二次根式有理化的方法范例(3篇)
时间：2024-10-13
时间：2024-10-13
【关键词】二次根式运算技巧
TheSkillsofCalculationofQuadraticEquation
LuoRongfang
【Abstract】Thecalculationofquadraticequationisthefocusofmathematicsinjuniorhighschool.Duringthecalculationandsimplificationofquadraticequation,studentsneedtoexcavatethestructuralcharacteristicsandseektheappropriateandingeniouswaystosolveproblems.Thispassagehasintroducedsomecommonmethodsofcalculationofquadraticequationforyourreference.
【Keywords】QuadraticequationSkillsofcalculation
二次根式的运算是初中数学的重点，在计算与化简二次根式的过程中，只要能够认真挖掘问题的结构特征，寻求恰当而巧妙的解题途径，便可达到化繁为简的目的。以下是几种常见的二次根式运算的方法，供大家参考。
1．巧用定义。
例：化简
分析：由二次根式定义知
解答：由已知得
方法规律：运用二次根式定义求出式中字母的隐含条件。
2．巧用平方法。
例：求的值。
分析：观察式子，发现结果大于0，若设，注意到互动为有理化因式，两边平方即可。
解答：设
两边平方得：
3．巧用乘法公式。
例：化简
分析：观察到式中根号内的被开方数可化为完全平方的形式，故逆用公式变形，再用化简。
解答：
4．巧用配方法。
例：化简
分析：显然，结合分母的特点适当添、拆项后利用完全平方公式和平方差公式解决。
解答：
5．巧用拆项法。
例：化简：
分析：观察式子，不难发现分子中可拆为。
解答：
6．巧用因式分解法。
例：计算
分析：显然先算完全平方式很麻烦，若运用平方差公式，先分解因式，可达到化繁为简的目的。
解答：
7．巧用换元法。
例：计算
分析：本题特点为分子与分母的和和积为一常数，故可用换元法。
解答：
设
且
8．巧用幂的性质。
例：化简
分析：式子。
解答：
9．巧用通分法。
例：计算
分析：观察分母特点，发现第二个分母为第一个分母的倍，故可先通分。
解答：
10．巧用约分法。
例：化简
分析：
解答：
总之，对于二次根式的有关计算，只要同学们学会根据题目的结构特点，灵活应变，即可达到事半功倍之效。
一、教学目标
1.核心素养：
通过学习二次根式的性质以及二次根式的化简，培养学生逻辑能力和推理能力．
2.学习目标
（1）理解是一个非负数和，并能利用它们进行计算和化简.
（2）理解并掌握，并能利用这一结论进行计算和化简.
3.学习重点
应用和进行计算和化简
4.学习难点
二次根式基本性质的灵活应用.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
任务1
阅读教程P3-P4，思考：二次根式的性质有是什么？
任务2
如何对进行化简？
2.预习自测
1．
；
.
2.
；
.
3.
若，则的值为（
）
A.1
B.2
C.
3
D.
预习自测
1.9；2
2.
；
3.C
（二）课堂设计
1.知识回顾
（1）如果一个正数的平方等于，那么这个数叫做的算术平方根，规定0的算术平方根为0.
（2）形如的式子叫做二次根式.
（3）二次根式有意义的条件：被开方数为非负数.
2.问题探究
问题探究一
如何理解二次根式的双重非负性和？
活动1
如何理解二次根式的双重非负性？
根据二次根式的定义得知，依据算术平方根的意义可知一个非负数的算术平方根是非负数，因此具有双重非负性.
例1.若，求
的值.
【知识点：二次根式的性质】
详解：，，....
点拨：二次根式和绝对值都具有非负性，而两个非负数的和为零，则说明它们各自为零.
活动2
如何理解？
例2.（1）边长为的正方形的面积为
.（2）半径为的圆的面积为
.
（3）
.
（4）
.（5）
.
【知识点：二次根式的性质
思想方法：从特殊到一般】
详解：（1）2.（2）.（3）0.5.
（4）.
（5）0
点拨：根据算术平方根的意义可知，是一个平方等于2的非负数，所以，也可理解为：面积为2的正方形的边长为，因此.
因此可以得到一般性的结论：
问题探究二
如何对二次根式进行化简？
例3.化简：，，，，
【知识点：二次根式的性质
思想方法：从特殊到一般】
详解：=2，=0.5，=0，=2，
点拨：根据算术平方根的意义，因为，4的算术平方根是2，所以=2；同理可得=0.5，=0，=2，.
