如何开展线上教学(6篇)
时间：2024-02-05
时间：2024-02-05
对于学生，如何更好地不停学”，我们需要进一步认识学习”。人们对于学习”的第一反应通常与上学”有关，大多数人记忆中的典型学习环境是课堂教学。学习”可以用来指发生在个体身上的学习过程的结果，学到了什么，或者是发生了什么样的变化，可以用来指发生在个体身上的心智过程，可以用来指个体与学习材料及社会环境之间的所有互动过程；从广义的视角理解，学习是发生于生命有机体中的任何导向持久性能力改变的过程。既然是任何导向持久性能力改变的过程，那学习的发生地、学习的内容以及学习的路径也就不局限于学校，不局限于课堂。由此，不停学”在一定程度上是为学习的发生提供了更广阔的场域环境与资源。
农村小规模学校（指不足100人的村小学和教学点）作为国家义务教育的神经末梢”，这一学校群体在停课不停学”期间面临哪些困窘与问题？如何破解并以此为契机，进一步促进互联网+”背景下农村小规模学校教育教学质量提升和面向未来更好的转型，这是我们应该关注和思考的重要课题。
一、疫情期间农村小规模学校面临的问题疫情期间全国大中小学的师生共同进行了一场规模空前的在线教育实践，不同地区停课不停学”的推进实施各有差异，对于农村小规模学校而言，在这场如多棱镜”的实践面前，凸显出更多的困境与问题。
（一）学习资源遴选不力适应性差调查（1）表明，国家、省、市、县级资源平台对乡村小规模学校发挥了重要的助教和助学作用。近七成的教师选用国家和省资源平台，近六成选用市县资源平台，还有一半多的教师借助互联网自行搜索选择适合学生的教与学资源。在资源推送过程中，教师遴选的资源是否真正适合农村小规模学校学生的基础或水平，教师自己心中也会打一个大大的问号。而与此同时，班主任和学科教师很难掌握网络另一端的学生对资源的适应性和学习效果，即便线上也无法监控。经了解，部分地区面向农村小规模学校的学生采取通过当地空中课堂或有线电视定时收看录播课程的方式，所提供的学习资源大多是当地城市学校的优秀师资的录播课程，大多为PPT展示和教师的语音解说。有学校校长表示，收看录播课具有灵活性，但由于缺乏师生互动，可能学生的接受度就弱一些。就某些学科教学而言，农村小规模学校的学生由于基础薄弱，反映明显听不懂，学习进度跟不上，甚至有学生反映数学和英语网络教学教师的讲授对我们更像听天书。
就所用资源的评价而言，54.25%的乡村小规模学校教师认为不太能”或不能”满足教学需求，而不能满足需求的最主要原因则是资源缺乏个性化”资源类型单一”及资源数量少”，选择比例分别为41.17%、37.10%和36.65%。
（二）设备网络支持力度不足问题
中国农村信息化需求调查”课题组的分析报告（2）指出，60.9%的村有提供电脑和互联网接入的公共场所，主要集中在社区活动中心（50%）、小卖部（28.6%）、学校（22.7%）、图书馆（21.4%）、政府信息服务站（15.1%）。59.2%村委会拥有电脑；41.2%的村委会开通了互联网；20.9%的家庭拥有个人电脑，接入互联网的家庭比例为16.6%。而农村小规模学校基本上地处偏远，交通不便，其网络基础设施建设更为落后。据了解，西部某县的农村学校缺乏上网课条件的学生达到30%，这也与有关研究者的调查相一致（以云南沧源为例，中小学有25%的学生家里不具备终端或网络条件”）。有研究表明，除了智能手机外，乡村家庭的其他物质性数字资源严重短缺，导致疫情期间高达8.07%的学生处于线上失学”的状态。客观上，随着农村社会经济的发展，进城务工和外出打工人员逐年增多，农村出现了大量的留守儿童、单亲家庭，部分农村小规模学校留守儿童比例甚至高达70%。对于留守儿童而言，家里能拥有联网智能手机或电脑的比例就更低了。调查分析显示，信息化设备及网络保障不足”是农村小规模学校教师反映的疫情期间除学生自主学习能力欠缺”之外线上教学所面临的最大困难。
（三）教师信息素养与线上教学经验缺乏在教育部停课不停学”的倡导之下农村小规模学校的教师从讲台走到网络前，成为线上网络主播，对着网络另一端的小学生开始线上教学。形势所迫老师们不得不现学现用，下载平台或APP，研究平台或APP的功能与使用，试用平台或APP，开展线上教学。而就如何整合已有教学资源、如何设计线上教学活动、如何设计学习任务单并做好学习后的反馈与指导等方面，农村小规模学校教师需要从零开始。由于缺乏线上教学的实践和经验，老师们都是边摸索边实践。部分研究者反映大部分教师简单地将线下教学直接搬到线上，导致学生学习兴趣不高，教学效果不佳。在线访谈我们了解到，线下作业布置放到线上，学生完成提交、教师批阅和反馈都需要进行电子转换，这部分工作也给教师们带来了极大负担。
