概率公式(6篇)

概率公式篇1

关键词：概率方法

确定概率的古典方法是概率论历史上最先开始研究的情形，不需要做大量的重复试验，而且在经验事实的基础上，对被考察事件的可能行进行逻辑分析后得出该事件的概率。计算古典概型的常用方法有以下几种。

一、直接用古典概率的定义计算

定义：若事件A是古典概型中的的随机事件，则P（A）=，其中Ω为包含事件A的样本空间。

例1.一个吧六根草紧握手中，仅露出它们的头和尾，然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接。求放开后六根草恰好连成一个环的概率。

解：因为“六个尾两两相接”，不会影响是否成环，所以我们只需要考虑“六个头两两相接”可能出现的情况，若考虑头两两相接的前后次序，则“六个头两两相接”共有种不同结果，这是分母，而需成环则第一步从6个头中任取一个，此时余下5个头有一个不能相接，只可能与余下的4个头中的任一个相接；第二步从未接的4个中任取一个与余下的2个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个相接，这总共有6×4×4×2×2×1种可能接法。由此所求的概率为P==。

二、利用概率加法公式进行计算

例2.在1～2000的整数中随机地取一个整数，求取到的整数既能被6整除，又能被8整除的概率。

解：设事件A=“取到的数能被6整除”，事件B=“取到的数能被8整除”，事件C=“取到的整数既能被6整除，又能被8整除”；则C=A∪B，由于333

三、利用事件的对立事件进行计算

例3.从数字1，2，…，9中可重复地任取n次，求n次所取数字的乘积能被10整除的概率。

解：设事件A=“至少一次取到5”，事件B=“至少一次取一个偶数”，事件C=“n次所取数字的乘积能被10整除”；则C=AB，C=A∪B，又因为P（A）=，P（B）=，P（AB）=所以P（C）=1-P（C）=1-P（A）+P（B）-P（AB）=1-

例4.某单位一个班有男生9人，女生5人，现要选出3个代表，求选出的3个代表中至少有1个女生的概率。

解：设事件A=“3个代表中至少有1个女生”，则A=“3个代表全为男生”

P（A）==，所以P（A）=1-P（A）=1-=.

四、利用全概率公式进行计算

例5，m个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余的m-1个人中的任何一个，求第n次传球时球仍然由甲传出的概率。

解：设事件A=“第i次传球时由甲传出”记pi=P（Ai），i=1，2，...则p1=1，且pi=P（Ai+1丨Ai）=0，pi=P（Ai+1丨Ai）=，所以由全概率公式P（An）=P（An-1）P（A丨An-1）+P（An-1）P（A丨An-1）=pn-1×0+（1-pn-1）=得递推公式pn=（1-pn-1）n≥2，将p1=1代入递推公式可得pn=[1-（）n-2]

五、使用贝叶斯公式进行计算

例6，学生在做一道又4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就作随机猜测。现从卷面上看题目是答对了；试在以下情况求学生确实知道正确答案的概率：

（1）学生知道正确答案和猜测的概率都为；

（2）学生知道正确答案为0.2。

解：A=“题目答对了”，B=“知道正确答案”则有P（A丨B）=1，P（A丨B）=0.25

（1）此时有P（B）=P（B）=0.5，所以由贝叶斯公式得

（2）此时有P（B）=0.2，P（B）=0.8所以由贝叶斯公式得

概率的计算是学好概率的基础，后面的随机变量的分布，随机变量的数字特征都以概率的计算作为基础。

参考文献：

[1]盛骤谢式千潘乘毅，概率论与数理统计（第四版），高等教育出版社，2008.

概率公式篇2

1“条件概率”

国家新课标高中数学学科将“条件概率”作为增设内容，放置在《数学?选修2-3》第二章“随机变量及其分布”的第二节“二项分布及其应用”的第一小节[1]，其概念为事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率，其中涵盖了古典概型和几何概型，涉及的理念包括随机事件、基本事件、和事件、互斥事件概率公式及古典概型概率公式等，计算观念较为抽象，需要教师在学习开始前，教导学生复习基础知识，便于使用。

2“条件概率”教学难点

2.1各要素的不同特征

在学习“条件概率”时，第一个难点就是理解其概念内容，形成初步认识，其概念定义表示为p（A丨B），即已知B事件发生的情况下事件A的发生概率，在此概念中有三个要素，即：事件A、事件B和条件关系，此三者一项都不可缺少，事件A具有随机性，事件B具有确定性，条件关系则存在各种各样的表达方式，教师在教导此部分内容时，需要由浅入深、由难到易，使学生接受概念并灵活运用。

首先需要掌握的方法?橹苯蛹扑惴ǎ?这是最为基础也是最为简单的计算方法，可以采用简单的题目，如：随机抛掷一颗质地均匀的骰子，求掷出的点数不超过3的概率，可直接由由古典概型的概率公式得到p（A）=1/3，然后在此基础上加大难度，研究已知掷出了偶数点，求掷出的点数不超过3的概率，则掷出了偶数点为已知B事件，B变为新的样本空间，其样本点具有等可能性，可计算p（A丨B）=1/3[2]。

其次可以渐渐引入公式法的计算，引入中可以借由题目使学生明白条件关系不单单只有实质条件关系，也可能为形式条件关系，以下题目为例：甲乙丙按顺序抽一张电影票，探究乙抽到电影票时甲抽到电影票的概率，此题目中事件B于事件A发生后发生，不可能影响事件A发生，因此AB间关系只为形式关系；除此之外，在不存在显明条件结构的条件概率中，其中的条件事件定为实质条件，以下题为例：某生物有0.7的概率存活至20岁，有0.56的概率存活至25岁，那么这种动物现已20岁，求活至25岁的概率，此题目中活到20岁为已知A事件，也是活到25岁的先决条件，根据条件概率的计算公式p（A丨B）=p（AB）/p（A）=p（B）/p（A）=0.8.