归纳总结：；当时，.
3.课堂小结
【知识梳理】
（1）二次根式具有双重非负性.
（2）二次根式的性质：
；
【重难点突破】
（1）
与的不同点：①意义不同：表示非负数a的算术平方根的平方；表示a的平方的算术平方根.②运算顺序不同：是先求非负数a的算术平方根，再进行平方运算；是先求a的平方，再求a的平方的算术平方根.
（2）善于发现题目中的隐含条件，轻松突破二次根式的性质运用．如：化简，题目中就隐含了3.14
4.随堂检测
1.
若
，则的值为
(
)
A.1
B.-1
C.2016
D.
【知识点：二次根式的性质】
【参考答案】A
【思路点拨】绝对值和算术平方根都具有非负性，由于两个非负数的和为零，则它们本身为零，因此，，.
2.
计算：的值为
(
)
A．
B．12
C．6
D．
【知识点：二次根式的性质和化简】
【参考答案】B
【思路点拨】利用积的乘方等于积里各个因式分别乘方的积，即可以得到.
3.下列各式计算正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【知识点：二次根式的性质和化简】
【参考答案】A
【思路点拨】上述各式不是某种单一的计算，因此注意运算顺序是预防出错的关键.
4.
计算的结果是（
）
A．-3
B．3
C．9
D．-9
【知识点：二次根式的性质和化简】
【参考答案】B
【思路点拨】中，，.
5.已知，则化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【知识点：二次根式的性质和化简】
【参考答案】D
【思路点拨】
，
，，
16.1二次根式第二课时
一、教学目标
1.核心素养：
通过学习二次根式的性质以及二次根式的化简，培养学生逻辑能力和推理能力．
2.学习目标
（1）理解是一个非负数和，并能利用它们进行计算和化简.
（2）理解并掌握，并能利用这一结论进行计算和化简.
3.学习重点
应用和进行计算和化简
4.学习难点
二次根式基本性质的灵活应用.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
任务1
阅读教程P3-P4，思考：二次根式的性质有是什么？
任务2
如何对进行化简？
2.预习自测
1．
；
.
2.
；
.
3.
若，则的值为（
）
A.1
B.2
C.
3
D.
预习自测
1.9；2
2.
；
3.C
（二）课堂设计
1.知识回顾
（1）如果一个正数的平方等于，那么这个数叫做的算术平方根，规定0的算术平方根为0.
（2）形如的式子叫做二次根式.
（3）二次根式有意义的条件：被开方数为非负数.
2.问题探究
问题探究一
如何理解二次根式的双重非负性和？
活动1
如何理解二次根式的双重非负性？
根据二次根式的定义得知，依据算术平方根的意义可知一个非负数的算术平方根是非负数，因此具有双重非负性.
例1.若，求
的值.
【知识点：二次根式的性质】
详解：，，....
点拨：二次根式和绝对值都具有非负性，而两个非负数的和为零，则说明它们各自为零.
活动2
如何理解？
例2.（1）边长为的正方形的面积为
.（2）半径为的圆的面积为
.
（3）
.
（4）
.（5）
.
【知识点：二次根式的性质
思想方法：从特殊到一般】
详解：（1）2.（2）.（3）0.5.
（4）.
（5）0
点拨：根据算术平方根的意义可知，是一个平方等于2的非负数，所以，也可理解为：面积为2的正方形的边长为，因此.
因此可以得到一般性的结论：
问题探究二
如何对二次根式进行化简？
例3.化简：，，，，
【知识点：二次根式的性质
思想方法：从特殊到一般】
详解：=2，=0.5，=0，=2，
点拨：根据算术平方根的意义，因为，4的算术平方根是2，所以=2；同理可得=0.5，=0，=2，.
归纳总结：；当时，.
3.课堂小结
【知识梳理】
（1）二次根式具有双重非负性.
（2）二次根式的性质：
；
【重难点突破】
（2）
与的不同点：①意义不同：表示非负数a的算术平方根的平方；
表示a的平方的算术平方根.②运算顺序不同：是先求非负数a的算术平方根，再进行平方运算；是先求a的平方，再求a的平方的算术平方根.