（四）专业引领和指导缺位
疫情期间的停课不停学”基本上是由省级部署、市级指导，区县负责组织协调推送相关资源和平台作用。疫情期间教师开展线上教学的时候亟待得到更多的专业引领和指导，而区县承担教学研究和指导的教研员队伍由于对疫情时代信息化教学的新变化缺乏充分准备，无法及时为教师提供所需支持与指导。互联网+”带给教研员的不仅仅是教研方式的变革与创新的挑战，同时更是对其在线教学素养、整合技术的学科教学能力提升的急迫需求。在信息化教学方面，国外对教师知识结构提出了TPACK（整合技术的学科教学知识）理论框架。这个理论框架中技术知识、整合技术的学科内容知识、教学法知识、学科教学知识等都是当前我国教研员队伍缺乏和亟待提升的方面。而此前鲜有专门针对学科教研员群体的这些方面的培训，由此对于疫情期间的停课不停学”，部分区县教研员在线上教学素养、整合技术的学科教学能力等方面明显准备不足，难以为教师的线上教学提供及时而有力的支持和指导。
（五）家长监管与支持不到位
小学生由于缺乏自控能力，居家学习更需要家长的支持、指导与监管。而农村小规模学校的学生家长由于文化教育水平总体偏低，缺乏足够的家庭教育和学习指导能力，甚至有些父母对孩子的居家学习并不重视，无法为学生提供有力的支持和保障。对留守儿童而言，家长们对其居家学习的监管和支持更是不到位。有的祖辈甚至连基本生活保障及管理都做不到位，更别说督促和指导孩子的学习；部分家长甚至不会使用智能手机。部分农村家长反映管不住孩子玩手机，孩子不自律，干脆直接一刀切”不参与线上学习，由此导致学生学习的整体参与性与持续性不高。在访谈中我们了解到，有农村低年段的留守儿童通过上网课的机会接触到互联网和游戏，开始有沉溺网络游戏的苗头。上网课的效果非但没有得到知识和能力的提升，反倒染上网瘾得不偿失。
二、农村小规模学校发展互联网+”教育的对策建议
此次疫情极大地考验了农村小规模学校教育信息化的推进与实施，更是考验了师生面对互联网+”教育的最本能应对。我们将以反思以上问题的解决之策为契机，促进农村小规模学校更好地迎接互联网+”带来的变革和创新，以不断促进教育教学质量提升。
（一）重塑教育教学观念，加强教法和学法指导
互联网+时代，我们需要以一种全新的视角来看待教育，在教育中既关注已知，也关注未知；需要一种更具未来智慧”的教育视角，反映我们对将来可能发生的事情的推测，并借以强调能够应对所发生的一切事情的灵活知识。为未知而教支持积极的学习，进而在复杂多变的世界努力培养人的好奇心、启发人的智慧、增进人的自主性和责任感，引导和支持学生广泛地、有远见地追寻有意义的学习。学习并不仅仅是书本知识的学习，更多的是向大自然、向社会、向周围世界的学习，是体验、试错以及观察后的获得。所有学习都包含两个过程，即个体与环境之间的互动过程以及个体内部心智获得与加工的过程。将学习放到一个更广阔的框架里来认知，我们对于学科教学还需重新认识，学科教学只是知识和思维工具载体，更重要的是教给学生实际生活能力和问题解决能力。与此同时，疫情期间的线上教学”再次定义了教”，教师的教不仅仅是讲授、指导、启发、示范，教师除了是教授者，还兼有指导者、学习合作者等多种角色。
（二）加强对县级教研员、农村小规模学校教师的能力提升和培训
对于县级教研员队伍而言，应基于《教师教育技术能力建设计划》制定教研员教育技术能力建设计划，明确教研员的TPACK框架。引导教研员积极开展应用信息技术促进学科教育教学的研究，探索基于互联网+”的教研组织形式，提高指导学科教师开展信息化教学、应用信息技术进行教学设计、管理、评价等的能力。
对农村小规模学校教师的培训必须立足其日常教学，以解决日常实际教学及信息化教学中遇到的问题和困难为出发点，选取适合的内容和方式，制定学科教研员与学校或片区学科教师群一对一”结对负责计划，通过线上线下相结合的方式加强培训及后续跟踪指导，重点做好差异化教学、整合技术的学科教学、跨学科教学、学生管理、学法指导等能力的提升和培训，让农村小规模学校的教师也能够随时随地掌握新理念、新技术和新方法。
（三）设计和开展更适合农村学生的学习活动
正如专家们所预测的那样，随着信息技术的不断发展，线上线下融合的混合式教学将兴起，并成为未来的教学常态，面对这一发展趋势，农村小规模学校的教师需要做好充足的准备。对于尚不能正常复学复课地区的农村小规模学校而言，要进一步改进和提升线上教学，对于已复学复课的学校而言，以下建议也可作为线下教学的指导。