2.2界定概念要素和细节

在了解了条件概率的定义和基本公式后，需要进行概念的深挖掘，体会其中的细节内容，将概念掌握的更为牢固。此过程需要教师用更多的题目实例进行讲解，对不同类型的经典题目进行对比区分，确保学生完全掌握。

在解题中要避免望文生义，将辅加条件和题目核心条件相混淆，以下面的题目为例：甲乙两人同时加工120个零件，甲加工70个，其中65个正品，乙加工60个，其中50个正品，求任取一件样品为正品的概率，任取一件样品为甲生产正品的概率？同学在解题过程中可能会存在误区，认为已知是取到了一件正品，误以为甲生产正品的概率为p=65/115，然而忽略了文中说随机抽取一件样品，答案应当是p=65/120，这是学生在条件概率中非常容易犯的错误，主要是因为对题目的理解出现了偏差，教师在教导中应当将同类型的题目列举，使学生反复细心读题，剖析题目含义。

2.3变式练习和纠错练习

在解题中，可能会出现一些疑似条件或者干扰条件，我们将条件概率引入主要是为了在充分利用已知信息时，还能在现有条件中进行更为复杂的概率计算，因此一些变式练习有助于增强我们对于概率计算的了解；除此之外，眼过千遍不如手过一遍，并且数学的学习是一个反复练习的过程，增加纠错练习，可以使学生尽量减少出错率，在教学中，学生练习题目后老师对结果进行点评，指出学生计算失误之初，并教导其进行辨析，可安排学生准备纠错本，将错误的题目进行记录，反复练习，特别是对于屡次出错的题目，必须尤为关注，明晰出错的原因和正确的解题思路。

2.4挖掘深层内容

人在学习中就是对一个概念不断深化的过程，数学学习，尤其是“条件概率”的学习更是如此。再了解了简单知识后，教师不妨对授课内容进行深化，比如说以下题目：已知质点M在实数轴上的区间[0，5]内随机地跳动，设事件A={2}，事件B={2，3}，试研究事件A、B的独立性。此题目明显比上文中提到的题目更为复杂，若通过几何概型的概率公式计算我们认为二者独立，若根据B作为新的样本空间，其样本点具有等可能性，古典概型概率公式计算其不独立，结果就变为矛盾结果，对此，教师必须明白须在条件概率p（A丨B）的定义中限定p（B）>0，当后续概率公式是由条件概率进行推导而来时[3]，必须规定相应的条件。在深层挖掘中，一部分学生可能受到基础限制，很难理解这部分内容，教师需要细心讲解，并且根据学生的情况改变教课的分配比，做到因材施教。

概率公式篇3

【关键词】全概率公式逆概率公式样本空间的划分

【中图分类号】O211【文献标识码】A【文章编号】1674－4810（2012）05－0026－02

一全概率公式和逆概率公式

定义1：设S是随机试验E的样本空间，B1，B2…，Bn是E的一组事件，若：（1）BiBj＝Φ，i≠j；（2）B1∪B2∪…∪Bn＝S，则称B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分。

注：若B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分，则：

P（B1）＋P（B2）＋…＋P（Bn）＝1

定理1：设随机试验E的样本空间S，A为E的任意一个事件，B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分，且P（Bi）＞0，则：

P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋…

＋P（Bn）P（A｜Bn）

此公式称为全概率公式。

定理2：设随机试验E的样本空间S，A为E的任意一个事件，B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分，且P（Bi）＞0，P（A）＞0，则：

P（Bk｜A）＝（k＝1，2，…，n）

此公式称为逆概率公式（也称贝叶斯公式）。

从定理1和定理2可以看出，不论是全概率公式，还是逆概率公式，都需要给出样本空间的一个划分B1，B2…，Bn。如何对样本空间进行合理划分是求解问题的关键。下面，我们给出对样本空间进行划分的基本原理，并通过实例进行说明。

二对样本空间进行划分的基本原理

原理1：若完成某项试验需要多个步骤，问题关心的是某个步骤完成后某个事件发生的概率，则可以依据前面某个步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分。

我们通过下面两个例子对原理1进行说明。

例1，设有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个红球和4个白球，乙盒中有2个红球和3个白球。现从甲盒中任取一球放入乙盒，再从乙盒任取一球，问从乙盒取到白球的概率为多少？

【例题解析】完成该试验需要两个步骤。步骤1：从甲盒任取一球；步骤2：从乙盒任取一球。问题关心的是第二个步骤完成后的结果，那么根据原理1，我们可以根据第一个步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分，即：从甲盒取到红球或白球。

解：设B1＝｛从甲盒取到红球｝，B2＝｛从甲盒取到白球｝；A＝｛从乙盒取到白球｝。

则B1、B2就是对样本空间的一组划分，且：

P（B1）＝P（A｜B1）＝

P（B2）＝P（A｜B2）＝

由全概率公式，得：

P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）

例2，在电报通讯中发出“0”和“1”的概率分别为0.6和0.4。由于干扰，当发出信号“0”时，分别以概率0.8、0.1和0.1接收为“0”、“1”和模糊信号；当发出信号“1”时，分别以概率0.7、0.1和0.2接收为“1”、“0”和模糊信号。（1）求收到模糊信号的概率为多少？（2）如接收到的是模糊信号，把它翻译成？

【例题解析】完成该试验需要两个步骤。步骤1：发出信号；步骤2：接收信号。问题关心的是第二个步骤完成后的结果（收到模糊信号），那么由原理1，可以根据第一个步骤完成后的所有可能结果来对样本空间进行划分，即：发出信号“0”或“1”。

解：设B0＝｛发出信号“0”｝，B1＝｛发出信号“1”｝；A＝｛接收到模糊信号｝。

则B0、B1就是对样本空间的一组划分，且：

P（B0）＝0.6P（A｜B0）＝0.1

P（B1）＝0.4P（A｜B1）＝0.2

（1）由全概率公式，得：

P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）

＝0.6×0.1＋0.4×0.2＝0.14

（2）由逆概率公式，得：

P（B0｜A）＝

P（B1｜A）＝

答：把模糊信号翻译成“1”更好。

有时，随机事件之间看不出明显的步骤差异。在这种情况下，我们可以依据以下原理对样本空间进行划分。

原理2：若样本空间的样本点可以根据不同的方法进行分类，而问题关心的是按照某一分类方法进行分类是某种可能结果发生的概率，则我们可以根据另外一种分类方式对样本空间进行划分。

我们通过下面两个例子对原理2进行说明。

例3，设某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%、35%和20%，且各车间的次品率分别为2%、3%和5%。现在从待出厂的产品中任意抽取一件，（1）求其为次品的概率；（2）已知抽中的是次品，问其来自哪个车间的可能性最大。

【例题解析】本例中样本空间的样本点为产品，具有不同的分类方式。分类方式1：正品和次品。分类方式2：来自甲厂、来自乙厂和来自丙厂。现在的问题关心的是第一种分类方式的某个结果，即次品，那么可以按照第2种分类方式对样本空间进行划分。

解：设B1＝｛该产品由甲厂生产｝，B2＝｛该产品由乙厂生产｝，B3＝｛该产品由丙厂生产｝；A＝｛该产品为次品｝。

则B1、B2、B3就是对样本空间的一组划分，且：

P（B1）＝0.45P（A｜B1）＝0.02

P（B2）＝0.35P（A｜B2）＝0.03

P（B3）＝0.20P（A｜B3）＝0.05

（1）由全概率公式，得：

P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋P（B3）P（A｜B3）＝0.45×0.02＋0.35×0.03＋0.2×0.05＝0.0295

（2）由逆概率公式，得：

P（B1｜A）＝

P（B2｜A）＝

P（B3｜A）＝

答：该次品来自第2个车间的可能性最大。

例4，甲、乙、丙三门大炮同时向一艘战舰射击，三炮击中的概率分别为0.6、0.5、0.7。战舰被击中一炮而沉没的概率为0.4，被击中两炮而沉没的概率为0.6，被击中三炮而沉没的概率为0.9。（1）求战舰被击沉的概率；（2）已知战舰被击沉，求它被击中一次的概率。