（2）善于发现题目中的隐含条件，轻松突破二次根式的性质运用．如：化简，题目中就隐含了3.14
4.随堂检测
1.
若
，则的值为
(
)
A.1
B.-1
C.2016
D.
【知识点：二次根式的性质】
【参考答案】A
【思路点拨】绝对值和算术平方根都具有非负性，由于两个非负数的和为零，则它们本身为零，因此，，.
2.
计算：的值为
(
)
A．
B．12
C．6
D．
【知识点：二次根式的性质和化简】
【参考答案】B
【思路点拨】利用积的乘方等于积里各个因式分别乘方的积，即可以得到.
3.下列各式计算正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【知识点：二次根式的性质和化简】
【参考答案】A
【思路点拨】上述各式不是某种单一的计算，因此注意运算顺序是预防出错的关键.
4.
计算的结果是（
）
A．-3
B．3
C．9
D．-9
【知识点：二次根式的性质和化简】
【参考答案】B
【思路点拨】中，，.
5.已知，则化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【知识点：二次根式的性质和化简】
【参考答案】D
【思路点拨】
1.进一步加深对二次根式的意义和基本性质的理解，能够熟练的对二次根式进行化简。
2.能够准确熟练的对二次根式进行运算。
重点：二次根式的基本概念、性质及其相关运算。
难点：综合运用二次根式的性质和法则进行运算。
教学过程：
一、复习概念
情境设置1：
2，39，42，27，15，13，-a2-1，a2
①请找出上述式子中的二次根式。
②①中的二次根式都是最简二次根式吗？最简二次根式需要满足哪些条件？
③有同类二次根式吗？怎么找同类二次根式？
④-a2-1为什么不是二次根式？
复次根式的基本概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
最简二次根式判别方法：根号内不含分母，分母中不含根号，被开放数不含完全平方的因数（因式）。
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
情境设置2：
已知：ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5
师：你能求出线段AC、AB的长吗？
生：可以，根据30°的直角三角形的三边之间的关系可知：
BC=3AC=3×5=3×5=15AB=2AC=25
也可以根据勾股定理得：
AB=AC2+BC2=52+152=20=25
师：已知直角三角形三边的边长你还能得到哪些结论？
生：我们还可以求出直角三角形的周长和面积。
CΔABC=AB+BC+AC=25+5+15=35+15
SΔABC=12AC・BC=12×5×15=12×5×15=523
师：能够求出AB边上的高吗？
生：可以，利用面积法：
SΔABC=12AB・hh=2SAB=52325=5435=154
师：在上述解题过程中，我们用到了二次根式的哪些性质和法则？
生：分别用到了：
a・b=a・bab=ab（要注意被开方数为非负数）
a2=a（a≥0）
师：特别注意a2和a2两个式子的取值范围。它们有什么区别？
生：根据二次根式被开放数的非负性的特点，前者a≥0，而后者的a可以取全体实数。
师：二次根式的“非负性”不仅仅体现在被开方数为非负数，二次根式本身也是非负的。
师：由此我们回顾了二次根式的四个性质，希望同学们熟练掌握。
二、例题
例题1：当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
32-x，-1x，-x2，x1-x2，x2-4-4-x2x+2
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有根号“”;第二，被开方数一定要大于或等于零。
例题2：已知：a、b为实数，a+4=b-6+6-b，求-1+ab
分析：二次根式本身的“非负性”，既要强调被开放数大于等于零，又要强调二次根式本身大于等于零，最终的结果一定要是最简二次根式。
例题3：已知：a=12-3，求a-1a2+4-a+1a2-4的值。
分析：本题突出二次根式的分母有理化和a2=a。
例题4：化简求值：x2-x3÷x1-x并选择一个合适的值带入求值。
分析：熟练运用二次根式的性质进行化简，并特别注意二次根式被开放数的非负性。
三、课堂练习
1.化简：
108=-42=9×8=32=2-32=（2-5）（5+2）=-x2y（x≤0）=
2.判断下列哪些是同类二次根式（）
A.12和12B.18和27
C.3和13D.45和54
3.当1
4.计算：
（42+27）（32-33）54-6×218
（24-412+128）÷227+25+2（7+5）（5+2）
四、小结
1.本节课主要复习了二次根式的基本概念及其相关的性质、运算，希望大家能深刻理解并熟练掌握。
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