一是精心设计好学生的学习任务单。学生是否具有较强的自主学习能力成为疫情期间影响学生学习成绩最关键因素。如何科学有效地指导学生自主学习、发给学生的学习任务单怎么设计和布置，教师的作用至关重要。农村小规模学校教师要基于对学生家庭背景、学习基础以及兴趣爱好的全面深入了解，结合现实环境条件，依据学科教学的基本要求，精心设计学生的学习任务单，规定好学习任务单的时间进度安排与成果要求。
二是精心组织好学生的学习活动。今后要引深线上教学，就要以线上导学、组织探究式学习、自主阅读和在线辅导答疑为主，鼓励开展学生自主阅读，开展跨学科主题探究、项目研究。如种植观察日记、生活中的科学小实验、基于阅读指南的自主阅读等等。特别是要精心组织线上交流活动，如云班会等。教师可将线上交流活动设计为总体指导与任务布置、过程督促与学习指导、分享展示与总结反馈等过程。有研究表明：研讨、实践以及教授他人是最有效的学习方式。线上交流活动可以提供更多的机会让学生总结、分享、交流和研讨，可以让孩子们分享疫情期间对亲情、对生命的思考，可以让学生分享自己的收获和进步，研讨交流自主学习的更有效方法……针对学生的学习展示和作业情况，教师要认真负责地做好个性化反馈与指导，同时也要适时调整学习任务单的设计与资源遴选和推送。
三是精心遴选适合学生的学习资源。针对学习任务单，教师需要按照实用、适用和好用的原则，遴选学生学习资源。一方面教师要更多地从国家、省、市资源公共服务平台遴选适合学情的优质学习资源，另一方面，可以从互联网平台遴选免费的优质学习资源。疫情期间各大平台都推出了不同类型的学习资源，如少年得道”学而思”等推出的针对不同年龄段学生的免费学习资源，这些学习资源非常有利于激发学生的学习兴趣和开阔学生的视野。学习过程中如果条件允许教师可开展小范围走访，及时了解学生学习情况，及时调整学习资源。
（四）统筹保障学生开展线上学习的设备和网络条件
对于农村小规模学校的学生而言，开展线上教学的最大困难在于设备网络等信息化环境支持保障不力。由此，在短期内无法配置或安装的情况下，如何统筹保障学生线上学习的设备和网络条件成为校长考虑的关键问题。校长首先要摸清本校开展线上学习的条件（包括网络、移动终端等情况），进一步了解学生情况，统筹安排，充分应用学校、村委会网络与移动终端等设备解决好条件尚未具备的学生的线上学习的网络问题。如果还不够，可通过政府联系相关企业免费赠送流量包和终端的方式保障这部分学生的上网课条件，确保没有一个孩子掉队”，避免更大数字鸿沟的出现。
（五）加大家长教育指导力度，形成更强家校合力
疫情期间学生的居家学习凸显了家长支持以及家庭教育的重要性。但随着复学复工，家长支持不力、家校共育困境等又将成为学校面临的重大难题，67.73%的农村小规模学校教师认为家校共育面临困境”成为学校复学后的最大困难。学校应以疫情期间的家校沟通为起点和契机协同相关部门通过互联网持续地开展家长教育和指导工作，引导家长转变教育观念积极主动地参与孩子教育，教会家长科学的亲子教育方法等，以不断强化家校共育，形成更强的教育合力。
关键词：解析几何代数方程计算机绘图人C交互教学实验
一、解析几何与线性代数课程教学内容的现状和历史
解析几何主要内容是用向量代数方法研究二、三维空间内曲线、曲面的几何问题。向量代数方法主要是一、二次的代数方程与线性方程组。从现在一些高校使用的教材可也看到，解析几何与线性代数课程[1][2]的合并（或集成）为一门课占有不小的比例。下面相关教材的信息统计，可以获知这些变化。工科与理科专业使用教材的情况：工科专业使用的教材《线性代数与解析几何》（网络检索结果约500，000个）或《线性代数与空间解析几何》（网络检索结果约562，000个）的主要章节为：行列式及其计算，向量代数，平面与直线，平面与直线，矩阵及其运算，n维向量与线性方程组，特征值与特征向量，二次型与二次曲面，线性代数与空间解析几何的应用模型。工科专业使用的教材《线性代数》（网络检索结果约686，000个）。使用这两类教材的比例约为562s686。理科专业使用的教材《高等代数与解析几何》（网络检索结果约19，400个）的主要章节为：多项式，行列式，矩阵，线性空间，线性变换，Euclid空间，双线性函数与二次型。理科专业使用的教材《空间解析几何》（网络检索结果约49，200个）。使用这两类教材的比例约为194：492。从教材和课程内容，我们看到二次曲面与线性代数在其中扮演重要角色。