如何进行数学思想方法的教学范例(12篇)
时间：2024-02-04
时间：2024-02-04
关键词：数学思想方法小学数学教学渗透
小学数学教学内容主要反映在隐性数学知识（数学思想方法）和显性数学知识（性质、公式、法则、概念等）两方面，而数学思想方法尤为重要。数学思想方法是学生形成优良思维品质、数学意识的关键，也是实现由知识转化能力的重要桥梁。正如日本著名数学教育家米山国藏所说：“数学思想、研究方法、数学精神是学生在离开学校之后唯一能够深刻铭记、终身受益的东西，而数学知识则不然，它会很快从学生的头脑中消失。”由此可见，小学数学教学中数学思想方法的渗透极为重要，下面就此进行探讨。
1.小学数学教学中渗透数学思想方法的着眼点
1.1加强过程性
由于数学思想方法是与解决数学问题、分析数学问题的过程相伴而行，因此在教学过程中切忌将数学思想方法和盘托出、生搬硬套，而应该在潜移默化中将其向学生展现出来。例如在给学生传授“无限”的概念时，可以让学生在黑板上书写自然数，从0开始，0、1、2、3、4、5、6、7、8……学生可以发现自然数有“无限多个”；再让学生验证除法，99除以无限多个2，最后的结果则是永远除不完，其值会无限逼近于0，在这种潜移默化中让学生感悟“无限逼近、无限多”的数学思想，最终理解极限思想。与数学知识相比，数学思想方法的概括性和抽象性更强，只有在教学过程中对其进行长期、反复渗透，才可以获得较佳的效果。
1.2注重系统性
数学思想方法通常都是采用由浅入深的方式进行渗透，教师要对数学思想方法的应用、理解、挖掘的程度作长远规划。通常来看，随着数学知识的逐步，数学思想方法会表现出明显的递进性，因此应注重系统性。例如，在“两位数加两位数”知识点的学习过程中，要将“化归”思想的孕育期体现出来。计算“36+17”，通常有“36+20-3”、“36+4+13”、“36+10+7”、“（30+10）+（6+7）”等方法，通过这些变换，能够让学生更深刻地体会到“两位数加两位数”的数学思想。
1.3适时显性化
数学思想方法会经历一个“未成形—成形—成熟”、“模糊—清晰”的过程，因此，在小学数学课堂教学过程中，教师应该要学会随机应变、审时度势，要明白数学思想方法何时可以显山露水，何时应该深藏不露，以数学思想方法为暗线，以解决问题、探究知识为明线。在阶段性复习、课堂小结或知识应用时，可适当地概括、归纳数学思想方法。
2.如何在小学数学教学中渗透数学思想方法
2.1挖掘小学数学教材中所隐含的数学思想方法
在小学数学教学中隐性知识系统为数学思想方法，而显性知识系统则为教材及数学知识，二者都较重要，不可偏颇其一。首先，应该对小学数学教学中渗透数学思想方法的重要性予以充分重视，及时对原有的小学数学教学观念予以更新。其次，应该按学期将小学数学阶段的数学知识（概率统计、数据整理、数与运算、几何与图形、代数与方程）中所涉及的数学思想方法分类教师要明确如何对学生进行数学思想方法的渗透，渗透程度要达到什么程度，并要清楚地认识到只有在小学数学教学中不断强化、反复渗透，才可以让学生真正掌握数学思想方法。最后，教师应该要根据渗透的程度、渗透的方法、渗透的内容在备课时给予相应的细化，融入备课的每一环节。
2.2在方法思考中加强深究
解决数学问题时需要运用一定的数学方法，而数学思想直接制约了数学方法的应用。数学方法若无数学思想指导，则会成为无本之木、无源之水。因此，在方法思考中应该加强深究。例如笔者在教学“看谁算得巧”一课时，举了一个例子，让学生计算“1100÷25”时多采用几种解题方法。①直接按照除法原则用列竖式方法进行计算；②1100÷25=1100×4÷100；③1100÷25=1000÷25+100÷25；④1100÷25=11×（100÷25）；⑤1100÷25=（1100×4）÷（25×4）；⑥1100÷25=1100÷5÷5。方法①是通法，其余方法则是巧法，方法②采用了估算中的“补偿”策略，方法⑤属于典型的等值变换；而方法③、④、⑥则
用了数的分拆思想，虽然这六种方法都存在一定的差异，但都是利用所学的运算性质、运算定律，抓住数据特点进行相应的转化，通过鲜明的对比分析，无疑能够让学生更深刻地把握数学方法和数学知识的本质思想。基于新课程标准，“算法多样化”的教学理念正在被教育界倡导，教师可通过类似的多样化算法对问题背后的数学思想进行深究，最终提高学生的数学素养。
参考文献：
[1]王林.小学渗透数学思想方法的实践与思考[j].课程·教材·教法，2010（09）：110-113.
[2]朱秀英.例谈小学数学中的思想方法[j].中国教育技术装备，2009（07）：145-148.
[3]姜嫦君，刘静霞.小学数学教学中数学思想方法的渗透[j].延边教育学院学报，2010（02）：156-158.
[4]李杨.小学数学教学中渗透数学思想的探索[j].学周刊，2011（25）：178-180.
关键词：初中数学几何直观教学运用
对于刚进入初中学习的学生而言，初中数学比较抽象。这使得学生比较难懂，更难以掌握数学知识，长此以往，会对学生的自信心造成打击，不利于学生的成长。但是“几何直观”在数学教学中的运用可以将大部分数学问题转化为具体的问题，让学生可以更好地掌握题意，获得主要信息，最终有利于学生解决数学问题。
一、初中数学教学中的“几何直观”的含义
2011年《义务教育课程标准解读》颁布后，“几何直观”开始在初中数学备受关注。而真正的“几何直观”也不是简单的图形取代数字，真正的几何直观是数学教学的一种数学思想和数学思维，重点在于帮助学生通过更直观的数学符号对数学进行掌握和应用。“几何直观”中关于“几何”的定义不只是包括了几何中的图形，其实还在更广泛的基础上包括与数学相关的一切数学符号，例如图表、箭头、运算符号等。甚至在一些特殊的数学问题中还包含了文字、字符所体现出来的数学关系，而这一切都是几何直观在数学教学中的体现和应用。在初中数学教学中，几何直观的运用可以更准确体现出教学中的数学关系，使教师传递给学生的信息更简练。对学生而言，更有助于学生掌握信息，然后进行探索和解决问题。另外，在初中数学教学中运用几何直观需要注意不仅要体现出数学问题的情形，还要在此基础上对数学问题进行概括，对信息进行精简，尽量让数学问题具象化。将抽象的数学问题转化为学生可以理解并把握的直观问题，凸显出数量关系，帮助学生对初中数学问题进行分析和解决。
二、初中数学教学中“几何直观”的运用
既然初中数学教学中“几何直观”更多的是作为一种培养学生思维和数学思想的方法在运用，那么初中数学教学中“几何直观”在不同的年级、不同的学生类型上应该也有不同的运用方法。
（一）初中数学教学“几何直观”分析题意
在初中数学中，对于刚接触到初中数学的学生而言，数学问题的复杂性往往较大。所以，在初中数学教学过程中，“几何直观”可以帮助数学教师将比较复杂的数学问题转化为比较容易让学生理解和把握的数学问题，让学生在问题中可以更快地了解和把握数学关系。不仅能让学生尽快找到数学解题突破口，而且能帮助学生增强解决数学问题的信心。
例如，小明买了一些水果，上午吃了一半，下午又吃了剩下部分的一半，就只剩下5个水果，那请问小明共买了多少个水果？这道题方法不难，但是需要学生有比较强的逻辑能力，能理解题意，如果教师在教学过程中将这个问题转化为图形，用集合的思维帮助学生理解题意，那么对于学生而言，就能更直观看到这里面所隐藏的数学关系，也能更快地解决数学问题。所以数学语言和符号对于学生理解题意至关重要，只要学生能够通过图形看出隐藏的数学关系，那么剩下的问题就能得到正确的解决。
（二）初中数学教学“几何直观”解决植树问题
在初中数学“植树问题”的教学中，教师可以将数学问题运用数形结合进行解决，这样能让学生在直观的图形中进行题意分析，并找出和解决问题。例如教师可以先让学生在纸上将问题图形化，先掌握植树的可能性，然后在此基础上对数学问题进行解决。例如用“/”代表一棵树，让学生在纸上画出想在道路上种20棵树的具体方法，究竟可以有几种做法？学生先自己独立进行，然后教师组织学生进行小组讨论，最终得出结论。学生在得到这个问题后，基本上会从三种方法中进行选择，要不就是只从一端进行种植，要么就是两端都开始种植，要不从中间开始种植，两边不种。这样学生在讨论过程中一方面可以完善自己的方法，另一方面可以在图形上得到不同的种植方法所体现的数量关系。如果一端开始，那么就是种植棵树等于间隔数；如果两端种植，那么所种棵树就比间隔数多1；如果从中间开始种植，那么所种的树苗就等于间隔数减去1。这样通过“几何直观”思想的数形结合方法就可以让学生从抽象的问题中快速掌握数量关系，然后分析并解决问题。
（三）初中数学教学“几何直观”解决图形问题
在初中数学应用题中经常会出现图形的问题，如果能在此类应用题型中应用“几何直观”，就能更好地解决此类数学图形问题。例如有一个长方形花圃，长5米，宽3米。现在主人想在此基础上进行扩建，长增加2米，宽增加1米，问花圃的面积增加了多少？粗略一看，这个问题似乎就是增加2平方米，学生很容易就掉进“陷阱”。因为通过画图可以得知，这些面积并不是增加的长方形，而是一个“L”形，所以不能简单采用长与宽的乘积进行解决，而是需要将“L”形的图形分解成多个长方形，然后分别求得面积，相加得出结论。
（四）初中数学教学“几何直观”解决推导问题
在初中数学中要想解决关于“推导”的问题，那么示意图是必不可少的“几何直观”运用。例如小明拥有若干枚邮票，然后在此基础上得到7枚邮票，但是他又分给弟弟4张邮票，最后小明还剩下78枚邮票，请问小明原来有多少邮票？对于这样的问题，利用倒推法可以快速、准确将问题解决。原来邮票数获得7枚赠送出4枚剩下78枚。或者原有邮票数获得7枚减去弟弟的4枚还剩下78枚。这种倒推的方法，可以将数量关系直观体现出来，更有利于学生解决问题。
结语
“几何直观”作为初中数学教学中比较新颖的教学手段，旨在帮助学生更好地理解题意，化解数学问题。运用数学符号更好地解决数学问题，让学生在此过程中学会思考，培养良好的数学思维，有利于未来的发展。
参考文献：
[1]李登竹.浅谈初中数学教学中如何培养学生几何直观能力[J].考试与评价，2015，02：18.
