
三、反客为主，让学生来讲课
从始至终，教师始终是讲解者，学生是吸收者，教师和学生之间有着无形的隔阂、新课程标准要求，要把课堂的主阵地还给学生，让学生成为学习的主人，教师只是教学的引导者、在小组合作交流后，教师可以试着让学生走上讲台，让学生把自己的研究、分析和理解方式进行讲解，在讲述完毕之后，教师再指出讲课的优点和所遗漏的问题，提炼学生合作、探究、交流的成果，充分让学生的思维“活”起来，从而达到让学生真正成为课堂主人的目的、
教学模式的创新，教学方式的改革，都是为了让学生学得更加全面、教师在教学过程中应当勇于变革，不断创新，以学生为主，致力于提高学生的学习能力和合作探究的能力，推进学生创新思维的形成，践行新课程标准，用新课程理念武装自己，培养符合新世纪发展的人才、
【参考文献】
[1] 徐前锦、数学课堂与创新能力的培养[J]、课程教育研究·上，2008（1）、
[2] 郭奎、创新数学课堂教学的几点感悟[J]、中国人民教师，2012（21）、
关键词： 初中数学课堂教学 学生讲题 生本教育 学生主体 教师主导
在初中数学课堂教学中，习题教学往往围绕着典型例题或经典习题开展。在传统教学中，一般都是教师一讲到底，解题思路由教师讲解，解题过程由教师呈示，学生只是充当听众，没有自己的独到见解。这样在一定程度上限制了学生思维能力的发展，学生的学习能力与兴趣也得不到提高。结合目前较流行的生本教育模式，我在教学中尝试让学生自己讲题，取得了良好的成效。下面我就学生讲题的生本教学模式作探讨。
一、学生讲题活动的雏形
在多年的教学实践中，为改变数学课堂沉闷的气氛，我一直尝试让学生动口说，动手写。在课堂讨论中，让学生同桌间或小组间互相说题，包括如何理解题意，思考方法，解题思路，一题多解等，说出解题过程和方法，让学生思维进行交流与碰撞，从而达到解题策略最优化的目的。在实际教学中，优等生尚能自如地完成说题，中等生也可以听懂，后进生就只能洗耳恭听了。这种小面积的讲题，激发了少部分学生的学习兴趣，但教师难以调控，最后只能演变成一种形式，收效甚微。于是我思考，能否创新这种互讲的模式，既能提高全体学生的学习兴趣，又能充分发挥学生的自主创新能力呢？为此，我做了如下尝试，并取得了较好的效果。
二、学生讲题活动的操作模式
《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”在初中数学学习中，学生在思维不受干扰的情况下，能依照既定的方向或方法思考。在习题课上，只有通过讲解题目，才能提高学生的创新思维能力和解题能力。学生讲题活动是教师给学生提供机会，让出讲台、充分让学生展示，阐述分析思路和解题方法，达到逐步优化解题策略的目的，实现思维的碰撞与共享，充分发挥学生的主观能动性，激发学生学习兴趣的一种以学生为本的教学模式。
（一）合理组建学习小组是开展讲题的前提。以自愿组合、资质均衡为原则组建学习小组，一般为4至6人一组，组内含各层次学生。通过建立一些合理的规章制度保证学习小组活动的正常健康开展。学习小组的目标是：共同讨论问题，帮助困难学生，鼓励提出问题者、讲题者、学习困难者、完成作业者、改错者、创新者。组内互助是学习的主要形式，组员有问题时在组内讨论。组间是既竞争又合作的关系，全班学生积极参与小组活动，自主学习。
（二）学生组内自主学习后交流。教师出示学习提纲或典型例题、试题后，学生组内先进行自主学习，解答相应的练习题。本环节在学生充分掌握自学方法后，可在于课前完成。组内交流主要是提出对例题或练习题的疑问，或就自学提纲进行组内交流。小组内能解决的问题组内解决，组内不能解决的问题写到黑板上。通过问题展示，师生对本节内容存在的问题一目了然，为接下来的讲题指明了方向。
（三）班级讨论后学生上台讲题。针对各小组提出的疑问，全班展开讨论。教师有针对性地进行启发、点拨。讨论后，各小组选代表到讲台上讲评，其他组的同学对讲评的同学进行评价或补充。刚开始要求学生讲题时，学生不敢讲，只会念答案，过程讲得也并不清楚，其他学生听不明白。教师要有意识地训练，让学生用学生最能接受的方法讲题。这样他们能获得很大的成就感，讲题的兴趣就会越来越高。下面同学也听得非常认真，比老师讲的时候听得还认真。每个学生都有好奇心，正是基于此，学生才能保持注意力高度集中。学生到讲台上讲题，不再畏惧于老师的权威，有疑问敢于提出或直接纠正，这样学生对问题的认识更充分。学生讲解，既能培养学生的理解能力、表达能力，而且能锻炼他们的胆量。下面的同学也会更认真地听，并思考“小老师”讲的是否正确，还有没有比他更好的方法。