把高等代数与解析几何合并成一门课具有其内在的合理性，但是，解析几何范围内的几何问题包括除了圆锥曲线（ConicSections）和二次曲面性质与图形之外，还有其他的曲线、曲面。这些曲线和曲面大量地出现不同的科学、工程领域中。例如螺旋线、环面。对于这些曲线和曲面，线性代数方法很难处理。同时，按目前的信息与计算科学的解析几何课程教学计划学时，学生系统地学习解析几何比较困难。我们希望了解和认识一门课程的内涵，也就必须认识它的发展史。解析几何的创立得益于代数学的飞速发展，17世纪笛卡尔[3]引进坐标系后，一大类几何图形和代数方程成为等价的事物。把图形转换为代数方程描述的数与数的关系来研究的方法就称为解析几何。1874年，美国翻译出版的法国学者J.B.BIOT的解析几何教材：《ANELEMENTARYTREATISEONANALYTICALGEOMETRY》[4]，其中没有出现行列式与矩阵等线性代数的主要方法。1902年，DavidHilbert的几何基础[5]出版了。100多年后，北京师范大学出版社在1984年出版了朱鼎勋与陈绍菱的解析几何教材《空间解析几何学》[6]。这是一本解析几何课程的典型教材。其中主要的方法是向量代数、坐标变换与二次型。传统的数学课程体系中（包括工学数学课程体系），将解析几何单独列为一门课程（或一些独立的章节），主要讲述空间图形（包括空间直线、平面和二次曲面）的代数处理方法。其实，解析几何本身与线性代数有着深刻的内在联系，例如，空间直线和平面都是由线性方程组来表示的，二次曲面的分类其实就是二次形的标准形问题。所以将这些内容加入到高等代数中来，不但节省了大量的时间，而且对学生加深两门课程的理解也是非常有益的[1]。
二、解析几何的现代化与应用前沿以及课程的教学实验
1963年，伊凡・苏泽兰（IvanSutherland）在麻省理工学院发表了名为《画板》的博士论文[7]，它标志着计算机图形学的正式诞生。至今已有五十多年的历史。使用计算机处理三维空间的曲线与曲面的显示与人机关系。它可以研究大量的复杂方程的曲线与曲面的性质以及它们之间的关系。在解析几何课程教学方面，计算机作图确实可以增加学生的对非二次曲面几何的直观理解，极大地提高了教学的效率，以及学生直观地理解复杂曲线、曲面。例如用某种计算机语言，计算、绘制一个旋转的椭圆抛物面。如果用z=x^2+y^2形式的方程，编写程序：
x=[-10：0.1：10]；y=[-10：0.1：10]；[X，Y]=meshgrid（x，y）；Z=X.^2+Y.^2；
plot3（X，Y，Z）
画出来的立体图上的网格是分别按x、y的参数值的变化生成的图（1）。同样的方法，编写程序：
x=[-10：0.2：10]；y=[-10：0.2：10]；[X，Y]=meshgrid（x，y）；Z=X.^2-Y.^2；
plot3（X，Y，Z）
画出的方程为z=x^2-y^2的双曲抛物面上的网格是分别按x、y的参数值的变化生成的图（2）。
不仅仅如此，计算机作图是对解析几何的传统教学方法、手段的重大改进，还克服了复杂曲面曲线无法绘制的寰场H绻仅仅认识到利用计算软件绘制曲线与曲面，可以比较直观的看到曲面的一些基本性质，例如：对称性，有界性，边界等，那实质上还是辅助教学，教学的内容没有进化与更新，也就是给定了曲面的方程，然后计算、绘制该曲面的3维图像，那是远远不够的。一方面计算机绘图渗透到了解析几何课程的教学中，另一方面更重要的发展是三维空间中的曲面、曲线已深入到了可以直观展示不同学科领域的现象、性质与规律。例如，近二、三十年，计算机计算速度的大幅提高，曲线、曲面的计算已经有了相当的发展。最初的3D动画、3D电影，现在的3D打印、3D重构已经深入到科学研究、工程设计以及日常生活中，这些新应用、新技术、新理论还在不断地进化。这些都依赖曲线、曲面的计算与测量。一般情形是曲面并不都是教材中的二次曲面。测量方法有无线电、激光等电学、光学设备，例如：照相机、摄像机、雷达等。特别是在计算机视觉[8]方面，3D重构[9]的发展对三维空间的曲面、曲线的计算提出更高的要求，计算机视觉是计算机图形学的反向计算。计算机图形学是从3维对象测量计算获得图像数据，而计算机视觉通常是从图像数据通过计算获得观测对象的3维图形，也有这两种方法的结合趋势，例如：在增强现实技术中，就是在屏幕上把虚拟世界套在现实世界并进行互动。
1.解析几何中，n次曲线、曲面在笛卡尔坐标系下的3维计算的手段是n次代数方程，笛卡尔坐标系与代数方程构成了这类3维计算的基础。笛卡尔坐标系与代数方程帮助我们充分认识了二次曲线与曲面。例如：图（1）与图（2）就是使用了笛卡尔坐标系与椭圆抛物面方程x2+y2-z=0、双曲抛物面方程x2-y2-z=0，通过计算给出的这两类曲面的视图。