[2]徐相柱.初中数学教学中学生几何直观能力的培养探析[J].数学教学通讯，2015，22：34-35.
关键词：初中数学数学思想渗透
中图分类号：G63文献标识码：A文章编号：1003-9082（2016）02-0242-01
数学思想方法是初中数学教学的重要组成部分，是比数学知识传授更为重要的教学内容，因为知识的作用是有限的，而方法的作用往往能够涉及整个数学领域。正是因为其有着广泛的普遍适用性，有着超越知识层面，并且能够让人们在数学探究的征途上从未知到已知的可能性，因此在新课程改革中被赋予了相当的重要性。
事实上，2011年新颁布的《义务教育数学课程标准》，再一次将基本思想写入其中。当然令人瞩目的是初中数学还进一步提出了“基本数学活动经验”――其与数学思想方法也有着密切的关系。这样就将传统上的“双基”扩展为了“四基”，使得初中数学教学的内涵与外延都得到了进一步的丰富。
随着新一轮课程改革的开展与推进，人们越来越重视数学思想方法的渗透。那么，在初中数学教学中有哪些思想方法需要我们去重视呢？
其一是数学方法。顾名思义，这一类的思想方法与数学内容有着密切的关系，也可以认为是离开了数学知识就谈不上这些方法的运用。比如解方程中常常用到的配方法，其是通过将一元二次方程配成完全平方式，以得到一元二次方程的根的方法，其经典运用是一元二次方程求根公式的得出;再如换元法、消元法，前者是指把方程中的某个因式看成一个整体，然后用另一个变量去代替它，从而使问题得到解决。后者是指通过加减、代入等方法，使得方程中的未知数变少的方法。在复杂方程中运用这些方法可以化难为易。再如几何中的辅助线方法也是解决许多几何难题的灵丹妙药。
其二是普遍适用性的科学方法。例如我们数学中常用的归纳法，就有完全归纳法和不完全归纳法两种，数学上的很多规律其实最初都来自于不完全归纳法，因此在探究类的知识发生过程中，都可以用不完全归纳法来进行一些规律的猜想。再如类比、反证等方法，也是初中数学常用的方法，运用这些方法的最大好处是，可以让学生领略到在初中数学中进行逻辑推理的力量与美感。根据笔者的不完全调查，学生在进行推理后如果能够成功地解决一个数学难题，其心情是十分喜悦的，而最大的感受就是通过一环套一环的推理，能够顺利地由已知抵达未知。
其三就是我们常说的数学思想。我国当代数学教育专家郑毓信、张奠宙等人特别注重数学思想在初中教学中的渗透，多次著文要加强数学思想方法的教学。众所周知，数学思想与数学哲学有着密不可分的关系，很多数学家本身也是哲学家。因此，学好数学思想可以有效地培养哲学意识，从而让学生变得更为聪明。
例如典型的建模思想，其是用数学的符号和语言，将遇到的问题表达成数学表达式，于是就建成了一个数学模型，再通过对模型的分析与计算得到相应的结果，并用结果来解释实际问题，并接受实际的检验。一旦学生熟悉了这种数学思想并能熟练运用，将是初中数学教学的一个重大成功。
再如化归思想，其被认为是一种最基本的思维策略，也是一种非常基础、非常有效的数学思维方式。它是指在分析、解决数学问题时，通过思维的加工及相应的处理方法，将问题变换、转化为相对简单的问题，即哲学中以简驭繁的道理。
在初中数学教学中，思想方法的渗透一般可以分为两种形式：一是显性的教学方法，即向学生明确说明方法的名称，以让学生熟悉这些方法，并在以后的相关知识学习中能够熟练运用。这一思路一般运用在简单的数学思想方法中;另一个是隐性的教学方法，即在教学中只使用这种方法，但不向学生明确说明方法的名称，在后面知识的学习中有可能遇到，但总不以方法本身为目的，重点始终集中在某一个问题的解决上。
对于今天初中学生的身心发展特点而言，更多有价值的数学思想方法以渗透的方式进行教学是比较恰当的选择。作出这一判断的理由在于，十四、十五岁的初中生的智力发展落后于身体发育，还处在由形象思维向抽象思维过渡的阶段，因此相对比较抽象的数学思想方法一般并不容易从字面上给予理解，只能在运用中通过直觉思维建立一种类似于默会知识的能力。
那具体渗透又该如何进行呢？关键是要加强渗透意识，即在备课时就要考虑要教授的某一知识中有哪些思想方法可以对学生进行渗透，在这种思路下，数学知识就会成为数学思想方法的一个载体，通过对数学知识的学习，让学生在收获知识的同时感受方法的运用和思想的熏陶。
比如，在初一数学教学之时，我们可以向学生阐述数学的研究对象是数与形，在此基础上就可以渗透“数形结合”的思想。在之后的数学教学中，一旦遇到有“数”又有“形”的知识点，就要让学生在“形”中寻找“数”，在“数”中构建“形”。例如三角形知识中有三角之和为180°的关系，在直角三角形中有特殊角的三角函数值的关系，在全等三角形中有等量的关系，在全等三角形证明的过程中有很多逻辑的关系等。
再如对学生归纳能力的培养，我们知道所谓归纳，是一种从特殊到一般的思想方法。以确定抛物线开口方向为例，如何知道二次项前的系数是正还是负，那就需要通过配方等方法来解决。确定了这一点之后，我们可用描点法在坐标上作出抛物线。一个方程及对应的图往往并不能得出相关的规律，只有不同形式是同一个结果之后，我们才可以通过不完全归纳得到抛物线的有关规律。如我们可以让学生画出下面四个方程的图象：y=x2;y=3x2-2;y=-x2;y=-2x2+1。然后去归纳得出相应的规律，如二次项前的系数为正时开口向上，为负时开口向下等。在这一过程中，教师根本不需要提出“归纳”的字眼，就是引领学生去分析、去归纳、去发现。当学生熟悉了这种方法之后，在别的知识学习过程中，他们有可能说不出归纳这一词，但一定会运用这种方法。
【关键词】数学文化；高中数学；渗透
作为一位教育工作者，在数学教学中如果将数学文化很好的渗透进去，让学生不仅能将数学中基本的理论知识很好的掌握，同时还能降这个学科的相关历史了如指掌，还能将文化在自己学习中很好的渗透进来，只有这样的学习才是全方位且主动的。所以每位教师都应该要思考这个问题，要将数学教材中所蕴含的数学文化充分的挖掘出来，切入点要把握好，应用多种教学渠道将数学文化渗透进去。笔者将分别从：数学文化渗透的重要性、促进高中数学教学中数学文化渗透的对策，两个部分进行阐述。
一、数学文化渗透的重要性
（一）提升学生的思维能力
数学文化涉及的层面相对广泛，教师在数学课堂教学中引入数学文化，有利于学生思维能力的有效提升，同时也是激活学生思维的必要条件。教师通过数学文化的渗透使学生具有强烈的批判思维，通过自身的角度看待问题，为数学的解题学习打开新方法、建立新思维，如此也更有助于学生创新思维的培养。
（二）构建学生的知识体系
其次，数学文化的渗透能促进学生知识体系的有效完善，众多周知，学生对数学知识点的认识和理解是一个从未知到已知再到未知的循环，当学生了解一定数学文化时，就能够在学习数学课程时，通过已掌握知识帮助理解新的未知问题，而解决之后，又在此基础上提出新的问题。每个问题的解决都需要学生调动多个所学知识点进行思考，从而构建完整的知识体系，使学生牢固地掌握已学知识点。
二.促进高中数学教学中数学文化渗透的对策
（一）通过数学联想方式
为促进高中数学文化的渗透，教师可以采取联想方法，通过联想来激发学生的学习兴趣，让学生主动获取知识，同时乐于钻研，不断挑战自我，从原来的“要我学”转化成“我要学”，该类学习就是具有积极性以及主动性的学习，对高中数学文化的渗透非常有利，举个例子：在求最小值时，教师可以对学生进行正确引导，先让学生自行思考，当学生利用代数来解答时，会发现这种方法非常繁琐，又无法解决问题，此时，教师可以将原式稍做变形，让学生联想到两点之间的距离公式，从而联想到求y的最小值就是求动点A（x，0）到两定点B（1，1），C（3，2）距离之和的最小值。学生通过这种联想方法，能对自身创新思维有效培养，在解题时也能更灵活，能够很快地将问题解决，大大提高了学生的解题效率。
（二）采取“留白”方式
进行课堂教学的时候，教师应该为学生提供足够自主活动以及独立思考时间或者是空间，可以采取“留白”方式，使学生在课堂学习活动中拥有自由展示自己以及表现自我的广阔蓝天。例如，教师在讲授《函数与方程》这一小结内容的时候，可以先为学生布置难度适宜的题目，站在学生角度上思考问题，如“已知方程f（x）=2x3-3x+1，求其零点个数有多少。”，对于那些刚踏入高中的学生来说，这些函数知识具有一定认知难度，所以教师更是需要为其提供足够思考时间，千万不可以用自己的思考代替学生进行思考，同时也不可以认为自己觉得简单的题目对学生也非常简单，应该使学生深入思考问题，为其留下表达时间，这样就可以使学生不知不觉地融入高中数学课堂里面，促进数学文化的有效融合。