【例题解析】本例中样本空间也可以按照不同方式进行分类的具有不同的分类方式。分类方式1：按照被击中的次数分为击中0次、击中1次、击中2次和击中3次。分类方式2：按照是否击沉分为击沉和没有击沉。现在的问题关心的是第2种分类方式的某个结果，即击沉，那么可以按照第1种分类方式对样本空间进行划分。

解：设B0＝｛战舰被击中0次｝，B1＝｛战舰被击中1次｝，B2＝｛战舰被击中2次｝，B3＝｛战舰被击中3次｝；A＝｛战舰被击沉｝。

则B0、B1、B2、B3就是对样本空间的一组划分（为了方便计算B0、B1、B2、B3发生的概率，需要定义另外一组事件）。

设Ci＝｛第i门大炮击中战舰｝，i＝1，2，3。则：

P（B0）＝P（）＝P（）P（）P（）＝0.4×0.5×0.3＝0.06

P（B1）＝P（）＝0.6×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＝0.29

P（B2）＝P（）＝0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＋0.4×0.5×0.7＝0.44

P（B3）＝P（C1C2C3）＝P（C1）P（C2）P（C3）＝0.6×0.5×0.7＝0.21

（1）由全概率公式，得：

P（A）＝P（B0）P（A｜B0）＋P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋P（B3）P（A｜B3）＝0.06×0＋0.29×0.4＋0.44×0.6＋0.21×0.9＝0.569

（2）由逆概率公式，得：

P（B1｜A）＝

注：对某些题目，依据原理1或原理2都可以进行求解，可以根据自己的偏好进行选择。

三结语

对样本空间进行合理划分是使用全概率公式和逆概率公式的前提。本文给出了对样本空间进行划分的两个原理，并通过实例验证了所给方法的可行性。

概率公式篇4

关键词：概率论与数理统计必要性实践

中图分类号：G642文献标识码：CDOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.13.124

1概率论与数理统计的定义和特征

概率论与数理统计是研究随机现象数据规律的一门课程，主要告诉人们如何有效地收集、整理和分析数据，对所观察的问题做出推断、预测，并能为未来提供合理决策和建议。在开设课程中，公安专业中一般需要半个学期，主要内容包括：概率论的基本概念、随机变量及其概率分布、数字特征、参数估计和假设检验、回归分析等。

概率论与数理统计学科产生于17世纪，在20世纪得到了迅速的发展，成为了人类的重大科技成就之一。因此，概率与数理统计作为一门应用很强的学科，应具有其本身的特征，主要体现如下。

第一，概率论与数理统计的研究对象是随机现象。

依据事件的发生的可能性，人们把自然现象发成必然现象、不可能现象、随机现象。而概率论与数理统计的研究对象正是随机现象。随机现象是指，在一定的条件下，并不总是出现同一个结果的现象。从这个定义上看，随机现象的结果数应该是大于等于2个的，而到底出现哪一个，人们是不能提前得知的。

第二，概率论与数理统计是对数据的处理，具有较强的客观性。

数据是概率论与数理统计研究的原始材料。一切事物都是有质和量两个方面的，并且质和量紧密联系共同定义客观的事物。没有无质的量，也没有无量的质，质与量相伴相生。然而，在认识事物时，质与量却可以分开，对某一事物的研究，可以先单独研究数量，通过对数量的研究进而研究质。因此，对事物量的研究是人们认识事物的重要一方面。通过研究数据作为一个出发点，进而研究整个事物，是目前人们使用的最主要的研究方法之一。

第三，概率论与数理统计作为方法论，是属于归纳法的。

概率论与数理统计是根据实验和调查，得到大量的个体，并对这些个体进行研究，然后加以总结，得出总体规律的。比如说，我们要证明等腰三角形的两底角相等，运用概率与数理统计的方法，就是我们要做出来许许多多，各式各样的等腰三角形，量一量底角，看有是否相等。然后根据这些有限的等腰三角形的两底角是否相等的情况，来推而广之所有的等腰三角形的两底角的情况。这就算概率论与数理统计的研究方法。

2概率论与数理统计方法在公安工作中的应用

概率论与数理统计作为一种定量的分析手段，并不是要教会学生怎么求均值，求方差，而是要交给学生是一种思维的方式，解决问题的方式。

现结合公安实际工作来看下概率与数理统计思想是如何应用的。

例1警力分配。根据一段时期内某个地点发生违法犯罪案件数量，来配备该地区的警务人员。

如下图，给出了某市四个区域在一年中每月任意4天发生案件数总和。

如上图所示，甲地和丁地将是重点防御区域，可以加大警力。

例2以案发现场留下的脚印长度测算犯罪嫌疑人身高。侦查人员可以根据收集到的罪犯脚印长度，并按照公式：身高=脚印长度×6.88，估算出罪犯的身高。上述公式的得到就是应用了数理统计学中的二维随机变量的数学期望理论。

例3依据罪犯留下的某一数字信息，排查嫌疑人。在犯罪现场勘查过程中，测得现场人左步长的若干数据，现又密取到某一嫌疑人左步长的若干数据，一般情况下，这两组数据不完全一样，那这个差距是如何造成的呢？[1]是偶然原因造成，还是根本就不是同一个人呢？能不能根据这两组不同的数据做出判断，即排除该嫌疑人，或者将该嫌疑人作为重点疑犯。这个时候就可以用概率轮与数理统计中的假设检验来解决这个问题。举例如下：

在某一案件犯罪现场测得左步步长的15个数据，分别为：77，76，75.5，74，75.5，74.5，73，79，79.5，79，78，77，77，77，76.5（单位：厘米）。密取了嫌疑人左步长15个数据为：83.5，79.5，77.5，79.5，78，83.5，81，76.5，79.5，80，80.5，82，83，83，80.6（单位：厘米）。

现场左步长与嫌疑人的左步长是否有显著差异？

取a=0.001

X≈76.6

Y≈80..5

|U|≈12.342

查统计表可得：U0.001=3.3

|U|>U0.001

所以，我们有99.9%的概率认为现场测得的步长与嫌疑人的步长不是同一个人的，因此，可将此嫌疑人排除。

例4犯罪机理的研究。通过一元线性回归方法可以研究文化程度与犯罪率之间的关系。举例如下：

研究人们的文化水平与犯罪率之间的关系，随机抽选1000人作调查，得到数据如下：

通过统计软件很快得到y与x的关系：

Y=4.42―0.319x

这个方程表明犯罪率（Y）与人们受教育年限（x）之间成负相关关系。式中4.42是表示人们受教育年限为零时犯罪率为4.42%，式中一0.319是表示人们受教育年限每增加1年时，犯罪率的平均减少值为0.3188%，也就是10000人中将减少30个人左右[1]。