2.在工程与其他科技领域，等高线图可以表示观测对象特定数据的3维图。这一类曲面一般不能由代数方程来表示。例如：陆地的海拔等高线地图，规则物体或流体的温度分布图，某区域的大气的水汽分布图，运动物体的GPS轨迹图。等高线图实质上是一张关于某种特定数据的照片，形式上等同于图（1）与图（2）。这类图都是通过对观测对象进行测量而获得的某种特定数据对应的三维空间的曲线与曲面图。这些曲线与曲面没有对应的方程，都用离散的二维数据来表示，并存储为一张数字照片。
3.观测对象的3D重构是从一些二维数据照片通过计算得到其他若干个笛卡尔坐标系下的二维数据照片。
1）如果已知曲线、曲面在一个笛卡尔坐标系内的代数方程，那么通过不同笛卡尔坐标系之间的坐标变换，能够确定地计算曲线与曲面的新代数方程。
2）如果已知曲线、曲面在一个笛卡尔坐标系内的等高线图，同样的方法可以得到新笛卡尔坐标系下的二维数据照片。
3）如果已知曲线、曲面在一个笛卡尔坐标系内的其他类型的二维数据照片（例如：一般的相机照片），如何得到新笛卡尔坐标系下的二维数据照片？这部分内容正是计算机视觉研究的核心内容之一。我们指导学生在这个方面做了一些试验与计算。下面简单介绍一下实验的基本方法与实验的结果。在对物体进行拍摄后得到的相片中，由于物体表面几何形态、点光源位置、光强等因数的改变会导致物体表面反射光路的改变与反射光光强的变化，照片中拍摄对象的明暗关系都会发生变化。我们可以根据光源与物体表面的关系（包括理想反射面与一般反射面的成像理论，点光源与反射面亮度的关系），得到点光源下理想表面反射成像的规律。控制其中一个或多个影响物体表面成像的重要参数，改变点光源位置等，拍摄观测对象，利用软件读取照片，用给定的光反射模型进行计算，可以得到观测对象的一个完整的表面的三维数值图像。下图（6）（7）是试验中拍摄的倾斜纸板照片与计算得到的三维数值图像。
三、解析几何教学实验的一些体会
解析几何课程本着联系实际科技应用与科学前沿[10]，拓展教学内容，开阔视野的目标，把计算机图形学与“3D计算”的思想、方法与实践引入。我们可以在教学过程使用计算机与显示设备，一方面，在三维空间中，把复杂代数方程对应的图像的基本性质比较直观地显示出来。另一方面，认识到三维数值图像在计算机视觉等高新科技领域的重要应用。通过这一方面的教学与实践，让学生认识到不仅仅方程的计算与推理可以分析曲线、曲面的性质，还可以通过适当的计算也可以分析曲线、曲面的性质。进一步，认识到计算机的计算能力与显示同样能够证实曲线、曲面的特征。即基于适度的基本编程的人机交互[7]来学习曲线、曲面的基本规律。上文列举了的解析几何与计算机相结合的例子，通过使用这种更简洁易懂，同时更加现代化的解题办法，真正实现数学与计算机的结合，使得解析几何这门学科具有新的生命力。
参考文献：
[1]孟道骥.一门“国家精品课程”的建设-南开大学“高等代数与解析几何”课程[J].高等数学研究，2005，8（3）.
[2]冯良贵，戴清平，谢瑞强，李超，陈挚.国防科技大学“线性代数与解析缀巍笨纬探ㄉ璧奶厣[J].大学数学，2009，（6）25.
[3]R.Descartes.TheGeometryofRenéDescartes[M].TranslatedbyDavidEugeneSmithandL.MaricaLatham，DoverPublications，Inc.1954.
[4]D.Hilbert.FoundationsofGeometry[M].AuthorizedbytranslationbyE.J.Townsend，1902.
[5]J.B.Biot.AnElementaryTreatiseonAnalyticalGeometry[M].CadetsoftheVirginiaMilitaryInstituteatLexingtonVA，1874.
[6]朱鼎勋，陈绍菱.空间解析几何学[M].北京师范大学出版社，1984.
[7]I.Sutherland.Sketchpad：AMan-MachineGraphicalCommunicationSystem[D].Mass-
achusettsInstituteofTechnology，1963.
[8]O.Faugeras.Three-DimensionalComputerVision：AGeometricViewpoint[M].MITPress，1993.