（三）开展数学实践教学
为促进数学文化更好地渗透，光是理论上的说教是完全不够的，据此教师应将学生手脑同时使用的意识完全激发出来，这样有助于提升学生所具有的观察力以及自主探究知识的能力。高中数学教师能够采取让学生自己动手实践的手段将学生获取数学知识的积极性以及欲望有效激发出来，在教学方式中渗透数学文化，学习效果显著。比如合作学习是一个崭新的学习方式，它将学生从旁观者变为参与者，帮助学生更透彻地理解数学理论知识，学生要想在课堂上有良好表现就必须真正理解数学内容，从而很好地培养了学生的自学能力，很大程度上提高了课堂教学质量。例如，教师在讲解高中数学《空间几何体》这一小结内容的时候，如果仅仅在黑板上板书这些几何体的详细特征及特点，学生从这些文字或者是图形里面很难产生立体感觉。所以，相关数学教师可以在课前准备好几种不同几何体，其中包括正方体、长方体以及圆柱体等，然后让学生在课堂上对这些这些几何体进行仔细观察，同时还可以将学生分成不同小组，每个小组挑选一种几何体，亲手感知几何体各个面，对几何体的特征进行讨论，之后再在每个小组里面选出一名小组代表总结自己小组的讨论成果，分享给班上的其他同学。此外，课间休息过程中，所有学生都可以自由观察和用手触摸这些几何体，这样学生就会对空间几何体产生的一个非常深刻的感知，深入了解各种几何体，提高数学课堂教学效率。
（四）联系学生日常生活
数学学习的主要目的就是让学生利用所学数学知识解决生活中遇到的问题，使学生可以更好享受生活，教师在进行数学文化渗透时，应充分考虑到这一点。大部分情况下，高中数学教师进行课堂教学的时候一般都将重点放在相关习题的讲解上，一味追求提高学生解题能力，该教学观点是不正确的，教师应该引导学生在日常生活中有效应用数学知识。例如，教师在讲授苏教版高中数学《正弦定理、余弦定理的应用》这一小结内容的时候，应该引导学生相信可以通过所学到的知识解决生活里面的实际问题，对学生提出问题“河两岸分别有A、B两点，需要对两点相隔距离进行测量，测量人员处于A同侧，并且在该侧确定一点C，经过测量可知AC相隔55米，同时∠BAC以及∠ACB分别是51°和75°，请问A、B两点相隔多少米。”，学生依据正弦定理可以获得等式，依据已知条件算出A、B两点相隔距离大约为65.7米。同时，在实践过程中得到验证，使学生可以有效结合课本知识以及生活实践。只有教师明确了知识点所具有的数学价值，正确引导并且启发学生，才可以让学生获得非常深刻的领悟。在高中数学教师的不断激烈以及引导下，学生可以掌握正确有效的学习方法，从而改善课堂学习质量，获得比较理想的学习效果。
结束语
综上，笔者对数学文化渗透的必要性进行了分析，为促进高中数学课堂教学效率，教师必须将数学文化融入到课堂教学中去，教师通过各项教学方法来促进数学文化的渗透，，使学生能在数学知识的学习中吸取到数学文化的知识，使自己能有一个正确的思想观念。使数学文化在高中数学教学中能得到最有效的发挥，促进我国教育教学领域的全面发展。
参考文献：
[1]郭宗雨.高中数学教学中渗透数学文化的意义和途径[J].教学与管理，2011，28：60-62.
[2]李小蛟.新课程高中数学教学“数学文化”渗透之思考[J].教育科学论坛，2010，03：17-19.
关键词:初一数学数学思想数形结合分类讨论
初一年级是小学向中学过渡的重要阶段,是学生从形象思维到抽象思维重要过渡期,也是教师渗透数学思想方法的契机。然而如何向学生灌输数学思想一直是摆在教学工作者面前的重要课题。作为一名一线教师,我觉得有以下两方面值得注意。
首先,数学思想方法的渗透要深入钻研教材,努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素,对于每一章节,都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透,渗透哪些数学思想方法,怎么渗透,渗透到什么程度,应有一个总体设计,提出不同阶段的具体教学要求。
然后,数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此,必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机――概念形成的过程,结论推导的过程,方法思考的过程,思路探索的过程,规律揭示的过程等。
我结合初一数学一些经典实例,由浅入深地探讨了教师应该如何培养学生的数学思想。
一、数轴――渗透数形结合思想
数轴是一个十分重要的数学工具,它使数和最简单的图形――直线上的点建立对应关系,揭示了数与形之间的联系,是数形结合研究数学问题的基础。在介绍数轴概念的时候,教师可以渗透数形结合的思想。因为刚接触数学思想方法,学生接受有一定的难度,为使学生初步确立起数形结合的思想方法,教师可以进行一些“数”与“形”的翻译训练。比如:①快速在数轴上找点;②数A小于数B在数轴上体现为:点A在点B的左边;③在数轴上找与原点距离为2的数。
在学生对数轴熟练以后,可以利用数轴解决一些问题进一步渗透数形结合思想。
例1:若a>0,b|b|,试用“
分析:对于用字母表示的有理数进行大小比较,借助数轴就直观多了。
解:根据题意:将a,b,-a,-b在数轴上表示,如图1。
图1
因为数轴上右边的数总比左边的数大,所以-a
用数轴解决此类问题体现了数形结合思想的应用,可以收到准确直观的效果。
二、绝对值――渗透分类讨论的思想
有时将问题看成一个整体时无从下手,若分而治之,各个击破,则能柳暗花明。分类讨论正是这一种思想,也是一种重要的数学思想方法,为了解决问题,将问题所涉及的对象不遗漏地分成若干类问题,然后逐一解决,从而达到最终解决整个问题的目的。而绝对值的定义正好为介绍分类讨论的思想提供了很好的契机。
教师可以先引导学生进行有条件的绝对值的化简。
例2:化简:①当a>0时,|2a|=?摇?摇?摇?摇;②当a>1时,|1-a|=?摇?摇?摇?摇。
分析:由绝对值的定义,根据条件可直接进行化简。
解:①当a>0时,2a>0。由绝对值的定义,|2a|=2a。
②当a>1时,1-a
在熟悉绝对值定义后,可根据绝对值的定义进行分类讨论。
例3:化简|x-1|。
分析:由于不知道绝对值内代数式的符号,因此要进行分类讨论。在例2的铺垫下,这一点学生比较容易想到。而决定符号的关键就是看x与1的大小比较。
解:当x>1时,x-1>0,|x-1|=x-1,
当x=1时,x-1=0,|x-1|=0,
当x
在此基础上可进行有一定难度的题目,提高学生综合分析的能力。
例4:非零有理数a,b,c,d,e满足|abcde|=-abcde。
试求:S=++++的最大值。
分析:|abcde|=-abcde,说明这五个字母中有奇数个负数;有1,-1两种情况,可据此分类讨论。
解:由题设条件知:abcde
①四正一负;②两正三负;③五负。
又因为对任意非零有理数a,有:
=1(a>0)-1(a
故S最大值在四正一负时取得,即S=4-1=3。
此外,本章中相反数,有理数乘方、运算符号法则,有理数的意义都用到了分类的思想。
通过以上两个实例,学生在学习过程中将对“数形结合”和“分类讨论”知识点理解更加深刻,尤为重要的是学生在学习过程中可形成数学思想,并更易将这些思想应用于以后的学习过程中。七年级是数学学习的一个关键时期,对于刚升入初中的学生来说,学习内容、学习方法,以及研究方法都是个转折点,尤其是数学思想认识会产生质的飞跃。七年级有理数这章数学教材蕴含了很多的数学思想,这些数学思想在学生今后的数学学习中会不断地被运用、拓展。因此,在数学教学中教师更需要深入挖掘教材中的数学思想,使数学思想贯穿于课堂教学,帮助学生活学活用,这样才能达到事半功倍的效果。
参考文献:
[1]王工一.数学教育新视野[M].浙江:浙江大学出版社,2006.