通过上述例子，能够真切的感觉到，概率论与数理统计的方法虽不能够提供最正确的结论，但它能够使人们在可能出现多种结果的情况下，做出某种判断，而这种判断将你出错的可能性控制在最小的范围内。在公安工作中应用概率论与数理统计方法地方还有很多：比如依据指纹特征进行指纹识别；依据语言规律进行语言识别和语音识别；依据罪犯信息特征（如罪犯性别、年龄、职业等）的统计分析，发现犯罪规律；依据交通流量的统计，查找交通拥堵，进行道路改良或制定政策；依据消防火警和火灾的统计，发现分布规律，预测和防止火灾等等。

3概率论与数理统计的学习与公安院校教育的关系

第一，概率论与数理统计的学习是公安专业很多课程学习的基础。

犯罪情报学、公安信息系统应用、计算机犯罪侦查、公安统计等课程跟概率与数理统计内容都有很大关系，数理统计作为这些课程的基础，有助于学生理解和学习公安专业的课程。

在新的学科门类中，公安技术学是在工学门类下的。概率与数理统计是工学学科必修的一门课程，也是支撑公安技术学专业课程的基础课。

第二，概率论与数理统计的学习有助于学生完成本科毕业论文。

在文章写作过程中，定性分析和定量分析是较为重要的研究方法，尤其是定量分析越来越受到人们的青睐。而概率论与数理统计方法正是定量分析的一部分。若学生在本科学习阶段，学会一两种简单的概率论与数理统计方法，比如回归分析、方差分析等的方法，有助于他们对问题的分析，以及毕业论文的完成。

第三，概率论与数理统计学习可以提高公务员考试成绩，有助于学生的就业。

学生的就业一直是学校、家长、学生关心的重点。在警察院校，毕业之后能去做警察，应该是一个学警最直接、最渴望的出路。要想成为警察现今最主要的途径就是考公务员，而在公务员考试试题中，涉及概率、统计的试题是相对较难的部分。若学生学过这些知识，那么这部分难点将不再是问题。

参考文献：

[1]熊允发.谈加强《数理统计》课程的必要性[J].中国人民公安大学学报，2006，（1）.

概率公式篇5

[关键词]贝叶斯分析情报分析贝叶斯定律

[分类号]G35

1贝叶斯分析在情报分析中的应用现状

贝叶斯分析是统计学领域的贝叶斯定理在情报分析中的应用。贝叶斯分析的目的就是通过以往发生的事件的概率，推断未来某一事件发生的概率，即进行未来某一事件发生的预测。

采用贝叶斯分析这一情报分析工具不仅可以精确地估算出各种假设发生的概率，而且可以把大量的证据信息通过概率估算融合成高质量的情报结论，这可为用户提供重要的决策依据。因此，贝叶斯分析在情报分析中有着重要的理论意义和实践意义。鉴于此，本文将试图以案例研究为基础，探讨贝叶斯分析在情报分析中的应用。

尽管贝叶斯分析在情报分析领域有着上述重要的研究意义，但是目前关于贝叶斯分析在情报分析领域的应用研究尚不充分。尽管目前关于贝叶斯分析的学术研究文章有很多，典型代表有文献[1－5]，但这些文章仅是在数学领域研究和探讨了贝叶斯分析的基本原理、功能、过程、方法和应用，而没有将其移植、改进和挖掘到情报分析领域的应用研究。文献[6]是众多研究贝叶斯分析的学术研究文章中较少几篇研究贝叶斯分析在情报分析领域应用的文章之一，尽管如此，该文仅是进行了贝叶斯定理在情报分析领域应用中的过程描述，而没有详细、深入地进行贝叶斯定理在情报分析领域应用中的案例研究。因此，本文将以案例研究为主线，着重研究贝叶斯分析在情报分析中的应用。

2贝叶斯分析的基本原理

2.1贝叶斯定理的基本思想

该思想是由英国数学家马斯・贝叶斯提出的，具体内容为：虽然世界是不确定的，但如果已知以往事件发生的概率，那么根据数学方法就可以精确地、定量地计算出未来事件发生的概率。贝叶斯的这一思想和有关的公式算法，被人们称为贝叶斯定理。贝叶斯定理在基因工程、天气预报、经济预测等方面有着广泛的应用，特别是在情报分析领域中的情报预测作用更加明显。

2.2贝叶斯分析的定理

预测的实质就是估算问题的每一种可能事件发生的概率，其本质就是对那些可以预测的事件给出发生的概率。因此，贝叶斯定理指出，对于那些可以预测的问题，各种可能性的概率都可以通过历史数据的统计计算得出。其具体的计算概率包括初始概率、似然比、后验概率，即先算出某一事件发生的初始概率值，在估算出该类事件发生的似然比并计算出该类事件发生的后验概率后，即可预测该类事件未来发生的概率，以完成对未来的情报预测。

2.3贝叶斯分析的步骤

贝叶斯分析的基本操作步骤包括：建立假设群、估算初始概率p0(H)、建立证据列表{E}t、估计似然比PR、计算后验概率P(Hi|Ei)、持续监控。

3贝叶斯分析在情报分析中的案例应用研究

贝叶斯分析的具体操作是运用贝叶斯定理对各种假设进行定量的概率估算，对假设群内的各个假设进行缜密的分析评估，并根据新增证据信息的变化随时更新分析结论，以实现对所获取的海量证据信息的真正融合。本文将通过案例来研究贝叶斯分析在情报分析中的应用步骤。

案例：新政府是否会继续支持生产枪支?

某地区的武装政权长期支持有组织的生产枪支的活动，并动用政权大肆向别国走私枪支以换取外汇。然而，近期，该政权控制区发生了暴动并产生了新的政权。那么新政权是否会继续支持生产枪支呢?本文将通过贝叶斯分析进行该类情报分析。

3.1建立假设群

此步骤即为提出各种可能的假设，形成相互独立的穷尽各种可能的假设群的步骤。

为了分析与预测出该类情报分析的结论，笔者组织相关情报专家进行摸底会议，会上提出了多种可能的结论，这些可能的结论可归纳为以下三种假设：

H1：代表假设1，即新政权已经彻底放弃生产枪支的政策；

H2：代表假设2，即新政权将继续奉行生产枪支的政策；

H3：代表假设3，即新政权将逐渐放弃生产枪支的政策。

根据贝叶斯分析公式，此处H代表假设，{H}代表具有K个假设的假设群，即{H}=H1H2H3…Hk。

3.2估算初始概率p0(H)

此步骤即情报分析人员根据贝叶斯分析公式，对所有假设赋予初始概率值p0(H)。

初始概率值p0(H)，是指在不参照任何概率的情况下，各假设发生的概率。因为在假设群中所有假设发生的概率之和等于1，其数学公式为：∑P0(H)1-k=1，因此，通常情况下，当没有任何明确的证据支持或反对任何一个假设时，这些假设发生的概率相等，这时每个假设的初始概率p0(H)=1／k。根据此公式，案例的H1、H2、H3的初始概率值均为0.33％，如表1所示：

