函数思想范例(3篇)

函数思想范文

关键词：高中数学;化归思想;运用路径

针对现阶段高中教学情况，发现学习的内容并不局限于理论知识，更多的是关注我们自身能力的提升，以此提高我们思维的缜密性。化归思想可以帮助我们及时的将复杂的难题变得简单化，这样更加贴切我们的思考方式，让我们的解题难度又能降低。函数本身就是我们学习中的难点，如何合理的运用化归思想成为一个非常关键的问题。

1化归思想的基本概述

当我们面对任何问题的时候，都希望寻找合理的解决对策及时处理。在高中数学中，学习函数对于我们来说困难重重，为了更好的使我们掌握简便的解题技巧，老师们也开始积极的探索多种解题思路。化归思想就是结合着具体的题干，将函数复杂的内容简单化，这样我们便可以利用自有的知识量，选择合适的方式解决。在实际的解题过程中，我们一般认为化归思想也是一种有难度的解题方法，但是如果是缺少实际的解题思路，我们还是可以利用这样的方式。

2高中数学函数学习中化归思想的运用路径

函数的概念与很多题型的概念联系密切，通过简单内容的凸显，能够揭示出更多繁琐的内容。化归思想主要是适当的将题型内在的联系转化，然后让复杂的问题变得简单，解题的难度也可适当的降低。高中函数中存有的诸多题目都可以利用图像展示出来，这样在数形结合的基础上，保证利用化归思想的效果发挥出来，通过数字表达转变为图像展示，可以更加清晰的表达变量之间存有的关系。在实际解题的过程中，我们更习惯利用数字之间的联系运算，但是内在的联系还是无法了解到，通过图像的展示作用，我们可以明确数字的内在联系，以保证解题思路更加准确。

2.1将未知问题转变为已知问题

在解答数学题的时候，我们可以清楚地明白涉及到的知识点，但是实际运用的时候，却发现条件不足。函数本身的变量不足，若是出现了未知条件，我们将无法更好的解决函数问题。伴随着化归思想的应用，我们可以根据题干内容，把未知的问题转变为已知的问题，从而依照具体的解题思路，对相关问题逐一解答，这样便可以提升我们的解题能力，使得解题的步骤更具条理化。例如，我们在解答三角函数的相关问题时，可以把这类问题转变为常见的简单函数问题，例如二次函数等，由此可以使我们更好的通过变量构图，寻找出函数的特征，这样就能降低函数解题的难度。

2.2合理运用反向思维

在我们学习函数问题的时候，最常遇见的就是通过自己的计算得出问题的答案，但是还是不能按照详细的步骤完成对问题的解答，很多解答题型重视详细的解题思路，若是没有细致的解题过程，将会对得分产生限制。面对这样的问题，可以利用化归思想解决，通过将题干的答案视为已知条件，能够帮助我们树立正确的反向思维，然后及时的将正面问题反面化，我们就能实现反向的运算。例如在解答f（x）=4x2—ax+1这个题型的时候，需要只有一个区间（0，1），由此求出a的范围。明确一般的解题思路，学生们一般都是会利用变量的设定，合理的分析区间问题，这样的过程通过反面的角度分析，可以把区间视为已知，依照区间对变量及时的设定。通过这样的过程，使得我们更容易接受，也符合我们的逻辑思维，避免出现一些逻辑上的误区。在很多较为复杂的数学问题中，逻辑误区较多的时候，我们也会被误区所引导，由此会降低我们本身的解题能力。

2.3将函数图像化

在学习函数知识的时候，多数题目都需要利用图形来形象化的解决，我们也习惯利用表达式对函数的属性加以了解，从而更好的做出草图。通过正确的运用草图，我们便能通过对变量的合理设定完成作图，保证让相对复杂的函数图像更加形象。化归思想可以让我们在解题的时候，适当的将图形和方程相互结合到一起，保证更好的理解题目的内涵，在实际解题的时候，依照图像搭配相关的条件正确分析，由此降低原本的解题难度。

3结语

现阶段的高中数学学习中，一味的听从老师讲课，我们的解题能力将不会提升，还是需要我们树立正确的解题思维。函数对于我们来说一直是一个难点问题，为了更好的解决相关的难题，降低相应的难度，需要采取合理的解题方式。化归思想可以更好的引导我们的思维，将复杂的问题简单化，这样便能拓宽我们的解题思路，为我们更好的了解函数解答过程提供有利条件。

参考文献：

［1］史林可.化归思想在高中数学函数学习中的运用［J］.科技风，2017（03）：205.