[2]丁邦平.国际科学教育导论[M].山西:山西教育出版社,2000.
[3]叶立军.新课程教学研究[M].浙江:杭州出版社,2005.
[关键词]数学教学；创造性思维；培养
创造性思维作为创造力的核心，是对现代高素质人才的重要考察指标之一。而数学教学中的创造性思维以其发现新事物，提示新规律，创造新方法，解决新问题为主的思维过程训练，对于开发学生良好创造性思维发展具有极为重要的作用，那么，在初中数学教学中如何培养学生创造性思维，促进学生良好思维能力的发展呢？
一、注重观察，形成感性认知能力
良好观察习惯的养成，是学生观察能力提升的有效途径，这一点在数学学科教学中尤显重要。因此，教师要通过多种途径，引导学生学会观察，在观察中感知感悟，进而促进学生感性认知能力发展。那么，在实际教学中如何引导学生进行有效观察呢？
首先，在观察之前，要给学生提出明确具体的观察目的、任务和要求，让学生明确通过观察最终要获取哪些方面的数学信息，为后续分析总结积累第一手素材。其次，及时教给学生观察的方法及顺序，让学生明确根据不同的观察对象要选择相应的观察角度及顺序，并依观察顺序在进行观察的同时，做好相关数据的记录。再次，教师积极引导学生对观察获取的数据进行分析总结，适当时候可利用直观教具对较为抽象的观察对象进行简化，或利用现代教育媒体帮助学生对已有数据进行归纳、探索、寻求隐藏期间的数学规律。最后，教师要善于激发学生浓厚的观察兴趣，让他们对观察对象时刻保持高度的观察兴趣，因为，观察是获取信息的最直接有效的途径之一。
二、强化引导，提升空间想象能力
“想象比知识更重要，因为知识是有限的，而想象可以包罗整个宇宙。”（爱因斯坦）由此，在教学中，教师积极引导学生进行数学想象，是创造数学发现的机会，锻炼学生数学思维发展的助推器。那么，教师在数学教学中如何做才能有效把握和引导学生打开想象的翅膀，让他们在数学的领空自由翱翔，使其数学思维放射出火花呢？笔者以为，要把握住以下几个要素：第一，因为想象是一种知识飞跃性的联结，因此要有扎实的基础知识和丰富的经验作为支持。第二，要有从表象进入本质，即由感性思维向理性思维的过渡。第三，学会坚持，因为良好思维能力的获得有时很枯燥，缺少情趣支持。因此，培养学生的想象力，首先要使学生学好有关的基础知识。新知识的产生除去推理外，常常包含更多想象因素，因此在教学中应根据教材潜在的因素，创设想象情境，提供想象素材，诱发学生展开创造性想象。例如，在复习三角形、平行四边形、梯形面积时，要求学生想象如何把梯形的上底变得与下底同样长，这时变成什么图形？与梯形面积有什么关系？如果把梯形上底缩短为0，这时变成什么图形？与梯形面积有什么关系？问题一提出学生想象的闸门打开了：三角形可以看做上底为0的梯形，平行四边形可以看做是上底和下底相等的梯形。这样拓宽了学生思维的空间，培养了学生想象思维能力的发展，有效促进了空间想象能力的提升。
三、鼓励质疑，促进求异思维发展
求异思维是创造性思维发展的基础，具有流畅性、变通性和创造性的特征。同时，数学问题过程的求证、结果的获得不一定是唯一的，可以通过多种途径、多种角度进行分析、论证并获取区间结果。因此，数学课堂教学要鼓励学生大胆尝试，勇于求异，切实激发学生的创新欲望。
如教学习题：“修路队修一条3600米的公路，前4天修了全长的1/6，照这样的速度，修完余下的工程还要多少天？”就要引导学生从不同角度去思考，用不同方法去解答。用上具体量，解法1：3600÷（3600×1/6÷4）－4；解法2：（3600－3600×1/6）÷（3600×1/6÷4）；解法3：4×[（3600－3600×1/6）]÷（3600×1/6÷4）。思维较好的学生将本题与工程问题联系起来，抛开3600米这个具体量，将全程看做单位“1”，解法4：1÷（1/6÷4）－4；解法5：（1－1/6）÷（1/6÷4）；解法6：4×（1÷1/6－1）；此时学生思维处于高度活跃状态，又有学生想出解法7：4÷1/6－4；解法8：4×（1÷1/6）－4；解法9：4×（6－1）。学生在求异思维中不断获得解决问题的简捷方法，有利于各层次的同学参与，有利于创造性思维能力的发展。
四、激发灵感，推动创新思维提升
灵感是指由于长期实践，不断积累经验和知识而突然产生的富有创造性的一种思维方式，是创造性思维发展的高级阶段表现形式，是认知内容上质的飞跃。在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感，对于学生表现出的奇特想法，奇异的解法，教师要及时进行肯定，激发学生学习的灵感，让他们的灵感在数学的天地里迸发出奇异的火花。另外，对于一些较为抽象的思考类题目，教师应结合数形知识、变换角度、类比等方法引导学生的数学直觉和灵感，促使学生通过较为直接的途径寻求问题的答案。
[摘要]创造性思维能力是现代高素质人才所必须具备的重要品质之一，数学教学以其先天优势在培养学生良好创造性思维能力发展方面具有重要作用。因此，在初中数学教学中，要集中从观察入手，搭建平台，激发想象，思维引导等方面强化训练，促进学生良好创造性思维能力的发展。
[关键词]数学教学；创造性思维；培养
创造性思维作为创造力的核心，是对现代高素质人才的重要考察指标之一。而数学教学中的创造性思维以其发现新事物，提示新规律，创造新方法，解决新问题为主的思维过程训练，对于开发学生良好创造性思维发展具有极为重要的作用，那么，在初中数学教学中如何培养学生创造性思维，促进学生良好思维能力的发展呢？
一、注重观察，形成感性认知能力
良好观察习惯的养成，是学生观察能力提升的有效途径，这一点在数学学科教学中尤显重要。因此，教师要通过多种途径，引导学生学会观察，在观察中感知感悟，进而促进学生感性认知能力发展。那么，在实际教学中如何引导学生进行有效观察呢？
首先，在观察之前，要给学生提出明确具体的观察目的、任务和要求，让学生明确通过观察最终要获取哪些方面的数学信息，为后续分析总结积累第一手素材。其次，及时教给学生观察的方法及顺序，让学生明确根据不同的观察对象要选择相应的观察角度及顺序，并依观察顺序在进行观察的同时，做好相关数据的记录。再次，教师积极引导学生对观察获取的数据进行分析总结，适当时候可利用直观教具对较为抽象的观察对象进行简化，或利用现代教育媒体帮助学生对已有数据进行归纳、探索、寻求隐藏期间的数学规律。最后，教师要善于激发学生浓厚的观察兴趣，让他们对观察对象时刻保持高度的观察兴趣，因为，观察是获取信息的最直接有效的途径之一。
二、强化引导，提升空间想象能力
“想象比知识更重要，因为知识是有限的，而想象可以包罗整个宇宙。”（爱因斯坦）由此，在教学中，教师积极引导学生进行数学想象，是创造数学发现的机会，锻炼学生数学思维发展的助推器。那么，教师在数学教学中如何做才能有效把握和引导学生打开想象的翅膀，让他们在数学的领空自由翱翔，使其数学思维放射出火花呢？笔者以为，要把握住以下几个要素：第一，因为想象是一种知识飞跃性的联结，因此要有扎实的基础知识和丰富的经验作为支持。第二，要有从表象进入本质，即由感性思维向理性思维的过渡。第三，学会坚持，因为良好思维能力的获得有时很枯燥，缺少情趣支持。因此，培养学生的想象力，首先要使学生学好有关的基础知识。新知识的产生除去推理外，常常包含更多想象因素，因此在教学中应根据教材潜在的因素，创设想象情境，提供想象素材，诱发学生展开创造性想象。例如，在复习三角形、平行四边形、梯形面积时，要求学生想象如何把梯形的上底变得与下底同样长，这时变成什么图形？与梯形面积有什么关系？如果把梯形上底缩短为0，这时变成什么图形？与梯形面积有什么关系？问题一提出学生想象的闸门打开了：三角形可以看做上底为0的梯形，平行四边形可以看做是上底和下底相等的梯形。这样拓宽了学生思维的空间，培养了学生想象思维能力的发展，有效促进了空间想象能力的提升。
三、鼓励质疑，促进求异思维发展
求异思维是创造性思维发展的基础，具有流畅性、变通性和创造性的特征。同时，数学问题过程的求证、结果的获得不一定是唯一的，可以通过多种途径、多种角度进行分析、论证并获取区间结果。因此，数学课堂教学要鼓励学生大胆尝试，勇于求异，切实激发学生的创新欲望。
如教学习题：“修路队修一条3600米的公路，前4天修了全长的1/6，照这样的速度，修完余下的工程还要多少天？”就要引导学生从不同角度去思考，用不同方法去解答。用上具体量，解法1：3600÷（3600×1/6÷4）－4；解法2：（3600－3600×1/6）÷（3600×1/6÷4）；解法3：4×[（3600－3600×1/6）]÷（3600×1/6÷4）。思维较好的学生将本题与工程问题联系起来，抛开3600米这个具体量，将全程看做单位“1”，解法4：1÷（1/6÷4）－4；解法5：（1－1/6）÷（1/6÷4）；解法6：4×（1÷1/6－1）；此时学生思维处于高度活跃状态，又有学生想出解法7：4÷1/6－4；解法8：4×（1÷1/6）－4；解法9：4×（6－1）。学生在求异思维中不断获得解决问题的简捷方法，有利于各层次的同学参与，有利于创造性思维能力的发展。