下面是一次试卷讲评课上学生讲课的教学片断，很好地说明了互相补充、共同探究的魅力。
问题：已知正方形的面积是（16-8x+x）cm，则正方形的周长是？摇？摇？摇。
分析：本题是学了分解因式后一道分解因式的实际运用题，面积是一个完全平方式，只需将面积分解成边长的平方形式，再用边长乘4即可。从做题情况来看，错误较多。
讲题学生1（中等生）：先分析这是个完全平方式，原面积可分解为（4-x）cm，很容易就可以得出边长就是（4-x）cm，由此可得，周长就是（16-4x）cm。该学生兴奋地在同学的掌声中走下讲台。
2分钟后学生2向我示意说：“老师我觉得这题应该有别的可能。”我请这位同学到讲台上讲。
学生2：因为题中并没有告诉我们x的取值范围，如果x比4大，那么边长应该是（x-4）cm，因为（16-8x+x）cm同样可以解为（4-x）cm，我们知道（4-x）=（x-4），这里要考虑边长要为正数。所以，本题要进行分类讨论，分为x>4和x
（全班掌声雷动。）
师点评：这位同学讲得真好，考虑问题很全面，本题充分地体现了分类讨论的数学思想。希望所有同学今后在解答数学问题时考虑要全面，针对题目中的各种可能作出解答。
（四）讲题活动中必须做好教师点评或同学互评。教师应对讲评学生的解题思路和方法进行评价，正面激励学生，同时进行必要的补充，或指出错误之处。对讲题学生进行启发性的评价，对讲题学生在讲题过程中的闪光点给予表扬，评价学生时重视“赏识激励”，使学生增强自信。这样做既能激发学生的创造性，更能促使学生改进讲题方法。
三、学生讲题中教师充分发挥主导作用
讲题活动中学生是主体，教师服务于学生的讲题活动，应发挥主导作用，真正做学生学习的服务者和促进者。
（一）在讲题前，教师应做到心中有数，发挥主导作用。其一，对选题进行优化，尽量选择能巩固新学知识的核心概念、性质的典型例题和习题，问题应具有“生长性”，让讲题的学生易于变式、深入，解题后要能让学生悟出解题的思想方法，以期举一反三。其二，教师应对全班学生的状况有个大致的把握，知道什么学生适合讲什么样的题，他们可能会讲到什么程度。从实践来看，精彩的讲题既能让学生学习数学的兴趣更浓，又能培养学生的学习能力。其三，教师应主动关心讲题学生的前期“备题”，利用课间或自习课了解学生的备题情况，在适当的时候给予适当的点拨，这样学生讲题的效果会更好。其四，讲完题后，教师需引导学生理清题中蕴含的数学思想、归纳同类题型的解题思路，对易错点作出明确的提醒等。
（二）教师要善于倾听与追问。学生在讲题时，教师不仅要是引导，还要善于倾听，这既是对讲题学生的尊重，更是为教师有效评价奠定基础。教师的有效追问能让学生在偏离主题时迷途知返，让学生讲题更接近本质，实现解题方法的最优化。
在当下提倡以学生为本的背景下，“让学生自己讲题”具有一定的实践价值。学生讲题能充分发挥学生的主体作用，以学生自主学习为核心，让学生积极参与到以解决问题为目标的活动中，真正以学生为本，让每个学生有充分的话语权，在教师提供的舞台上展示自己，点燃学生思维的火花，最大限度地激发学生的学习积极性。在师生的有效互动中，学生加深了对问题的理解，形成了正确的思路和解题方法，提高了自主学习的能力。作为主导的教师也能从中发现学生存在的问题，不断审视自己的教学，使教学更有针对性，真正打造高效习题课。
参考文献：
[1]数学课程标准，2011、
[2]丁尔陞主编、现代数学课程论、江苏教育出版社，1997、3、
一、黄金分割教师与学生的活动
传统课堂以教师为主体，教师主导课堂活动，现代课堂倡导以学生为主体，以学为中心的课堂当以学生活动为核心。为了合理安排师生活动，处理好师生主次关系，我利用黄金分割法来安排教师和学生的活动时间，既体现学生的主体地位又实现教师的主导价值。我在课堂活动内容和时间的设计安排中，将学生活动时间与教师活动时间的比值设定为0、618，一堂数学课40分钟，学生活动时间则大约安排25分钟，教师活动大约15分钟。