［2］常佳.化归思想在高中数学函数学习中的运用［J］.科学大众（科学教育），2017（01）：20.

［3］马学静.高中函数学习中化归思想的应用［J］.华夏教师，2016（03）：44.

函数思想范文篇2

一、方程思想

通过列方程（组）求解数学问题的一种解题策略，我们称之为方程思想.在本章中许多问题都可以通过列、解方程（组）解决，其中方程思想体现最多的是利用待定系数法求二次函数解析式.

例1已知二次函数的图象顶点是（1，-4），且经过点（3，0），求这个二次函数的解析式.

【分析】为了拓宽同学们的视野，我们分别采用一般式、顶点式及交点式三种方法求二次函数解析式.

【解法1】设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，根据题意，a+b+c=-4，9a+3b+c=0，-■=1.

解得a=1，b=-2，c=-3.

所以二次函数解析式为：y=x2-2x-3.

【解法2】因为抛物线的顶点为（1，-4），所以设二次函数的解析式为：y=a（x-1）2-4，把（3，0）代入上式，得a（3-1）2-4=0，解得a=1，则二次函数解析式为：y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3.

【解法3】因为抛物线的顶点为（1，-4），且经过点（3，0），可知抛物线经过点（-1，0），所以设二次函数的解析式为：y=a（x-3）·（x+1），把（1，-4）代入解析式，解得a=1，则二次函数解析式为：y=（x-3）（x+1），即y=x2-2x-3.

【点评】方程思想体现了已知与未知的对立统一关系，解法1是设一般式求解，即利用顶点坐标公式和点的坐标满足解析式来列方程组；解法2是利用顶点式求解；解法3利用抛物线与x轴的两个交点，得到交点式解析式，然后把点（1，-4）代入所设的解析式，从而得解.显然解法2是本题的最佳解法.

二、数形结合思想

“数无形时少直观，形少数时难入微”，数形结合思想就是充分利用数量关系和图形的结合，寻求解题思路，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，从而达到以形助数、以数解形的效果.

例2已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图1所示，有下列5个结论：①abc>0；②a-b+c>0；③4a+2b+c

A.2个B.3个

C.4个D.5个

【分析】观察抛物线的位置走向、关键点的位置坐标以及解析式中各系数与图象的对应关系，从而作出判断.

解：观察图象可知，抛物线开口向下，得a0，因为抛物线与y轴的交点在y轴的上方，可得c>0，则abc

【点评】二次函数的图象与二次函数中的字母系数有着密切关系，利用二次函数的图象信息，将数与形有效地结合与转化，根据图象信息转化为方程或不等式再求解，从而较好地实现以形助数、以数解形的效果，这也是近几年中考的热点.

三、函数模型思想

函数模型思想意在把错综复杂的实际问题简化、抽象为数量间关系，即用数学语言描述实际现象.生活中的许多问题，如最大利润、最小成本、方案最优化等，常常需要建立函数模型解决.

例3某宾馆客房部有60个房间供游客居住.当每个房间的收费定为每天200元时，房间可以住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.对游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x元，求：

（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数解析式；

（2）该宾馆每天的利润W（元）关于x（元）的函数解析式；当每个房间的定价为每天多少元时，W取得最大值.

【分析】每天的入住量=总房间数-每天的定价增加量÷10，每天的房间收费=每间定价×每天入住量，每天的利润=每天的房间收费-各种费用总和.

解：（1）y=60-■x；

（2）W=（200+x）60-■-20×60-■，即W=-■x2+42x+10800=-■（x-210）2+15210.当x=210时，W有最大值15210，此时，x+200=410，即当每个房间的定价为每天410元时，W有最大值是15210元.

【点评】二次函数是能够刻画现实生活中某些情境的数学模型.一般先根据题意把实际问题中的条件转为数学条件，再确定函数解析式，利用函数解析式去解决实际问题.求解过程中关键要求出自变量的取值范围，再运用二次函数的性质求解.

四、转化思想

转化思想是将未知问题或难以解决的问题，通过观察、分析、类比等途径，转化为我们已解决或易于解决的问题.简单地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，通过转化，使复杂问题变得简单.

例4利用函数图象判断方程2x2-x-1=0有没有实数解，若有，求出它的解（精确到十分位）.

【分析】求一元二次方程的近似解可以转化为用函数图象解方程，这里介绍两种方法：一是看函数y=2x2-x-1与x轴交点的横坐标；二是看二次函数与一次函数图象交点的横坐标，如看函数y=2x2与y=x+1的图象的交点的横坐标.