四、激发灵感，推动创新思维提升
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化的形式，实际上两者的本质是相同的，数学思想方法教育是新课标提出的重要教学要求，数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁；初中数学思想方法教育，是培养和提高学生素质的重要内容；中学数学知识结构涵盖了辩证思想的理念，反映出数学基本概念和各知识点所代表的实体同抽象的数学思想方法之间的相互关系。数学内部各单元之间相互渗透和维系的关系，升华为具有普遍意义的一般规律，便形成相对的数学思想方法；初中数学教学过程实质上是运用各种教学理论景象进行数学知识教学的过程，在这过程中数学思想教学具有决定的指导意义；初中常见的数学思想：化归思想、分类讨论思想、函数与方程。
1数形结合
数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如在初一第一学期我们学的数轴，以及后来的坐标，还有就是用函数的图像来直观地说明函数的性质；数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决；数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的。
2化归思想
化归思想方法是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将复杂问题通过变换转化为简单问题，将没学过的问题转化为已学过的问题，进而达到解题的一种方法，这也是我们在教学中常用的方法，化归的实质是以运动变化发展的观点，以及事物之间的相互联系、相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变化转换，使问题得以解决。在“因式分解”这一章中，我们接触到许多化归思想方法；如：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法等；按知识――方法――思想的顺序提炼数学思想方法，就能运用它们去解决成千上万分解多项式因式的问题；又如：结合初中代数的消元、降次、配方、换元方法，以及分类、变换、归纳、抽象和数形结合等，转化与化归在这得到充分的体现。
3分类讨论思想
分类讨论也就是归纳、猜想、论证思想，分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它是由特殊的结论得出一般性结论的推理方法，通过对个别、特殊情况的分析、观察、发现规律，归纳猜想出一般的结论和性质，因为只是考察了某类情况，所以需要进行严格的证明，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法；有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。分类讨论主要是以下几个方面：
①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如：（人教版、第一章、第五节、有理数的乘方）一般地，n个相同的因数a相乘，即a・a・…・a，记作an，读作a的n次方．
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂．相同的因数叫做底数，相同的因数的个数叫做指数．有理数乘方法则：
正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，
负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0．
（1）如果a＜0，那么a70；②如果a5＞0，那么a0；
（2）如果a＜0，那么a6
0；④如果a4＞0，且－a＞0，那么a50
③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a
还有，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性，进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重；最后进行归纳小结，综合得出结论。
4函数与方程
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题；方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题得到解决。函数描述了数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究，它体现了联系和变化的辩证唯物主义观点；一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：函数的最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数，在解题过程中，要善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。方程思想是实际问题数学问题代数问题方程问题，哪里有等式，哪里就有方程；不等式问题也与方程密切相关，列方程、解方程和研究方程的特性，都是方程思想的运用，现实生活中方程与我们也密不可分。
任何事物都有其发展的本质规律，在研究其中奥秘时，只要抓住了它的本质，就等于抓住根本，在学习和研究时都会起到事半功倍的效果。
数学思想方法，作为数学知识内容的精髓，就是对数学本质的认识，是数学学习的一种指导思想和普遍适用的方法，它时把数学知识的学习和培养能力有机联系起来，提高个体思维品质和数学能力，从而发展智力的关键所在，也是培养创新人材的基础，更是一个人数学素养的重要内涵之一。
其实，“数学思想方法”无论在数学，数学教育的范围内，还是在其它科学中，已被广泛使用，中学数学教学大纲中明确指出，数学的基础知识是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想方法。
那么什么是数学思想方法呢？
实际数学思想方法是数学思想和数学方法两部分组合而成的，方法是具体的，而思想则是对方法的提高和升华。
数学思想是对数学知识的本质的认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中反复运用，带着普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。
数学思想一般有以下几种：化归思想，分类思想，模型思想，极限思想，统计思想，最优化思想等。
数学方法是指从数学角度提出问题、解决问题的过程中所采用的方式、手段、途径等，其中包括变换数学形式。
所以在数学中，不但要重视数学方法的教学，更应重视数学思想的归纳和总结，因二者是递进的关系，因此在教学中应该是循序渐进，持之以恒。
数学思想和数学方法是紧密联系的，不能截然分开，数学方法在实际运用时往往具有过程性和层次性的特点，所以强调操作过程时称数学方法，而强调指导思想时称数学思想。
中学阶段，在数学教学中除上述计种数学思想方法以外，还有几种重要的常用的数学思想。一是用字母代替数的思想。实际是一中飞跃，是发展符号语言的前提和基础，从用字母表示数，到用字母表示未知数，表示待定系数，乃至换元、设辅助元，以及用f（x）表达式表示函数等字母的使用与字母的变换，是一整态的代数方法，因此，用字母代替数的思想方法是中学数学中最基本的思想方法之一。为什么有不少学生总认为3a>a，-a
二是集合的思想方法。因为现代数学是以集合论为基础，运用统一的语言，采用公理化的方法，为现代数学的结构化、形式化、统一化提供了较好的表达、组织方式，在代数中应突出数系的通性、通法，渗透建立代数结构的思想，几何中的轨迹法和交轨法作图，也可通过运用集合的思想方法。
三是函数映射。对应的思想方法这是一种考虑对应，考虑运动变化，相依关系，一一种状态确定地刻划另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法。函数概念在中学数学关于式、方程、不等式、排列组合、数列等主要内容中起到了横向联系和纽带作用，映射是函数的发展，函数是一种特殊的映射。
四是数形结合的思想。数形结合的思想方法采用了代数方法和几何方法中最精彩的方面：几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合的思想方法是中学数学中最重要的数学思想方法，解析几何就是数形结合的典范，数学史上的里程碑。
那么如何贯彻数学思想方法的教学呢？