[9]U.C.Pati.3-DSurfaceGeometryandReconstruction：DevelopingConceptsandAp-
关键词：对立与统一；具体到抽象；归纳与类比
中图分类号：G632文献标识码：B文章编号：1002-7661（2015）06-276-01
数学的产生与发展是与哲学紧密相连的，哲学作为一切运动最普遍规律的学科，渗透到数学发展的各个阶段和各个领域。同时，数学作为一门经典科学，其理论的产生、发展与完善又很好阐释了哲学的各理论。数学教学中需要从哲学的角度认识数学、理解数学，从哲学的角度探讨数学中的辩证思想：自觉地渗透辩证的思维方法、辩证的认识论，从而有助于学生更好地理解数学的产生与发展，更好地理解先人发现数学的历程与艰难，并进而更有助于开拓学生视角、优化学生思维。
何以需要把哲学认识观融入立体几何的教学中，究其因，一方面，哲学认识观给数学教学送来了获得智慧的经验与方法，能高屋建瓴的认识立体几何，给统领立体几何教学的观点、方法与思想带来了一个高度；另一方面，立体几何中诸多的知识与方法素材更是诠释哲学思想、哲学认识论的良好契机，如空间问题转化为平面问题、几何关系与数量关系的互化都昭示了事物的普遍联系与相互转化。
一、对立与统一地认识问题
唯物主义哲学告诉我们，对立统一规律是辩证法的实质与核心。唯物辩证法认为，事物联系的根本内容就是互相区别、相互对立的矛盾双方之间的联系。用这个观点考查立体几何就容易发现，在立体几何中，处处都存在着典型的、深刻的矛盾辩证法。空间由点、线（直线与曲线）、面（平面与曲面）、体元素构成，点动成线、线动成面、面动成体，从这个角度上说，这四者体现的是部分与整体的关系。当我们在具体判断这些元素位置关系时，它们却是对立统一的：线线、线面、面面等位置关系可以相互转化，呈现对立统一之态。
例如，在判断线面平行时，可以转化为线线平行（线面平行判定定理）思考，抑或可以转化为面面平行（面面平行性质）思考。线线平行、线面平行、面面平行既对立又统一。对立体现的是相互的区别性、统一体现的是相互的联系性，这联系性展现了“降维”与“升维”的数学思想。
二、具体到抽象地认识问题
具体与抽象是相互依存的关系，具体是抽象的源头，为抽象提供了一定的基础；抽象是具体的发展，为具体提供更高的境界。可以说具体培养的是感性思维，抽象培养的理性思维。古语有云：“皮之不存，毛将焉附”，放之立体几何教学上即是问题的探索与研究离不开具体的情景。同时，当我们用发展的观点看待问题时，就要求在具体情景中去寻求隐含的、内在的、本质的、抽象的一般性联系与特征。而这个具体到抽象过程的实现，可以通过模型展示、实验操作等方法，让学生经历操作、观察、感知、判断、猜想、归纳、证明等操作过程与思维过程，进而实现具体到抽象、感性到理性的飞跃。
三、归纳与类比地认识问题
归纳法与类比法是人们认识事物的最基本方法之一，它们既是一种思维形式，也是一种推理方法，它们在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义，正如数学家拉普拉斯所说：数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比。立体几何中，归纳与类比同样是获得新知、认识新问题的好方法。
类比法在立体几何教学中，体现出来的是局部与整体相结合的教学方法。例如，在线面平行、面面平行的教学中，整个框架的展开为：由线面平行判定定理至线面平行性质定理，再类比到面面平行判定定理至面面平行性质定理，这是一个“平行的局部世界”；但我们不妨将这个“局部世界”类比推广开去，即在开展线面垂直、面面垂直的教学中，也是由判定定理的学习到性质定理的学习，这是“垂直的局部世界”，而这两个局部世界构成了“判定与性质这个整体世界”。再比如，在空间角的学习中，即是由线线角、线面角再至面面角，从“一维角”类比到“二维角”的学习，而后再整体思考时可以发现这些角的本质都是转化为线线角。
归纳法在立体几何教学中，体现出来的是特殊与一般地关系，往往通过对特殊位置的研究可以归纳猜想出一般位置的情况。
立体教学中，运用归纳与类比的方法认识立体几何问题，有助于学生抓住整个立体几何的线索、理清知识展开的脉络、把握知识推理的关系，进而能培养学生从一定的高度认识问题、分析问题、解决问题，达到一览众山小的境界。
四、简单到复杂地认识问题
事物的发展往往是由简单到复杂，所谓“一生二，二生三，三生万物”即是如此；而复杂之后人们又在不断追求着简单，所谓“大道至简”便是体现。简单中蕴含了事物的简练性、朴素性，复杂中蕴含了事物的发展性、整合性。立体几何教学中，同样需要渗透由简单到复杂的数学思想，让学生能循序渐进的认识事物，而简单到复杂的终极目标该是为了使学生能从复杂背景中把握简单地本质，从复杂中发现简单地方法要领，也即“深入浅出”。
五、总结与反思
一、巧用几何画板，展现函数知识的直观性
函数的教学如果单纯地采用公式和数字的教学模式，往往难以直观地展现函数知识的本质。所以，在函数教学中合理地运用几何画板能够起到很好的教学效果。
1.巧用几何画板，展现函数内涵
利用几何画板来做出函数的图像，可以让抽象的函数式变得更加直观，有利于学生真正有效地掌握知识，提高学习函数知识的效果。