【解法1】设y=2x2-x-1，则方程2x2-x-1=0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标.同学们不妨在平面直角坐标中画出函数y=2x2-x-1的图象，设其与x轴交点为A、B，则点A、B的横坐标x1、x2就是方程的解.由图象可知x1≈-0.5，x2≈1.0.

【解法2】在平面直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=x+1的图象，得到两函数图象的两个交点A、B，且A、B两点的横坐标x1、x2就是方程的解.由图象可知x1≈-0.5，x2≈1.0.

【点评】转化思想就是换一种方式去思考，使问题朝着有利于解决的方向去发展.本例把求一元二次方程的近似解转化为利用函数图象解方程，从而达到化抽象为具体、化复杂为简单的效果.转化思想在本章中有很多的应用，如通过平移二次函数图象把复杂的二次函数转化为简单的二次函数，如通过观察二次函数的图象巧妙地求解一元二次不等式问题以及一元二次方程的有无实数解问题，如把实际问题中的求最值问题转化为二次函数的求最值问题等等.学好用好转化思想，有如顺水推舟，能大幅提升解题能力.

五、分类思想

当问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别求解，这种方法称之为分类讨论思想.分类必须遵循以下两条原则：（1）每一次分类要按照同一种标准进行；（2）不重复，不遗漏.

例5如图2所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方），若OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4），求S关于t的函数关系式.

【分析】当0≤t≤4时，随着直线l的平移，点N在线段OC上，点M可能在线段OA上，也有可能在线段AB上，因此计算OMN的面积时要进行分类讨论.

解：当0≤t≤2时，点M在线段OA上，ON=t，MN=■t，S=■ON·MN=■t2；

当2≤t≤4时，点M在线段AB上，ON=t，MN=2■，S=■ON·MN=■t.

例6若函数y=（a-1）x2-2ax+a与x轴总有交点，求a的取值范围.

【分析】由于题设中未说明函数的次数，也未说明图象与x轴的交点个数，因此题设中的函数可能是二次函数也可能是一次函数.

函数思想范文

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点.我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决.

1.三角中的函数思想

三角函数也是一种特殊的函数，它除了具有一般的函数性质外，还有其特殊之处，因此运用函数思想来解题会使学生在加深理解的同时，培养与提高其创新思想.

例1若cos2θ+2msinθ-2m-2

解析本题为恒成立问题，从函数思想出发，则转化为二次函数f（x）=x2-2mx+2m+1=（x-m）2+2m+1-m2在-1≤x≤1下求m的范围问题.

2.向量中的函数思想

向量作为数学中的一种工具，有其重要性.它的方向、模与数量积等很容易被迁移到函数问题的情景之中，这样在加深向量理解的同时，也对函数思想的应用进一步深化.

例2已知向量i=（1，0），j=（0，1），函数f（x）=ax4+bx2+c（a≠0）的图像在y轴上的截距为1，在x=2处切线的方向向量为（a-c）i-12bj，并且函数当x=1时取得极值.（1）求f（x）解析式；（2）求f（x）单调递增区间；（3）求f（x）极值.

解析本题为综合题，它融合了向量、导数等多方面知识，而（1）的解决是问题的关键.它要求出f（x）的解析式，需三个条件，在这三个条件中，第二个条件较为复杂，它使导数与向量达到完美的结合，因为（a-c）i-12bj=（a-c，-12b），所以切线的斜率为-12b1a-1，从而f′（2）=-12b1a-1，实现了向量与函数的转化.

3.解析几何中的函数思想

解析几何的特点就是用代数的方法研究几何问题，因此代数中方法可以迁移至解析几何中，而函数思想作为代数中一种常用的思想，在解析中自然有其展示的空间，使得问题简化.

例3已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积最小值是.

解析对此题我们为明确圆在坐标系中的位置，可把圆配方：（x-1）2+（y-1）2=1，如图.

如设|PC|=d，由题意可列出SPACB关于PC=d函数式：SPACB=2，SAPC=2×112×1×|PA|=|PC|2-1=d2-1，求函数的最小值得之.

4.复数中的函数思想

复数作为数集的完备形式，其中心是：建立复平面上的点与向量的一一对应关系，使得代数形式与三角形式结合在一起，其辐角最值的问题很容易转化为函数问题.

例4设z=3cosθ+2sinθ，求函数y=θ-argz（0

解析本题要求角的最大值，只需求角的某一个三角函数即可.

tan（argz）=2sinθ13cosθ=213tanθ，

tany=tan（θ-argz）=tanθ-213tanθ11+213tann2θ=1131tanθ+2tanθ.