3.3建立证据列表{E}t

本步骤即是建立案例的相关证据列表。

证据列表是关于某项需证实的问题的相关证据的列表清单，该清单是按时间顺序排列的。贝叶斯分析公式要求用E代表证据，{E}t代表由第1项至第t项证据组成的证据列表，如表2所示：

情报分析人员根据进一步获得的关于“新政权是否会继续坚持生产枪支的政策”的证据信息，建立案例的相关证据信息列表，如表3所示：

3.4估计似然比PR

3.4.1似然比的含义似然比是贝叶斯分析在情报分析应用中的核心概念。似然比描述了假设群{H}和某一证据E之间的关系，用数学语言表述为似然比PR=(当假设Hi成立时观察到的证据E的可能性)／(当假设H1成立时观察到的证据E的可能性)。即当假设Hi成立时观察到的证据E的可能性与当假设H1成立时观察到的证据E的可能性之间的比值就是似然比。

3.4.2估测似然比的原因之所以要估测似然比，是因为通过似然比可以直接发现情报人员所提供的原始情报中的非诊断性证据。通过这种方法，情报分析人员可以排除非诊断性证据，并为用户提供诊断性证据，以利于用户更准确地进行决策。非诊断性证据是情报分析中的一个术语，该类证据不能直接准确地支持某一类或某一个假设，而是支持所有的假设，对于这种不负责任的假设必须加以排除，才能确保某证据对某一类或某一个假设的准确支持。

3.4.3似然比的估测步骤在贝叶斯分析中，似然比的估测步骤可以从第一时刻的证据E1开始。首先在假设1存在的情况下观察到t时刻的证据E1的概率相对数是1，然后再估计在假设2存在的情况下，观察到证据E1的概率相对数，以此类推，直到估计了所有假设成立的情况下，观察到证据E1的概率相对数。在此基础上，再对第二时刻的证据E2、第三时刻的证据E3分别进行似然比的估测。该过程通常可用似然比估测表来进行，如表4所示：

3.4.4案例的似然比估测

根据上述贝叶斯似然比的含义和贝叶斯似然比的估测步骤，对案例的似然比进行估测，并建立估测表。

首先对于第一个证据“新政权领导人向媒体透漏，将放弃生产枪支的政策”进行似然比估测。情报分析人员假设：在新政权彻底放弃生产枪支政策(假设1)的前提下，新政权愿意放弃生产枪支这一经济政策的可能性为1。依据这一参照，情报分析人员通过集体评估认为，新政权在继续奉行生产枪支这一经济政策的前提下(假设2)，新政权表态放弃生产枪支的经济政策的可能性为0.7；在新政权逐渐放弃生产枪支这一经济政策的前提下(假设3)，新政权领导人表态放弃生产枪支这一经济政策的可能性为1。按照这种估测方式，情报分析人员对案例1其余的8组证据进行似然比估测，得出案例1的似然比估测表，如表5所示：

3.5通过贝叶斯公式计算后验概率P(Hi|Et)

利用贝叶斯公式及原理进行情报分析的目的就是要对某一事件进行情报预测，而预测的实质就是要计算出每种问题的每种可能事件的发生概率。因此，进行这种情报预测，不仅要进行各种假设，搜集与这种假设相关的一系列证据，估测似然比，而且要计算出各种假设发生的概率，便于用户进行情报决策。

鉴于此，本步骤利用贝叶斯公式及原理，在建立假设群、搜集相关证据、估测似然比的基础上，计算每种假设发生的概率，以便预测某事件即将发生的概率，这一概率用数学公式表述为后验概率P(Hi|Ei)，其计算公式为：

P(Hi|Et)=P(Hi|Et-1)／∑j[P(Hj|Et-1)，PRtj](1)

当t=1时，P(Hi|Et-1)=P0(Hi)

公式(1)中，Hi代表假设群中第i个假设，P(Hi|Et)代表t时刻观察到证据E1情况下，假设Hi的概率。Hj代表从Hi到Hk的各种假设。PRtj代表根据证据Ei估测的假设Hj相对于假设Hj的似然比。∑j代表对括号内所有公式计算后从第1到第K个计算结果的加总。P0(Hi)表示假设Hi的初始概率。

公式(1)的具体使用步骤为：依据每个假设的初始概率P0(H)和证据E1的似然比，通过贝叶斯的上述公式(1)，计算出时刻1的各种假设的最新概率P1(H)，这一新的概率是在考虑了证据E1的情况下，对初始概率的调整和更新。在此基础上，情报分析人员可以根据时刻1的概率P1(H)和证据E2的似然比，再通过公式(1)计算得到各种假设在时刻2的最新概率P2(H)。以此类推，情报分析人员可以将所有观察到的证据的似然比逐步纳入上述计算过程，不断对假设的概率进行更新。每当收集到新的证据，都可以估算出该证据的似然比，并依据上一轮计算得到的假设概率，计算出各假设在当前时刻的最新概率，这一最新概率即为贝叶斯分析的阶段性结论，如表6所示：

根据本文贝叶斯分析步骤2获得的初始概率、步骤4获得的似然比、步骤5的贝叶斯后验概率的计算公式和计算表，即可算出案例的三个假设的后验概率，如表7所示：

从表7中可以看出，案例的贝叶斯分析的阶段性结论为：新政权已经彻底放弃生产枪支经济政策(假设1)的阶段性最新后验概率为0.11，新政权将继续奉行生产枪支经济政策(假设2)的阶段性最新后验概率为0.01，新政权将逐渐放弃生产枪支经济政策(假设3)的阶段性最新后验概率为0.88。这说明，情报分析得出的阶段性结果是新政权将采取逐渐放弃生产枪支的经济政策。得出上述阶段性的结果，并不是贝叶斯分析的最终目的，贝叶斯分析的最终目的是要对该政权所采取的未来经济政策进行预测，因此，下一步就要对该政权所采取的经济政策进行持续监控。

3.6持续监控

贝叶斯分析是个动态的情报分析过程，当最新的一个证据Et的后验概率估测完毕之后，还可以通过下一个出现的新证据进一步监控该类情报的下一步发展动态。本文通过将案例新出现的事件证据纳入贝叶斯分析步骤3的证据列表中，并通过贝叶斯分析步骤4和5，再次估算出案例假设群的最新概率，以便持续监控该类情报的新动态，如表8所示：