探讨数学思想方法有关问题的最终目的是提高个体的思维品质和各种能力，提高个体的整体素质，实现这一目标的主要途径是课堂教学活动。
由于数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是以数学内容为载体的对数学内容的一种本质认识，因此是一种隐性知识内容，要通过反复体验才能体会领悟和运用，数学方法是处理、解决问题的方式、途径、手段，要使学生领悟、理解、掌握、运用数学思想方法，就需要通过精心的教学设计和课堂上的教学活动过程，沟通课本与学生的认识，在教师为主导、学生为主体的参与下去完成。
数学思想方法的构建有三个阶段：潜意识阶段，明朗和形成阶段，深化阶段，一般可以考虑通过从下列途径贯彻数学思想方法的教学。
第一，充分挖掘教材中的数学思想方法。
数学思想方法是隐性的本质的知识、内容，因此教师必须深入钻研教材，充分挖掘有关的思想方法，比如：有理乘法法则的讲述，在教材中应用了数形结合和归纳推理的方法。
第二，有目的有意识的渗透、介绍和突出有关数学思想方法。
在进行数学时，一般可以前面我们对数学内容分析的数学思想方法应考虑，应渗透、介绍或强调哪些数学思想，要求学生在什么层次上把握数学方法，是了解、理解，是掌握还是灵活运用，然后进行合理的教学设计，从教学目的的确定，问题的提出，情境的创设，到教学方法的选择，整个教学过程都要精心设计和安排，做到有意识、有目的地进行数学思想方法教学。例如：化归的数学思想方法是中学数学中常用的一种，是解决问题的一种策略，因此，可以把它作为一种指导思想渗透在教学过程中，比如在解方程的时候，化超越方程为一般方程，在立体几何的学习时，可以把空间的化到平上进行解决，几何问题转化成代数问题等。也可以结合具体对象和内容，渗透重要的意识和观点。
第三，有计划、有步骤地渗透、结合和突出有关思想方法。
这一点是要求教师在平常的教学活动中，在完全理解教材的基础上，分阶段、有目标、有计划的通过各种教育手段使学生在学习数学的过程中，逐渐建立用这种数学思想方法在数学学习中的运用，要使学生学会观察，甚至是实验、比较、分析、抽象等方法不断加强锻炼。
时代在发展，各项事业也在发展，其中也包括教育。现代的教育也不断的在进行着改革，对学生的要求也在不断的改变当中，比如要求学生能够发现问题，并有较强的解决问题的能力，有与他人合作的能力，那么在教师的教学过程中也应该有相应的改变，即着重培养学生的能力，而数学思想方法的掌握和运用恰恰能体现这种能力，因为它是学习数学的灵魂。教学中的这种改革也可以与高考改革相一致，也能达到为社会培养有用人才的目的。
关键词：数学思想；教学方法；渗透
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2013）15-0006
一、前言
当前，在许多教学活动中，教师只是传授给学生一系列的题型以及相应的解题术，再配以大量的习题，其目的在于使学生熟练掌握题型。换言之，学生所学会的只是“模式及模式的识别”。长此以往，学生终日埋头于复制性习题中，头脑不再有真正的“情景”产生，因此，思维也就不会真正发生，学生的解题能力就会下降，从而间接导致教学质量下降。
二、常见的数学思想和方法
数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本的数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想。它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。
常见的数学思想有：函数思想、数形结合、化归思想、分类思想、基本量思想、无关思想、调整思想、函数方程、方程思想、归纳推理、递推思想等；常见的数学方法有配方法、换元法、消元法、待定系数法、判别式法、映射法、数学归纳法、数形结合法、交集法、构造法、迭加法、对称法。
三、数学与思维科学的关系
数学教学的任务之一是培养学生的逻辑思维能力。数学是一门逻辑性很强的科学，它的内容中蕴藏着丰富的逻辑因素。数学知识大多表现为概念和定理形式，概念的定义和分类、定理的结构、定理的证明、命题证明都属于逻辑学研究范围。
概念、判断、推理是理性材料，其中概念是思维细胞，运用已有的概念、判断、推理，又可再造出新的概念、判断、推理。思维的主要功能是接受信息、选择信息、加工信息、转化信息、储存信息、输出信息等。
四、数学方法的教学
1.知识是形成能力的基础，知识不等于能力，知识多能力未必强，能力是成功运用知识的表现，能力的大小取决于知识的多少，掌握方法的程度以及个性品质。因而，要提高学生的数学能力，除了知识的传授之外，还要加强数学方法的教学。
2.进行数学方法的教学措施
（1）从思想上提高教师对数学方法教学的认识，并将使学生掌握数学方法和掌握数学知识都纳入教学目的。这样，在教学过程中教师就不会忽视数学方法的教学。
（2）教师备课时既要注意教学知识也要注意教学方法。教师应当留意从知识中发掘、提炼出数学方法并明确地告诉学生，阐述其作用，引起学生思想上的重视。例如，解方程5x+8=2x-1解得x=-3，不应当仅仅满足于求出解x=-3，还要告诉学生，方程求解的过程就是一连串等价的过程，直到变形为最简形式。
在教学过程中，每当遇到这类情形时，教师就应尽力提炼出解法的思想实质，不失时机地告诉学生，使其思想开阔，胸怀大局。
（3）运用对比的手法，显示方法的优越性。例如，解当m取什么值时，方程x2-2mx+m+1=0的一个根大于5，而另一个根小于5。绝大多数学生会想到运用一元二次方程的判别式。这样做，运算复杂容易导致失败。如果运用数形转换的思想方法，借助于二次函数f（x）=x2-2mx+m+1的图象，就会想到只须f（5）
（4）数形结合法。中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其运用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如运用函数图象来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如运用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
3.注意各种数学方法的综合运用
一个复杂数学问题，在解决过程中需要使用不同的教学方法，各种方法的配合使用，才有利于数学能力的提高。但是，对不同类型的数学方法应有不同的教学要求，并采取不同的教法，对宏观性的数学方法，如以字母代数的方法，应着重理解实质；对逻辑性的数学方法，应着重讲清其逻辑结构；对技巧性的数学方法，着重于方法实用的问题。
五、重视数学思想和方法的教学
关键词：新课标小学生空间想象能力培养途径和方法
1.引言
在新课标中关于小学几何教学内容中指出空间观念主要表现在：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。
数学中的空间想象能力是指对物体或图形的形状、大小、结构，以及位置关系进行观察、分析、加工、创造想象等能力。培养学生的空间想象能力是几何教学中的重点，也是教学中的难点。空间想象能力的特点是对于在人脑中构成的研究对象的空间表象，进行认识、加工、改造。所以它的本质是在头脑中进行“想象和创造”。
2.培养空间想象能力的要求
小学数学教学的重要任务之一，是使学生掌握和理解客观世界中关于数量关系和空间形式的最基础的知识，包含了培养学生初步的空间观念，空间观念是指对物体的大小、形状、距离、位置的知觉，在培养空间发展空间观念的同时，学生的想象能力和思维能力也得到发展，从而让学生具有初步的空间想象能力。在小学数学教学中，培养空间想象能力，主要培养学生以下几种能力。
2.1能借助数学中的几何图形来认识客观事物的空间形状及位置关系，能认识用语言及数学式子所表达的图形的形状和位置关系。
2.2能熟练地从较复杂的空间图形中抽象出基本图形并分析其基本元素的关系。
2.3能对已有的空间表象进行加工、创造，从而产生新的空间形象。
3.培养空间想象能力的途径和方法
3.1加强识图训练，丰富空间表象。
数学来源于生活，而又高于生活，具有抽象性特点，老师难教、学生难学。课程标准强调：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”对于空间与图形的有关知识的学习，要与学生熟悉的生活联系起来，为培养学生空间观念的提供丰富的感性材料。在教学的初始阶段，主要是让学生认识图形。小学教材中有很多几何图形，教学时注意数形结合，在教算术的同时应让学生观察图形和认识图形。指导学生对模型、实物，以及直观图进行多角度的观察、比较、对照和识别，认识构成图形的基本元素，让学生能看得懂直观图，能分解出几何图形的基本元素并能画出一些简单的几何图形。例如，认识长方形时，引导学生观察长方形实物（门、窗、课本等）观察，用直尺度量长方形的四条边，用三角板度量长方形的四个角，得出长方形的特点：对边相等、四角都是直角。然后在引导学生观察不同位置的长方形，以及近似长方形的图形（比如梯形），给学生识别，进一步掌握长方形的特点。