黄金分割师生活动体现了“学的课堂”，限制了教师讲授时间，使得学生学习的时间获得保障，让学生的自主学习得到落实。例如，在教学苏教版五年级下册《通分》一课中，为了凸显学生主体性，让学生在充分的自主探究中认识和理解通分的意义与方法，我组织学生简短复习了最小公倍数和分数的基本性质这两个内容导入新课，将大部分时间留给学生，由学生通过小组合作的形式开展自主探究，学生围绕情境探讨如何比较两个异分母分数的大小，他们在小组内展开热烈讨论，通过迁移以前积累的学习经验，利用画图的方法比较，通过与二分之一比较的方法找到答案，他们还在分数的基本性质的启示下找到了通分的方法比较大小，在学生充分探讨和展示交流后，我花了不到10分钟组织学生对学习过程进行回顾反思，提炼总结学习方法，引导学生感受异分母分数大小比较方法的多样性，并在练习中应用通分方法解决实际问题。
二、黄金分割独学与合作的时间
合作学习可以发挥集体的智慧互助互学，可以促进和带动学困生的进步，学习效果更好，还可以培养学生的合作精神与创新精神。
合作学习较之独立学习的价值更大，在学生学习方式的时间分配上，我按照黄金比例来分割时间，合作学习的时间与总学习的时间比为0、618：1。独立学习一般安排独自预学任务，时间大约为10分钟，合作学习安排的时间较多，大约为15分钟。例如，在教学《通分》过程中，我首先安排学生根据导学单中的提纲进行独立学习，学生在导学单的引导下独立思考，初步感知通分的意义，自主探索通分的方法。在独立预学后，开展小组内交流，学生在小组合作中统一认识，明确通分的意义和方法，在相互研讨中共同解决相关难点问题，不断完善知识体系，提升解决问题的能力。合作活动的时间占了学生自主学习时间的一大半，较好地发挥了集体的优势，让学生在合作中互帮互助，共同提高。
黄金分割学生独学与合作时间，确保了合作学习时间的充裕，让学生增加了交流的时间，更好地互动交流，在充分合作中提高学习效果。
三、黄金分割讲授和练习的容量
数学课堂离不开练习，有效教学倡导讲练结合、精讲多练。教师讲授和学生练习的容量安排体现了课堂结构的科学性，我设计讲解内容与学生练习内容时，根据黄金比例来控制，学生练习的容量与教师讲解内容的比为0、618：0、382。黄金分割讲授与练的容量确保学生练得多一些，让学生在练习中巩固，在练习中拓展应用。限量讲授促使教师在教学时把有限的时间用在刀刃上，在关键点予以点拨引导，在核心点予以总结提炼。
例如，在教学《通分》一课中，为了让学生在充分的练习中巩固应用，我设计了大量的练习内容，通过“寻找公分母”“看图填空”“判断通分是否正确”“通分比赛”等形式的练习，给学生以适当容量的练习，在学生练习时，我不加指点干扰，任由自主发挥。在学生完成练习后，我组织评讲交流时仍然以学生为主体，让学生自主展示汇报，我不替代学生讲授，只有在必要时简短总结，稍加提炼。整节课的讲授量很少，只有在通分概念的准确表达与解读时，在比较异分母分数大小方法的优化体提炼时，我才稍加讲解，其余都以学生自我探究交流与自主练习为主。
教学是师生共同活动的过程，缺不了教师的讲授，更少不了学生的练习，我们要合理处理好讲练关系，在黄金分割法的指导下控制好讲、练的度，尽量少讲多练，讲的内容少一些、精一些，练习容量多一些、活一些。
关键词：小学数学；数学素养；有效学习
中图分类号：G623、5 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2016）12-0252-02
《小学数学新课改教学论》中说到，在小学数学课堂教学中，教师要引进新型的教学理念，创新课堂教学模式，通过设置一些具体的兴趣性教学活动，增强学生们的课堂参与度和积极性，使全部学生都参与进来，不断培养学生们的自主意识，探究精神，合作本领和创新能力，不断提升学生们的数学专业素养，真正使学生们成为课堂的主人。在传统的小学数学课堂教学中，教师普遍采用讲授式的教学模式，即在上课之前按照数学课标进行备课，在上课过程中按照目录给学生们进行讲授，教师很少和同学们进行互动。这种教学模式无疑扼杀了学生们的学习兴趣，也很难提高学生们的数学素养和数学成绩。所以在小学数学新课改的背景下，提升学生们的数学专业素养很有必要。本文通过分析三种新型的提升学生们数学专业素养的教学模式，希望为新课改下的小学数学有效教学提供借鉴。
1、设置合理教学情境，促进学生参与