案例出现的新事件内容为：情报机构通过9月10日的情报交流又进一步获悉，新政权试图以制造烟花炮仗为由进口大量的火药，而当地并无大型的烟花制造厂。

情报分析人员以此新事件作为证据E10并对相应的假设概率进行了更新，完成了对该类情报的持续监控(见表8)。从表8中可以看出，新政权已经彻底放弃生产枪支经济政策(假设1)的最新后验概率为0.08，新政权将继续奉行生产枪支经济政策(假设2)的最新后验概率为0.01，新政权将逐渐放弃生产枪支经济政策(假设3)的最新后验概率为0.92。由此可以得出情报分析结论，即新政权未来的经济政策则是采取逐渐放弃生产枪支经济政策的形式。

4结论

总之，在情报分析中不能像神话中的先知那样进行某一事件是否发生的预言，而应科学地预测某一事件该如何发生。目前，关于情报分析中的科学预测方法有很多种，本文是在案例分析的基础上着重研究贝叶斯分析在情报分析中的原理应用、预测功能及应用步骤。本文没有将重点放在贝叶斯分析公式的原理形成和公式推导过程等数学原理上，而是以独特的视角从实际出发，重点研究了贝叶斯原理及公式在案例情报分析中的实际应用，通过估测案例的初始概率、估算似然比、计算后验概率的科学方式，科学地进行了案例的情报分析和预测。

参考文献：

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[6]崔嵩，再造公安情报[M]，北京：中国人民公安大学出版社，2008：579

概率公式篇6

关键词：移动自组网；公平性；空闲接入概率；吞吐量；媒体接入控制

中图分类号：TP393.1

文献标志码：A

0引言

移动自组网（MobileAdHocNETwork，MANET）具有高度的自组织性、鲁棒性和抗毁性，在无线通信领域异军突起，应用范围覆盖工业、商业、交通、医疗和军事等领域，是地震、极地考察等恶劣环境的终极通信方式之一。但由于MANET无需基础设施，缺少管理节点，若终端用户修改信道参数、丢弃数据包或切换休眠模式[1-3]，则产生自私节点（SelfishNode，SN），违反网络的公平性原则，产生吞吐量较高而公平索引值较低的失衡问题。媒体接入控制（MediumAccessControl，MAC）层影响尤为显著，因为MAC协议直接与信道交互，且网络层、传输层、应用层等上层协议均建立在MAC协议基础之上，影响范围更广，因此MAC协议公平性要求更高。但若仅考虑公平性，将导致部分节点接入概率降低，同样无法使吞吐量性能达到最优，因此如何实现公平性和吞吐量的均衡成为MAC协议研究的新课题。

MAC层公平性和吞吐量均衡的研究集中于两类：一是检测、处理自私行为；二是降低算法控制开销。前者在于提高节点公平性，改善吞吐量性能，共同点在于以行为检测为目的，根据统计数据，建立评估机制和检测算法，提出限制模型，并优化改进协议的吞吐量性能。若优于标准协议分布式协调（DistributionCoordinationFunction，DCF）[4-5]或改进协议启发式缓变协议（GentleDCF，GDCF）[6]等，则达到预期目的，否则不断修改控制参数，使协议性能最优，属于渐近优化过程，算法复杂度和硬件要求较高，且处理时延、控制开销较大。如Mackenzie等[7]研究指出DCF存在SN问题，并可通过控制节点之间信道参数防止不公平的信道共享。Kyasanur等[8-9]分析DCF自私行为产生机制，指出SN通过修改竞争窗口（ContentionWindow，CW）、分布式帧间间隙（DistributedInterFrameSpace，DIFS）、短帧间间隔（ShortInterFrameSpace，SIFS）、网络分配向量（NetworkAllocationVector，NAV）等参数提高自身接入概率，使得网络吞吐量急剧降低，但缺乏量化机制。刘春风等[10-11]量化分析DCF协议SN，建立描述吞吐量的二维马尔可夫模型，并设计了SWNCUSUM算法实现SN的检测，检测时延和精度较优，但受饱和条件限制。Serrano等[12-13]摆脱无线电假设，基于数理统计和KS评估理论，设计新的检测算法，降低检测时延，性能优于中心极限定理（CentralLimitTheorem，CLT）和多米诺理论（Dominotheory，DOMINO），且没有任何条件限制，但缺少吞吐量最优值的考虑。Giri等[14]指出通过修改DCF协议中二进制指数回退（BinaryExponentialBackoff，BEB）算法实现不同类型、等级的SN的仿真，为SN行为的仿真提供可行性方案。Li等[15]针对多跳AdHoc网络MAC层SN问题，根据样本统计规律，设计检测和限制算法，提高检测精度，降低SN对正常节点吞吐量的影响，但控制开销和算法时延增加，且随着网络规模的增加，增速越来越快。Banchs等[16]为了降低SN对网络吞吐量的影响，采用主动机制，设计分布式反应算法，限制SN占用资源，最优吞吐量得到改善，精度较高，但算法开销仍未改善。以上协议均属于第一类，以提高公平性为目的，不断改善吞吐量性能，但算法复杂度和控制开销较高。

不同的是，后者侧重于降低算法复杂度，提高协议效率，共同点是将接入概率或竞争窗口改进为近似计算，将非线性、非齐次模型转化为线性、齐次模型，简化最优解求解过程。Lee等[17-18]以网络利用率最大化为基础研究竞争时间与有效占用信道时间的关系，构建最优化理论条件，定义效用函数，此时最优解才可与算法相关联，并提出利用缓冲过程将多个近似值解决方案转化为可行算法，但吞吐量等性能受限。Rad等[19]在此基础上，证明算法对大规模网络收敛，为近似最优解的可行性提供理论基础，但缺乏现实性考虑，即无限大存储空间和节点间的报文频繁交换，后者是评估通信信道误报率的必要条件。Bononi等[20]提出著名的渐进最佳回退（AsymptoticallyOptimalBackoff，AOB）协议简化最优值计算，实现网络吞吐量的优化。但AOB属于粗略近似，即假设最佳MAC协议与节点数量完全独立，适用于小规模网络。而空闲感知（IdleSense，IS）[21]机制则尝试采用节点接入行为优化吞吐量，即最小化竞争和碰撞时间来增加传输可用时间，实现吞吐量最优，IS结果表明当连续感知5.68个连续时隙时，吞吐量最优值最大，且与竞争媒介的节点数量无关，但公平性仍存在较大的改进空间。

综上所述，MAC协议尚未综合考量公平性和吞吐量，仅对二者之一改进优化，失衡问题仍未缓解。但根据上述文献可得到3点启示：1）降低算法难度能够降低控制开销；2）节点之间的接入概率值越相近，公平性越高；3）建立最优吞吐量与接入概率的关系，接入概率最优时，吞吐量最优，且最优值与网络参数相关性较低。基于该思想，结合上述算法的优点，建立最优空闲接入概率和节点数目评估算法，设计吞吐量公平性均衡的简单MAC机制（FairnessThroughputofMAC，MACFT），创新点在于：1）推导绝对公平条件的网络最优吞吐量、节点数和空闲接入概率之间的函数关系；2）利用李雅普诺夫漂移函数，证明在最优接入概率的前提下，MAC协议的可行性和稳定性；3）根据自回归滑动平均模型（AutoRegressiveandMovingAveragemodel，ARMA）滤波确定空闲接入概率的评估模型，并通过比例积分控制器（ProportionalIntegralController，PIC）实现控制；4）对比分析AOB、IS、DCF、GDCF和MACFT协议的公平性和吞吐量指标，证明协议性能的优越性。