在苏教版初中数学第五章《一次函数》第二课时的教学中，为了能够让学生更好地理解一次函数公式的变化，打开几何画板，可以在几何画板中建立一个坐标，在坐标系内部，任意做出一条直线，显而易见，学生可以通过这样的直线来得到它的解析式。之后，慢慢地拖动这条直线，在直线不断变化的时候，函数中的k和b也在不断变化，此时，k和b的大小和直线经过的坐标内的象限是有关联的。进而再进一步配合图形讲解一次函数式的内涵，及其公式的变化等知识。
利用几何画板这种数形结合的方法讲解一次函数的解析式内两个数值的变化，学生可以通过观察象限内的直线变化来感知一次函数中k和b的变化，真正理解一次函数的内涵。
2.巧用几何画板，阐述函数性质
在学习函数的过程中，学生对函数性质的理解程度将会影响到学生的学习效果，特别是在九年级上册的二次函数教学中，学生必须要更加深刻地理解二次函数的图象和性质。
在苏教版初中数学《二次函数》第二节《二次函数的图象和性质》的课堂教学开始之前，首先利用几何画板作出了“y=ax2+bx+c”的具体直观的图象。然后，在课堂教学开始后，可以首先讲解二次函数图象和性质的基本内容，然后要求学生观察几何画板上的二次函数的图象的变化。慢慢地移动几何画板中a、b、c，以不断变换这三个参数的具体数值，要求学生观察和分析二次函数图象的每一次变化。学生经过观察，能很快地就总结出二次函数性质中，开口方向、对称轴、顶点等要素和三个参数之间的联系。
利用几何画板画出二次函数的图象，通过二次函数图象进行直观教学，学生能够更加准确和快速地掌握二次函数的性质和知识要点。
二、巧用几何画板，展现几何知识的直观性
几何画板的好处就在于能够使得原本就比较具体的几何知识更加直观，让几何知识的教学体现得更加“有血有肉”，让学生更加容易理解几何知识的脉络和本质。
1.巧用几何画板，让几何概念更加直观
很多初中学生在学习几何知识的时候感觉知识比较枯燥无味，因此提不起学习的兴趣，影响了学习的兴趣，特别是在讲述知识概念的时候，学生更加难以集中精力听课，而运用几何画板就能够有效解决这种问题。
在苏教版初中数学《中心对称图形二》第九节《圆锥的侧面积和全面积》的教学过程中，我利用几何画板画出一个直角三角形，然后以直角三角形的直角边为旋转轴，其他两个边进行一周的旋转，通过这样一个比较直观和富有动态的过程，让学生更加清楚地了解圆锥形成的过程，从而由抽象的图形转变为更加直观的图形印象，让学生对圆锥的概念更加深刻和清晰。
2.巧用几何画板，让几何难点讲解透彻
在初中数学几何知识的教学中，有一些知识是难度比较大的，学生理解起来比较困难，如果老师一味地进行讲解，收效甚微。如果能够借助几何画板来进行演示，难点就讲解得更加透彻。
例如，在苏教版初中数学《走进图形世界》第3节《展开与折叠》的教学课堂上，展示很多图形模型，其中三棱锥是一个比较抽象的图形，它的构成比较复杂。在教学三棱锥的展开和折叠的过程中，运用几何画板，将三棱锥的各个面展现在多媒体上，然后依次进行展开和折叠慢放，同时，适当地进行旋转、平移、分割、合并，在一系列的慢镜头播放和分解之后，三棱锥图形的讲解更加具体，由难点变成简单，由隐形变成显形，学生能很好地理解这个知识点。
运用几何画板来讲解初中数学知识的难点，往往能够轻而易举地突破，能有效地拓宽学生的思维，降低思维坡度，化解教学难点。
三、巧用几何画板，展现数学解题的直观性
初中数学的教学离不开解题的教学，解题教学是教师讲授解题方法的重要途径，传统的讲解方法不够直观，学生往往很难理解。所以，采取几何画板来进行解题教学就显得非常重要。
例如，在苏教版初中数学《锐角三角函数》第三节《正弦、余弦》的教学中，课堂上布置了一道随堂练习，由学生进行当堂演练。题目为：小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。
一、利用几何画板，加深知识理解，提高课堂教学效益
在高中数学教学中，数学概念、数学定理等是基础性知识，也是重要内容，对学生数学学习有着十分重要的影响.对于这些数学知识，若教师只是单一地分析与讲解，仅在黑板上加以演算，一方面学生不能透彻地理解知识，另一方面学生会感觉学习枯燥、乏味，缺乏学习积极性，因而难以快速而有效地完成教学目标.如果教师在教学过程中能够适当地运用几何画板，则会有意想不到的效果.如通过几何画板演示，学生可体会到数学知识中不变与变之间的紧密关系，从而更深刻地理解与把握概念、公式、定理以及相关推论等数学知识.
例如，在讲“数列极限”时，为了帮助学生理解与把握这一概念知识，教师可灵活运用几何画板进行辅助教学.比如教师可先利用几何画板画出数列an=10-n的相应图象，也就是由离散点所构建的函数图象，然后要求学生仔细观察曲线的变化情况，同时借助几何画板作出相应的列表.这样，通过直观演示，可让学生动眼、动脑，增强直观感知，由感性认识逐步上升到理性认识，从而加深对这一数学概念的理解与记忆.
又如，在讲“二面角的概念”时，教师也可运用几何画板进行形象生动性的教学.首先，教师先将一条直线呈现在电脑屏幕上，接着使用多种色彩由该直线出发来画两个半平面，并且闪烁该直线与两个半平面构成的立体图形，通过认真观察，学生则可领悟到二面角的形成过程.接着教师可将两个半平面与直线进行分别闪烁，引导学生了解二面角中各组成部分的数学名称.然后教师固定某一个面，而转动另外一个面，于是可得到大小各异的多种二面角.这样，通过几何画板演示，可变静态事物为动态化，可变抽象知识为直观化、形象化、具体化，同时通过二面角旋转课件，为学生营造了逼真的学习情境，使学生如临其境，可增强学生对知识形成与发展的体验，得到更准确，更深刻，更清晰的数学概念，从而提高学习效率，提高教学效果.