在小学阶段，由于学生们的认知水平还没有完全发展，所以教师在数学课堂中教学中，给学生们设置具体的、合理的教学情境，使学生们在可观的、可触摸的教学情境中增加与教师的互动性，感受数学的真正魅力，不断提升学生们的数学素养。
例如，在讲小学数学一年级上册（西师版）《看一看，数一数》的时候，由于本课的教学目标是使学生们认识生活中的基本数字，在具体的教学情境中看一看，数一数，说一说，使学生们认真体验数学与我们生活实际的重大联系，从而初步建立学生们的数学逻辑思维，指导学生们感知学习数学的正确方法。在上课之前，教师让学生们提前带来一些数字模型和十根小木棒，在教学过程中指导学生们进行现场的模拟。之后教师在黑板上画出几组表示数量多少的模型，先指导学生们进行基本的数字认识，训练学生们的思维转换能力。教师给学生们进行讲解之后，指导学生们拿着自己所准备的小木棒在同伴之间进行模拟基本的数字，分别摆出"1、2、3、4、5、6、7、8、9、、、"等的木棒集合，并和同学们进行讨论。讨论完成之后，教师指导学生们拿出自己的基本数字模型，进行基本的识别和分析。整个教学完成之后，教师使学生们用自己的语言描述出自己文具盒里面的基本学习用具，分别用具体的数字表达。这种设置具体情境的教学模式使学生们在可观的、具体的教学情境中学习数学，促进了学生们的理解，提升了学习能力。
2、引进"微课"教学，促进学生们理解
"微课"主要是采用视频讲课的方式，教师在教学过程中，录制几分钟的短视频，对本节课的重点和难点进行一一讲解，便于学生更好地抓住本课的重点和难点，理解课程内容。它改变了传统的教案设计的模式，直接突出课程的重点和难点，删去不必要的讲课内容，便于学生学习。
例如，在讲小学数学五年级下册（西师版）《分数的意义》的时候，由于本课的教学目标是使学生们熟悉掌握分数的基本结构和表示模式，理解分数的基本意义和单位"1"的基本含义，同时了解分数中分子和分母的表示特点和各部分的具体名称，并且理解分数在生活中的基本应用，培养学生们的分析能力和概括能力。在进行本课教学之前，教师先给学生们播放一个小视频，在小视频里面对本文的重点和难点进行一一讲解，即"分数的基本含义和特点，分子和分母的基本表示，单位1的基本表示含义等。"小视频给学生们进行了基本的讲解之后，学生们对本课的知识点有了一个宏观的了解。之后教师再带领学生们学习本课的重点知识，对视频的内容进行一定的深化，并给学生们举出一些基本的例子，促进学生们的深刻理解。"微课"的教学模式使学生们对本课的重点和难点有了一定的理解，一方面减轻了教师的工作负担，另一方面，提升了学生们的学习水平。
3、使用趣味性的教学语言，激发学生兴趣
在小学阶段，由于学生们比较好动，在课堂上的注意力往往很难集中，也容易开小差，由此导致学生们缺乏学习兴趣，学习成绩下降。所以教师在课堂教学中，使用趣味性的教学语言去吸引学生们的注意力，从而顺利完成课堂教学，提升学生们的数学专业素养。
在小学数学课堂教学中，应加强教学语言的艺术应用，让教学生动、有趣。 在课堂教学中，教师不仅要随时观察全班学生学习情绪，更要特别注意观察学困生的学习情绪，他们往往上课思想开小差、不集中，对教师一般性按部就班式，用枯燥无味的语言讲课模式听不进耳，对数学知识也不感兴趣。这时，教师应恰当运用艺术性、趣味性的教学语言来活跃课堂气氛，引导每位学生进入积极思维状态，从而达到教学目的。教师的语言风格，直接决定了学生对教师的喜爱程度以及对这门课程的学习热度。幽默风趣的老师往往受到广大学生的欢迎，能激起学生的学习兴趣，学困生也不例外。在一定程度上可以说，学困生除了对老师讲授的学习内容不感兴趣，对老师说的其他东西都很在意 。所以在不知不觉中，将知识点，尽可能的编入应用题或者日常的生活经历中。比如买菜逛街所涉及到的运算都可以用来给学生讲解。这种教学模式既实现了知识讲授，又能够吸引学困生的兴趣。
在小学数学新课改的背景下，教师要不断提升自身的专业素质，通过组织一系列新型的多元化的数学教学模式，去吸引学生们的学习兴趣，活跃课堂氛围，激发学生们的创新思维，探究能力，合作意识和自主学习思维，提升学生们的积极性和课堂参与度，使学生们在快乐、轻松的课堂氛围中感受数学学习的魅力，从而促进学生全面协调发展。总之，培养小学生的数学素养，对教师和学生们来说，是一个双赢的过程！
参考文献：
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