在识图训练中，要让学生抓住图形的基本特征，先认识图形的各个方面，然后综合起来形成对图形的整体感知、认识。要求看到直观图能感知图形的真实形状，能想象出看不到的部分的形状。有时候需要把直观图分解，抽出其中一部分，认识清楚后再回归到整体，比如求图1中长方形和三角形的个数。
利用图形的转化也是培养儿童的空间想象能力也是一个重要的手段。例如，平行四边形、三角形，以及梯形的面积公式就是通过图形的切割、组合转化为长方形的面积计算的；圆柱的侧面积也是转化为长方形计算。总之，要充分利用教材上的素材和实物模型，培养小学生的识图能力，以及初步的想象能力。
3.2坚持画图训练，提高构图能力。
新课标中指出“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状”。图形是交流空间想象的重要工具，而识图和画图是两个重要的认识过程。它们都要通过空间想象来完成。关于直观图的画法，学生开始会感到困难，需要教师引导学生先观察或想象所画几何图形中元素的位置、大小等结构，然后再构思想象画图。根据小学数学教学内容的编排，先画简单的图形，如线段、垂线、平行线、角等，再画三角形、长方形、梯形等平面图形，然后画一些立体图形，如圆柱、长方体等。通过画图练习促进空间观念的形成，进一步提高空间想象能力，使学生由直观图形能想象出对象在空间中的实际形状，以及基本元素的位置关系，能根据实物画出一些简单的直观图形。
3.3重视想象训练，发展创造能力。
小学生的思维特点是从形象具体思维向抽象逻辑思维过渡，以形象具体思维为主。所以小学生对空间形式的直观感觉是很难的，教师要根据小学生的思维特点，有意思地培养空间想象过能力从实物模型到想象过渡，最后脱离模型，在大脑中不仅仅能对已有的素材加工，甚至能创造出新的空间形体。有关空间想象能力的训练，可在有了一些识图、画图的基本能力之后训练，也可以与前两种训练交叉配合进行。在低年级侧重前两种训练，在高年级更应突出第三种训练。构造训练想象训练举例：
例1：先把右图沿虚线剪开，拼成一个正方形。用其他方法也能拼成正方形吗？（小学数学教材思考题）
例2：用方格纸剪成面积是4的图形。其形状有以下2种，哪一种图形拼成面积是16的正方形？
类似的练习可以培养小学生的空间想象创造能力。
4.总结
在几何初步知识教学中培养学生空间想象能力的主要途径是抓好双基教学，即识图画图教学，并在此基础上培养空间想象创造能力；加强对空间图形的看、画、想三方面的训练，看、画是基础，想象是目标。多媒体是一个非常好的教学手段，具有色彩丰富，能化静为动，化虚为实，化抽象为直观等特点，在几何教学中充分使用多媒体教学手段，不仅可以提高课堂教学的效率，而且能促进学生空间观念的形成。
在小学数学教学中，培养小学生的空间想象能力是一项重要而又艰巨的任务，广大小学数学教师必须清醒地认识到这一点；为什么很多学生升入初中后学不好几何，这和小学阶段没有学好几何基础知识，未能形成空间观念不无关系。为此，在小学数学教学中，应有抓好双基教学的同时重点培养学生的能力，尤其是逻辑思维能力与空间想象能力，为小学生升入初中进一步学习几何知识打下良好的基础。
参考文献：
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关键词：小学数学几何直观教学策略
几何直观的教学能够帮助学生对数量关系产生直接的理解，对降低学习难度、易于学生理解有着很大的作用。因此，在小学数学教学中渗透“几何直观”的教学策略是十分必要的，让学生通过想象几何图形的外在表示，将枯燥无味的数学公式转化成比较容易理解的几何图形，最终得出正确的结果，是锻炼学生数字和几何图形转换能力的有效方法，能够促进学生逻辑思维能力的不断发展。
一、小学数学教学阶段的特征
在小学学习阶段，学生的年龄一般都较小，他们对学习的态度有着明显的特征。小学生愿意学习有趣的知识，对趣味性强的学科和课堂表现出较大的热情。要让学生能够学好数学，首先就要提高数学的趣味性，让学生对数学知识产生兴趣，那么，他们就会转变为主动学习，提高学习积极性。另外，由于年龄较小，小学生的理解能力有限，太过专业的词汇和内容将超出学生的理解能力，让学生感到听不懂，长此以往会极大地损害学生的学习积极性。因此，在选择教学语言和教学方式时，教师要充分考虑到小学生的特点，符合学生的理解水平和认知水平，把大量的数学概念和公式尽量用通俗易懂的语言进行阐释，在此基础上进行归纳和总结，引出专业的术语，得出相关的数学结论。
根据小学生的学习特征，数学教师要在教学过程中渗透“几何直观”的思想，笔者认为可以从以下方面入手。第一，教师应当善于利用数学教材，以教材为出发点；第二，引导和鼓励学生使用画图的方式进行思考，养成画图的习惯；第三，学会使用数学符号简化数学的表达，方便学生理解和思考。
二、在小学数学中渗透“几何直观”的教学策略
1.善于使用数形结合进行表达。
数形结合思想是一个重要的数学思想方法。在帮助学生理解数学难点方面有着非常重要的作用，如果学生只是停留在简单模仿的层次，那么就说明学生并没有很好地掌握数形结合的思维方法，还需要教师进行深入的讲解和表达深化学生对数学概念的认识。
例如在乘法分配率的教学中，把数字转换为图形的方法，通过直观的图形方便学生理解，然后再进行数学抽象，总结出相关的数学公式结论，这样一来，数形结合这一教学方法使用起来就十分便利。如果存在一个长方形的操场，其长度为200米，其宽度为80米。现在学校决定对这个操场进行扩建，把宽增加20米，而长不变，求扩建后操场的总面积。这样的题设就要求学生进行画图，画出操场扩建前的长和宽，以及扩建后的长和宽。学生在每一步进行运算时，能够进行充分分析，进而直观了解到乘法的运算意义，理解乘法结合律公式的直观表达。
通过数字和图形的结合，让学生对乘法分配率的基本模型进行了深入理解，让学生清楚地知道公式的实际意义，就能够改变学生只会背公式而不理解公式内涵的现状，让学生真正理解数学知识的含义，对提高小学数学教学质量有着积极的作用。
2.加强对学生画图的引导和鼓励。
在小学数学教学阶段渗透“几何直观”的数学思想，不能仅仅只停留在教师的讲学上，而是要让“几何直观”的方法深入学生学习的过程，让学生学会通过画图运用数形结合的方法解决问题。作为小学数学教师，我们应该鼓励和引导学生通过画图的方式进行数学问题的思考和解决。
例如在进行长度、面积、体积的概念教学时，笔者就是通过让学生自己动手，理解这三个相互联系的数学概念。这三个概念在语言表达上虽然各不相同，但是这三个概念有着内在的联系，通过画图就会让学生理解这些概念的联系和区别，这样的教学效果将比只依靠教师的讲授要好得多。通过图形，学生可以清晰地看到概念的区别，用不同的单位为依据进行探究。学生可以看到由点组成线，由线组成面、由面组成体的具体过程。这样有助于学生理解长度是由线段表示的，线段长度以10为倍率；面是由线段组合而成，用面积表示，其倍率就是线段乘以线段，为100；而体积是一个立体的图形，是由一个个面累积而成，因此以1000为倍率。
3.重视引入数学符号，利用符号的转化简化数学。
在小学数学教学过程中，将文本资料转化数学符号可以方便学生抓住数学问题的本质，把数学知识进行简化。事实上，把文本资料转化为数学符号的过程也就是把具体问题抽象为一般性问题的过程。教师在教学过程中应当重视引入数学符号，利用符号简化数学，渗透几何直观的思想。
例如在学习“正比例”的内容时，教师可以帮助学生借助图像认识正比例变化的规律，强化属性符号的转化。首先，笔者先让学生将数据转换为图像，让比例图像进行一一对应，采用描点的方式画出点，并且与数据进行对照，数学每一个点对应的意义。然后，让学生根据图形对行使的路程和时间进行判断，让学生理解数学的实用价值。最终，把正比例的图像进一步抽象为正比例关系的公式，逐步达到教学目的。这样的引导教学，一方面锻炼了学生画图的能力，让学生对实际问题、图像和数学公式有了深刻的理解和认识。另一方面，有助于学生形成“画图―分析数量关系―列出数学表达式―代入数据进行计算”的数学解题模式。学生通过对直观图像与数学符号的关系转化，在简化了数学概念的同时，可以加深学生的理解，一举多得。
三、结语
在小学数学教学中渗透“几何直观”对于降低小学数学的难度作用十分显著，不失为一种简便、高效的教学手段。因此教师应当要善于挖掘教材资源，用丰富多彩的形式向学生展示数学世界。在渗透过程中，教师可以加强用数形结合的方式进行数学知识的表达，而后要在学生的解题思维中树立“几何直观”的思想，并鼓励学生使用几何直观的方式进行解题，提高学生的数学成绩，培养学生的逻辑思维，达到数学学习的目标。
参考文献：
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[3]居海霞.几何直观：渗透数学思想方法的重要途径[J].数学教学通讯，2014（04）.