二、巧用几何画板，突破难点，培养学生的创造意识
在高中数学教学中，函数是重要的教学内容，也是教师教学与学生学习的难点之一.在传统教学过程中，当讲解函数知识时，教师通常是在黑板上板书，用笔作出函数图象，一方面图象缺乏精准性，另一方面画图又花费了一定的教学时间.同时，由于是所作图象是静止的，学生则难以观察到图象的变化过程，而后面的学生可能看得没那么清晰，这就影响了学生的学习效果.因此，在高中数学教学中，教师可借助几何画板来直观而快速地作出函数图象并显示其变化过程，以突显教学重点，突破教学难点.
[关键词]核心问题；数学教学；命脉
[中图分类号]G623.5[文献标识码]A[文章编号]1007-9068（2017）11-0078-01
美国著名数学家哈尔莫斯说，“问题是数学的心脏。”在诸多数学问题中，最具思维价值，最有利于学生展开数学思考以及最能揭示数学知识本质的问题就是“核心问题”，它是数学教学的统领，能够让教学从被动转向主动，让学生从学会转向会学。那么，如何确定数学核心问题，并运用核心问题展开教学呢？
一、在新旧知识链接处确定“核心问题”
数学知识是一个有机的整体，知识之间存在着横向和纵向的关联。教学中，教师可以在新旧知识的链接处设置核心问题，让学生通过核心问题展开数学知识的比较、迁移。
例如，教学“除数是小数的除法”时，教师可以在新旧知识的“节点”上设置三个问题：除数是小数的除法如何转化成除数是整数的除法？转化时，同时移颖怀数和除数小数点的操作依据是什么？同时移动被除数和除数的小数点以谁为标准？三个问题层层递进、提纲挈领，其间敞亮着数学的重要思想方法――转化，可以说是“除数是小数的除法”教学的灵魂，并且对学生以后学习“异分母分数转化成同分母分数”“分数除法转化成分数乘法”等都具有较强的启发性和迁移性。在新旧知识的链接处设置核心问题，能引导学生兴趣盎然地展开探索。在核心问题的引导下，学生逐渐学会用联系的眼光看问题。
二、在知识本质处确定“核心问题”
数学教学归根结底是数学思想方法的教学，如何帮助学生形成数学思想方法？实践中，教师可以引导学生对数学知识进行探究，在数学知识的本质处设定“核心问题”。
例如，教学“确定位置”时，教师往往是从具体的“座位图”开始，逐步过渡到半抽象的“点子图”，再到抽象的“数对”。表面上看这样的教学循序渐进，但仔细分析，这样的学习其实是学生在教师牵引下的“被动学习”。基于此，教师在教学中应做到让学习真正发生，用“真问题”――“如何确定点的位置”引导学生展开探究。首先，教师出示一根数轴，让学生表示相关点的位置。然后，教师将相关点移到数轴上方，将点的位置从“线”移向“面”，由此生成核心问题――“如何确定点的位置”，学生自然地生发出一系列表示点的位置的方法，诸如数字五的上面，数字五的上上面，等等。学生在多元的确定位置方法的展示中，产生了“如果有一根和横轴一样的向上的轴该多好啊！”的想法。最后，教师适时出示坐标系，并介绍“用数对确定位置”的数学规定，即列在前，行在后。学生围绕着“真问题”展开“真探究”，学习就成为一种真实的“发生式学习”。
三、在相关知识整合处确定“核心问题”
数学问题是为教学服务的，如果我们对问题展开研究，就会发现在一堂课的教学中存在着许多琐碎问题。为此，教师需要对琐碎的数学问题进行提炼、整合，设计出能够直达教学重点、难点，直通数学知识本质，直指数学思想方法的核心问题。
例如，教学“平行和垂直”时，教师首先研读教材，将平行和垂直的知识点进行整合，从直线的位置关系出发，通过在不同平面和同一平面内两种情况，列举相关的数学问题，如“什么是同一平面？”“什么样的两条直线相交？”“什么样的两条直线相互平行？”“什么样的两条直线相互垂直？”“垂足是什么？”“什么是距离？”等。然后，教师从“平行和垂直”的内涵以及外延出发，梳理出最关键、最核心、权重最大的三个问题：（1）两条直线不在同一平面内，其位置关系是怎样的？（2）在同一平面内，两条直线的位置关系又是怎样的？（3）怎样的两条直线互相平行？怎样的两条直线相互垂直？这三个问题中，问题（1）是基础性问题，问题（2）是问题（1）的派生，问题（3）又是问题（2）的派生。教学过程由此分成三个层次：首先是从生活出发，建立两条直线不在同一平面内和在同一平面内的位置关系；其次是让学生在纸上或黑板上（同一平面内）画出许多条直线，引导学生对这些直线的位置关系进行分类，建立相交和平行的概念；最后重点引领学生对“平行和垂直”展开深度研究。在这样的有序教学中，学生的数学思维始终处于活跃状态，真正理解了数学概念的内涵和外延。
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