第11期

朱清超等：移动自组网媒体接入控制协议吞吐量与公平性均衡设计

计算机应用第35卷

1系统模型

假设网络节点数为n，任意时刻其子集N最多允许一个节点采用流渗透模式占用信道并发送数据，反之产生碰撞。在给定DIFS时间内若节点感知信道空闲，则计数器为0的节点竞争发送数据包，否则继续监听信道，计数器递减。在竞争周期内，节点管理时隙竞争计数器，回退时间在[0，W-1]内随机选取。若信道感知空闲，则竞争计数器减小；若检测到数据发送，则暂停计数；若DIFS间隔内重新感知空闲，则恢复计数，直至计数器值为0时开始数据传输。

该过程与DCF相似，根本区别在于，当检测到数据碰撞时DCF竞争窗口加倍，执行BEB算法，而MACFT采用单一最优竞争窗口，其值由每次数据发送的最后尝试值确定，与节点前期状态（成功/碰撞）无关。

1.1包发送概率

令τ为节点随机选择时隙发送报文的概率。由于采用DCF回退模型，则MACFT接入概率τ为W的函数[22]，即

τ=2W+1（1

1.2吞吐量

令S为系统吞吐量，表征信道成功利用的比例。根据IEEE802.11定义可知，计算S必须考虑给定时隙检测信道空闲的概率，即：

pi=（1-τ）n（2）

忙时发送成功的概率：

ps=nτ（1-τ）n-1（3）

和忙时碰撞概率：

pc=1-ps-pi（4

系统吞吐量为信道成功应用时间之和与周期平均值之比，即：

S=psE[p]piE[Ti]+psE[Ts]+pcE[Tc]（5）

其中：E[Ts]、E[Tc]、E[Ti]和E[p]分别表示成功、碰撞、空闲和帧周期的平均值。DCF推荐期望周期为常数[4-5]，即E[p]=P，E[Ts]=Ts，E[Ti]=Ti，E[Tc]=Tc，则S简化为：

S=PTs-Tc+[Tc+pi（Ti-Tc）]/ps（6

S最大值可通过确定最优值τ*获得，对式（6）求导可得最优值τ*满足：

（1-τ*）n（Tc-Ti）+（nτ*-1）Tc=0（7

将节点接入概率取值为τ*，可得最优吞吐量S*，式（7）所得τ*可写成n的函数形式，即：

τ*=f（n）（8

因此最佳媒体接入概率τ*仅与竞争信道的节点数量有关，且n>0时f（n）是n的减函数。若节点数目已知，则通过式（7）可得网络最佳接入概率和公平网络最优吞吐量。

1.3节点数量评估

定义a为监听信道空闲概率的估计值，由竞争周期内时隙的状态获得，具有缓慢时变性，可通过时隙样本过滤算法使其收敛到稳态，下节将详细介绍。如果网络正趋近稳态，则所有节点均以最优接入概率τ*竞争信道。若其他n-1个节点无数据发送，则监听空闲时隙，即pa=（1-τ*）n-1。此时对评估概率值a和最优值pa的方差求最小值可得节点数目的估计值，即：

=argminn∈N（a-（1-τi）n-1）2（9

但问题产生，节点并不知道网络何时到达稳态，则参数τi未知。由于所有节点采用同一竞争窗口，则稳态时节点na可利用本身的媒体接入概率评估节点数量，即τi=τa。但如果网络远离稳态，则评估精度降低，当且仅当τa覆盖最优解τ*时才有效，因此作以下假设。

假设式（9）中节点na利用媒体接入概率τa确定式（8）中最优接入概率τ*，同时保证该媒体接入概率范围覆盖最优值，那么该MAC机制是可行的。

1.4MAC机制设计及稳定性分析

1）模型设计。

考虑媒体接入概率向量T（k）=（τ1（k），τ2（k），…，τn（k）），表征任意时刻k任意节点接入概率。向量T初始化为给定概率值0

1）在k时刻节点利用式（9）中a和概率τi=τinit得到竞争节点数量的评估值（k）；

2）将（k）代入式（8），计算系统参数（k）；

3）（k）通过控制器C（（k））控制输出τ（k+1），用于计算下一次竞争周期的窗口值W（k+1）=2τ（k+1）-1。

值得注意的是，k=3，4，…，m时的估计值a由τi=τ（k=2），τi=τ（k=3），…，τi=τ（k=m-1）获得，并非τi=τ（k=1）=τinit，由此可获得网络公平条件下的最优吞吐量评估值。

图片

图1MAC协议模型

2）稳定性证明。

首先引入李雅普诺夫漂移函数，该函数被成功用于多个稳定系统，如包交换系统[23]。在此基础上分析MAC机制的稳定性。由于MAC机制为马尔可夫型，最终状态等于已经存在的稳态分布。

利用李雅普诺夫二次方程[24]L（T）=∑ni=1τ2i，并根据概率论推出T（k），如果B>0和ε>0，则MAC机制属于强稳定，对所有时刻k，令李雅普诺夫漂移函数为：

Δ（T（k））E{L（T（k+1））-L（T（k））|T（k）}

若公式

Δ（T（k））≤B-ε∑ni=1τi（k）（10）

对于任意δ>0满足∑ni=1τi（k）≥（B+δ）/ε，则Δ（T（k））≤-δ。换言之，当媒体接入概率之和足够大时，条件（式（10））保证李雅普诺夫漂移为负值，即无论何时向量T超出边界区域T≥0|∑ni=1τi（k）≤（B+δ）/ε，负漂移最终使其回归到该区域，保证MAC机制的稳定性。

然后定性说明MACFT的稳定性和假设的有效性，分两种情况讨论：一是节点增加；二是节点减少。对于上述网络行为，MAC机制必须保证收敛到稳定状态的最优媒体接入概率。

1）节点数增加。

考虑到k-1时刻网络操作节点数n=Ke。从k-1到k，新增Ka个节点，由此n=Ke+Ka。已经存在的Ke个节点稳态时收敛到最优解，当Ka个节点接入信道时，式（9）控制估计值a减小。由于Ke个节点媒体接入概率τ（k）决定τ（k+1），如果a（k）（k-1）。由于τ（k+1）由减函数f（n）决定，则τ（k+1）