［摘要］数学广角中的数学思维含量非常高，它可以有效地发展学生的数学思想。面对这一新的内容，许多教师都不知道如何教学，出现了种种误区。教师要理清教学思路，探寻数学广角的有效教学策略，发展学生的数学思想，训练学生的数学思维，让数学广角教学之路更精彩。
［关键词］数学广角误区研究
［中图分类号］G623.5
［文献标识码］A
［文章编号］1007-9068（2015）05-020
人教版中高年级各册小学数学教材在最后都安排了一个单元——数学广角，其目的是为了培养学生的数学思维与数学思想，它对发展学生的数学素养起着非常重要的作用。所以，面对这一新的内容，许多教师都不知道如何来教学，出现了种种误区。下面，笔者就结合当前部分教师在教学数学广角时出现的误区，谈谈如何拨开这些误区的面纱，从头开始，研究数学广角的教学策略，促进学生数学素养的有效发展。
一、数学广角教学误区
1．数学广角教学重演示轻实践
【教学案例一】排列与组合
数学广角安排此内容的目的是让学生通过自主操作来发现如何才能进行有序的排列与组合，从而发展学生的抽象思维与逻辑思维，促进学生在思考问题时可以让自己的思维更有序、更全面。但是有位教师在教学时，为了节约时间，每一道例题的教学都是先多媒体演示，学生观看如何进行排列与组合，看看是如何进行连线的，然后再让学生进行模仿，从而让学生掌握正确的排列组合方法。
这样教学虽然学生通过观察与模仿也能形成正确的排列与组合方法，但是这种方法没有经过学生大脑的思考，学生没有真正投入思维活动当中，学生的思维脱离了自己的亲身体验，这是不利于发展学生抽象思维与逻辑思维的。所以，数学广角的教学不能以多媒体课件来代替学生的操作与实践。
2．数学广角教学重方法轻思想
【教学案例二】鸡兔同笼
数学广角安排这个内容的目的除了让学生掌握鸡兔同笼问题的解题策略，更重要的是想培养学生数学的基本思想，比如对应思想、假设思想、比较思想、转化思想、代换思想等方面的思想。教材的安排是先让学生通过列表来发现答案，然后通过假设的方法来让学生学着换一种思想来思考问题，最后是让学生用设未知数列方程的方法来逐步掌握这些数学思想。但是很多教师在教学这一数学广角内容时，却忽略了这些数学思想，就题解题，把本来是培养学生基本数学思想的教学内容变成了应用题教学或是奥赛教学。
数学广角的教学不能与应用题教学或者奥赛教学等同起来。因为应用题教学与奥赛教学的最终目的是培养学生的解题能力，而数学广角的教学重视的是学生数学基本思想的发展，它除了要帮助学生寻找解决问题的策略，还要为学生指明解决问题的方向。所以不能只重视方法教学而忽略思想的发展。
3．数学广角教学重教材轻拓展
【教学案例三】简单组合
“在2002年世界杯C组的巴西、中国、土耳其、哥斯达黎加四个队，每两队踢一场，一共要踢多少场？”教材中安排的排列组合有两种方法，一种是把四个队放在正方形的四个角上，通过两两连线来确定场数，另外一种是把四个队放在一条线上，按照从左到右一一连线的方式来计算场数。某个课堂上，有一位学生提出一种方法——表格式，因为他平时看一些比赛就是用表格来表示的，这样也好写上积分，但授课的教师却以这种方法太复杂而制止了学生的表述。
教材受篇幅的限制，对某一知识点的安排往往是以点带面，特别是数学广角内容的安排，往往教材只是给学生的思路提供一个范例，其他的需要学生自主去探索。所以在教学时，教师不能以教材为中心，教材中有的就教，没有的就不讲，这样与编者安排这一版块内容的初衷就相违背了。教师应将内容进行系统处理，让学生有机会拓展相关的数学知识，形成更高层次的数学素养。
二、数学广角教学的研究
拨开了覆盖在数学广角的云雾，我们就要重新理清教学思路，探寻数学广角的有效教学策略，发展学生的数学思想，训练学生的数学思维。
1．数学广角教学深度要符合学生数学水平
【教学案例四】植树问题
教学完植树问题之后，教师应根据学生的数学水平，适度拓展解决问题的深度，让学生体会相同的问题在不同的情境下会有不同的结果，从而形成依据现实情况来寻找解决策略的习惯。
1．A点到B点有150米，每3米植一棵树，两头都植，一共需要多少棵树苗？
2．从小明家楼房到小红家楼房150米，两家想在路的一边每隔3米植一棵树，一共需要多少棵树苗？
3．学校椭圆形操场长150米，学校想在操场周围每3米植一棵树，一共需要多少棵树苗？
这三道题目虽然都是植树问题，而且数据也是一样的，但是它们的解法却完全不一样，学生只有把它们放到具体的实际情境中才能灵活解决。而且，这三道题目都在学生的认知水平上，通过努力都可以解决。这样的内容设计是合理有效的。但是有的教师在教学这一数学广角时，安排给学生解决的植树问题却非常难，比如把10棵树植成5行，每行要有4棵树；把7棵树植成6行，保证每行有3棵树；等等。这些题目都是奥赛题目，一般学生是解答不出来的，所以把这些教学内容安排到课堂上是十分不合适的。
所以，在教学数学广角时，适当拓展一下深度是可以的，但是这个深度要符合学生的数学水平，是让学生通过努力就可以解决的问题。如果学生面对那些有深度的问题一筹莫展，拓展的内容也就失去了它的意义。
2．数学广角广度要符合学生生活环境
【教学案例五】数字和编码
这一次数学广角是在学生已经对门牌号、教室号等编码有了一定认识的基础上，让学生从更广阔的角度来理解数字不仅可以表示数量，还可以用来编码，而本节课的教学也就是让学生可以进行一些简单的数字编码，培养学生的创新思维能力。教材的安排也是从邮政编码、身份证号等学生经常接触到的生活用品来入手，把教学置于学生的生活环境中。教材中所有的练习题也都是从学生的生活中选取的，这样就可以有效地激发学生的探究欲望。一位教师在安排学生课后进行编码练习时，所安排的任务是到学校图书室了解学校图书的编码规律，并设计一些新的编码进行交流。事实上，学生平时到图书室机会不是很多，对于图书的分类也不太了解，况且图书的编码远比教材中的一些编码复杂得多，离学生的生活环境也比较远，学生很难完成这样的任务。虽然教材中也安排学生了解图书编码，但是这种编码仅局限在班级的图书角，书的种类与数目不多，学生可以完成任务。因此如果让学生用学校图书室的图书进行编码，那么就已经脱离学生的能力水平了。所以，我们选取数学广角的教学内容要贴近学生的生活环境，只有这样，才能让学生的探究活动更有效。
数学广角中的有些内容离学生的生活很远，再加上学生没有生活经验作为基础，就很难全身心投入学习当中，其教学效果也会大打折扣。因此，在选择教学内容的广度方面要遵从学生的生活实际，要从学生的现实生活中找一些教学素材，根据需要对教材内容进行取舍，放弃一些不贴合学生生活环境的例子。在保证教学目标可以有效完成的情况下，从学生生活中挖掘一些教学案例，让教学内容与学生的生活联系更加紧密，促进学生有效调动自己的生活经验，激发学生探究的兴趣。
3．数学广角教学策略要以生为本
“学生是数学学习的主体”是新课标的精神，其深远意义也得到了广大教师的认可。下面要谈的是在数学广角教学中，如何落实以生为本的教学策略。
（1）以生为本，恰当设计教学目标
也许有许多教师认为，在教学数学广角时，教材挖掘得越深，教学目标设计得越高，学生的数学思维训练就越高效。其实，这种想法是错误的。教学目标完成的情况如何得看学生的具体情况，设计的教学目标要以学生的年龄特征与知识水平为基础，不能过深，也不能过浅，不能过窄，也不能过宽，一切要以生为本，要通过了解学生具体的数学经验水平来设计恰当的教学目标，不刻意拔高教学目标，也不随意降低教学目标，力求做到保证基础目标的完成，适当拓展教学目标。我们也可以制定分层次目标，在尊重学生差异的基础上让每一位学生都有所发展。
例如教学案例四中的植树问题，所设计的教学目标就是遵从学生的实际水平，没有设计过于复杂的目标，也没有局限于教材中的几个例题，而是在完成基本知识技能的基础之上，适当拓展学生对不同情况植树问题的解决策略，从而发展学生的数学思想。
（2）以生为本，关注思想形成过程
数学广角的教学不在于学生掌握了多少解题策略，而在于学生在学习过程中丰富了哪些数学经验，形成了哪些数学思想。但是数学思想是隐性的，它不像数学知识与技能那样，通过几道数学题的解答就可以发现学生是否掌握了，它比数学知识更抽象。人教版的数学广角中的内容都是把数学思想以直观的形式呈现在学生面前的，学生在学习的过程中就可以形成数学思想。所以，在教学时，要以生为本，关注每一位学生在学习过程中思想的形成，关注他们是如何形成思想的，从而及时调整教学策略，让每一个学生的数学思想都能在数学广角的教学中得以发展。
还是教学案例四中的植树问题，第一次我是让学生猜各种植树情况，然后再通过交流让学生形成解决植树问题的各种策略。其实在这一过程中，学生根本没有形成数学思想，只是形成了数学技能，所以，在第二次教学时，我让学生在草稿本上画出各种情况的草图，让学生交流自己的草图。这样，学生经历了知识的形成过程，数学思想得以有效渗透。
（3）以生为本，灵活处理教材内容
在教学案例一中，我没有运用多媒体来教学，也没有让学生严格按照教材的方法来教学，而是让学生自己想办法找到解决问题的方法。结果有的学生用文字来表述搭配方法，有的学生用字母来演示搭配方法，有的学生是用画图来表示的，有的学生是用数字来表示的，还有的学生用算式来计算有多少种搭配方法。但是，纵观这些搭配方法，都有一定的次序，学生把知识数学化的过程也非常清晰。这种教学方法体现了“大数学”的教材观，在以生为本的基础上，灵活处理教材内容，起到了非常好的效果。所以，在教学时，我们要仔细分析知识点之间的联系，跳出教材看教材，允许学生利用教材以外的方法来解决问题。这样，也就不会出现教学案例三中那位教师的尴尬了。
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