2）节点数降低。

同理考虑k-1时刻网络存在n=Ke个节点，从k-1到k，Kd个节点停止数据包发送，则剩余n=Ke-Kd个活动节点。已经存在的Ke个节点收敛到稳态最优解，当Kd个节点停止发送数据时，根据式（9）控制评估值a增大。由于剩余的Ke-Kd个节点采用当前接入概率τ（k）决定τ（k+1），如果a（k）>a（k+1），则（k）τ（k）。那么在k+2，k+3，…，k+G时刻，a（k+2）>a（k+1），…，a（k+G）>a（k+G-1）。但由于滤波机制样本值a引入时延，则G+1个周期后，a（k+G+1）（k+G）保持不变，因此在k+G+2时刻的传输概率能够保证负漂移，从而使MAC机制保持稳定τ（k+G+2）

2MAC协议实现

基于上述理论，本章采用最佳接入概率确保网络公平性，并使吞吐量接近公平网络的理论最优值。前文指出，最优接入概率需要4个参数支撑：1）空闲时隙概率估计；2）节点数量估计；3）最优接入概率计算；4）接入概率控制。

如前所述，空闲时隙概率可通过竞争周期内的时隙状态来评估，相关系数为：

1B∑Bi=1sloti（11）

式中：B为时隙数目。若第i时隙空闲，则时隙sloti为0；反之为1。为了获得参数a，采用ARMA滤波[25]，代入式（11）的相关频率，则a为：

a（k+1）=αa（k）+1-αB∑Bi=1sloti（12）

式中α表示滤波存储器系数。

为了确定ARMA滤波参数，场景中节点数目设置为每隔100s变化一次，对应节点数目分别为2、5、10、25、15、5、25。当网络节点数为25时，节点竞争窗口达到最优值。

图2所示为B=1000，α=0.75时a估计值。不难看出滤波参数的选择使a接近稳定状态值pa。当节点数目较少时，a估计值精确度较高，标准差很低。但节点数目较大时，由于样本数量减少，平均竞争时隙周期增加，a标准差较大，如300s到400s时的样本数量小于0到100s，前者波动范围明显大于后者。

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图2空闲时隙概率与仿真时间的关系

在确定评估值a后，根据式（9）和式（8）分别计算节点数目评估值和最佳接入概率。值得注意的是，由于考虑内存因素，式（12）中滤波器引入更慢的动态值，式（8）获得的参数不再直接用于每个节点。基于该原因，需根据PIC原理增加控制模块，即图1中所示C（），具体实现如图3所示。C（）根据参数（k）和ARMA动态滤波，简化媒体接入概率。

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图3PIC实现控制器C（）

为了确定参数Kp和TI，即增益比例和积分时间，对阶跃响应进行仿真，并采用开环模型估计a达到稳态所需的时间。在此利用经典的齐格勒尼格尔斯调谐方法估计Kp和TI分别为0.6和23.81。

图4和图5中分别采用图3中网络参数时，a和的变化曲线，最优媒体接入概率由MACFT确定，其中Winit为500。可以看出当网络节点数目变化时，在短时周期内媒体接入概率收敛于最优稳态值，精度较低。

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图4MACFT空闲时隙接入概率曲线

图5所示为MACFT的网络节点评估数目曲线。随着节点数目的增加，产生两种现象：一是ARMA滤波得到的a估计值并不精确，评估误差增加；二是短时间隔内的精确度降低，导致节点利用个体接入概率去评估节点数目。由于个体媒体接入概率未被真实节点数目采用，精度较低。但随着媒体接入概率向最优值收敛，越来越精确。

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图5节点数目评估值与真实值对比

3性能分析

3.1参数设置

本节利用软件NS2[26]对MACFT进行仿真，综合分析吞吐量和公平性指标，计算吞吐量与最优值的误差。为了更好地说明协议的有效性，在此与其他4种MAC协议AOB、DCF、GDCF和IS作比较，具体参数如表1所示。

表格（有表名）

表1仿真参数设置

参数值参数值

节点速度2m/s停留时间0s

报文速率1Mb/s路由协议DSR

场地大小1000m×1000m业务流cbr

CWmin16仿真时间700s

CWmax256最大连接数10

3.2性能分析

本节主要分析AOB、IS、DCF、GDCF和MACFT协议吞吐量和公平性指标，对比说明协议的优越性和可行性。

图6所示为各协议的瞬时吞吐量，在此仅列举绝对吞吐量，其值由传输速率实现标准化。结果表明前100s时仅2个节点传输数据，节点规模较小，AOB和IS中媒体接入概率精确度不高，而MACFT性能较优。随着节点数目增加，AOB吞吐量高于其他协议，但AOB和MACFT的差值未超过约150kb/s（600～700s）。原因在于DCF是基于假设建立的，性能与节点数目直接相关，而AOB、IS和MACFT采用最优化原则确定媒体接入概率，因而与节点数目相关性较低，变化幅度较小。除DCF外，其他MAC协议吞吐量均高于最优值，因为式（5）计算的吞吐量最优值是以绝对公平竞争为基础，而由于种种原因，实际媒体接入并不公平，若干节点竞争周期较小，因此网络吞吐量较高。例如极限条件时，若单个节点采用最大媒体接入概率（值为1），禁止其他节点接入，吞吐量等于最大网络利用率，大于绝对公平接入时的最优吞吐量。

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图6吞吐量随仿真时间变化曲线

图7所示为不同节点数目的平均吞吐量。随着节点数目的增加，MACFT性能接近IS，约为6.15Mb/s，略低于AOB和GDCF（6.2Mb/s），且吞吐量趋于最优值5.85Mb/s，表示节点并非处于绝对公平状态。而MACFT与IS均接近最优吞吐量，表明网络公平性更高。

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图7不同节点数时平均吞吐量曲线

图8所示为25节点不同窗口数目（从低到高分析）时各协议的Jain公平性[27]索引，反映网络的公平性，初始阶段采用小公平窗口分析短期性能，并逐渐增加到2500个接入信道。结果表明若考虑公平窗口大小而言，MACFT公平索引值最高，约为0.98，并接近最优值1，IS次之，AOB公平性索引低于MACFT和IS。原因在于MACFT将相似信道接入概率强加到各个节点，网络接入概率基本相同，趋于公平网络，但造成空闲信道资源的浪费，其吞吐量略低于AOB。IS同样考虑节点的行为控制，属于优化机制，并不强加到每个节点，因而公平性略低于MACFT，相对AOB粗略近似而言，公平性较高，因此协议公平性越高，吞吐量越接近公平网络最优值。

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图825节点不同协议Jain公平索引

综上所述，MACFT表现出更高的吞吐量和公平性，接近最优值，性能更优。

4结语

本文针对MANET失衡问题，以计算资源换取信道资源的思想，提出分布式吞吐量和公平性均衡算法MACFT，方法简单易行，并仿真分析AOB、IS、DCF、GDCF和MACFT吞吐量和公平性等指标，结果表明MACFT性能更优。但是尚存在以下问题：一是尚未考虑算法对系统时延等其他指标影响；二是对网络规模较大时系统性能未作分析。在后期工作中将针对上述问题深入研究。

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